quarta-feira, 8 de novembro de 2023

Professor Rafael Introduzindo a Mecânica Quântica na Descrição de Schrödinger

Em mecânica quântica não-relativística, o operador Hamiltoniano é o  operador energia mecânica, sendo a adição do operador energia cinética com a energia potencial, que é denominado simplesmente de potencial. 

É preciso o estudante estudar antes o conceito e as propriedade de onda em mecânica clássica. O que distingue uma partícula de uma onda são as propriedades de difração e interferência que não acontece com partículas. Ambas propriedades ocorrem somente com ondas. 

A Mecânica quântica na descrição de Schrödinger é uma teoria ondulatória para as partículas, cuja linguagem incide sobre espaço vetorial. Por isso, sugerimos a você revisar a teoria clássica da onda, álgebra linear e o cálculo diferencial e integral. 

Não se preocupe com as equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem nas coordenadas de posição, resultante da aplicação da equação de Schrödinger porque iremos explicar durante as aulas vindouras.
- Aspectos Históricos da Virada do Século XIX para o século XX: as leis de Newton foram substituídas por outras teorias quando aplicadas no mundo invisíveis. 

Devido a comunidade científica ser muito pequena, naquela época,  não foi fácil aceitar que a teoria clássica da Física, baseada nas leis de Newton  não conseguia explicar os novos fenômenos no mundo quântico dos átomos, elétrons, prótons, surgidos na vidada do século XIX para o século XX. 

- Equação de Schrödinger(1926): postulado número 1 da Mecânica Quântica(MQ), isto é, a equação de Schrödinger foi imposta e assim, como a 2a. lei de Newton, ela não pode ser demonstrada matematicamente.

- Relação de incerteza de Wener Heisenberg(1927): em MQ não é possível medir simultaneamente as coordenadas de posição e velocidade do elétron ou de outas partículas invisíveis a olho nu.

O momento linear, p=mv, então,  a relação de incerteza de Wener Heisenberg torna-se:

𝚫x𝚫p≥ħ/2.

Relação de incerteza mínima,

𝚫x𝚫p=ħ/2.

Portanto, se por algum dispositivo for possível medir a posição do elétron ou o fóton. Qual a incerteza na  posição? 
Resposta, zero. Isso significa que a medida do momento linear p, será impossível, pois,
𝚫x𝚫p=ħ/2 𝚫p=ħ/2𝚫x, será indeterminado porque o zero estará no denominador. Portanto, dizemos que não é possivel medirmos simultaneamente a posição e velocidade(ou o momento linear, p=mv) do elétron.

- Interpretação Probabilística de Max Born(1927): proposta ortodoxo da MQ em resposta a pergunta  ao se fazer uma medida de onde está a partícula? 

A  solução da equação de  Schrödinger (1926) representa a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula, o seu módulo quadrado é a densidade de probabilidade. Sabemos que em estatística de uma variável aleatória continua,  a integral da densidade de probabilidade é a probabilidade. Portanto, em MQ, ao se fazer uma medida,  a probabilidade  de encontrar a partícula em torno de um ponto é dada pela integral do módulo quadrado da solução da equação de  Schrödinger.  

Existe outras interpretações da MQ, mas esta do grupo de pesquisadores de Copenhague continua sendo a mais adotada nos livros-textos de MQ porque ela continua fornecendo resultados compatíveis com as experiências. 

Graça a mecânica quântica temos um avanço da tecnologia com aplicações em diversas áreas, como em  medicina, metrologia quântica,  computação quântica ou,   informação via satélites,  entre outras. A MQ  possibilitou a explicação do funcionamento do laser, ressonância magnética, as lâmpadas de LED, smartphones,  entre outras tecnologias do mundo contemporâneo.

O pai da Física moderna, Albert Einstein, apesar de ter ganho o prêmio Nobel da Física em 1921, com o seu trabalho sobre o modelo quântico da luz, proposto em 1905, como sendo composta de partícula(fóton de massa nula e spin, s=1) para explicar o efeito fotoelétrico,  não aceitou essa interpretação probabilística da MQ.

Bohr conseguiu apoio do governo dinamarquês para construir o primeiro instituto de pesquisa de Física quântica, inaugurado em 1922, recebendo nesse ano  o prêmio Nobel da Física.

  Devido a interpretação probabilística da MQ, Einstein, apesar de ser muito amigo e admirador de Bohr,  passou a ser um opositor ao grupo de pesquisadores de Copenhague, na Dinamarca, que frequentava o instituto de pesquisa construído por Bohr, tendo participado para fazer perguntas, nos diversos debates durante as palestras apresentadas pelos cientistas convidados por Bohr. 

Energia em Mecânica Quântica

Resolvendo a  equação de  Schrödinger independente do tempo,

 HΨ(X)=E(n)Ψ(x),   
   
obtemos os níveis de energia do modelo determinístico proposto por Bohr em 1913 para o átomo de hidrogênio, baseado na quantização do momento angular e a diferença da energia entre dois níveis de energia do elétron, sendo igual a constante de Planck multiplicado pela frequência, quando ele passava de um nível para o outro. Quando absorve energia o elétron passará para um nível superior. Quando ele decai para um nível inferior emite um fóton e por isso a gente diz que o átomo emite uma radiação na emissão espontânea.

Portanto, iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞(menos o infinito) a +∞(mais o infinito)  é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade. Esta é a condição de normalização
 
Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo z.

z=x+iy, i2=-1.

A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polaraes (r, 𝜭). No te qiue na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:

x=rcos(𝜭), cateto adjacente
y=rsen(𝜭), cateto oposto.


Neste caso, temos:

z=x+iy=rcos(𝜭)+irsen(𝜭)=r(cos(𝜭)+isen(𝜭))=rexp(i𝜭).

Portanto, a forma polar de um número complexo é

z=rexp(i𝜭), pois a exponencial de i𝜭) é definida por exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).

Exemplo: como cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0, então,
Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r
⇔ exp(i𝝅)=-1.
pois, 𝝅=1800  ⇔ cos(1800)=-1 e sen(1800)=0.

Substituindo, 𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x), na equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos

iħd𝝍(t)/𝝍(t)=(1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante
Portanto,
(1/𝝍(t)) d𝝍(t)/dt=E,
integrando obtemos,
∫d𝝍/𝝍=-iħEdt 
⇔ln𝝍(t)=-iħEt,
Considerando a exponencial de ambos lados, lembre-se da propriedade de logarítmo, exponencial do neperiano de x é igual a x, isto é, exp(ln(x))=x,  ⇔ 𝝍(t)=exp(-iEt/ħ).

A partir de (1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante. obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-ésimos estados excitados:


HΨ(n)=E(n)Ψ(n)                           

Com,  𝝍(x)→0, quando x→ + ou x→ -∞ e Ψ(x)=Ψ(n) 


- Função de Onda: considerando o caso  unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de  Schrödinger fisicamente aceitável de quadrado integrável.  A Função de onda é unívoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de  Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.

- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela  função dependente da coordenada de posição.

𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x)=exp(-iEt/ħ)𝝍(x).

Como o complexo conjugado 

𝝍*(t)=exp(iEt/ħ).
Então,

𝝍(x,t)𝝍*(x,t)=𝝍(x)𝝍*(x),  como está na figura acima, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula é independente do tempo. 

Veja um vídeo do destaque da 2a. aula remota de Mecânica Quântica I.


SUSY MQ

SUSY em MQ para Potenciais unidimensionais-2020

https://rafaelrag.blogspot.com/2020/10/supersimetria-em-mecanica-quantica-para.html

Novos potenciais isoespectrais via a supersimetria em mecânica quântica, ministrado pelo professor Rafael em uma escola de inverno do CBPF.  

http://cbpfindex.cbpf.br/publication_pdfs/mo00204.2011_01_19_11_23_13.pdf

SUSY MQ na I semana de Física do CFP-2017

https://rafaelrag.blogspot.com/2017/06/comunicacao-oral-sobre-susy-em-mq-na-i.html

Veja a explicação dessa monografia, na semana de Física do CFP, em Cajazeiras,

Níveis de energia via Supersimetria em mecânica quântica, 3a. Semana de Física do CFP-UFCG, 12-11-19


https://rafaelrag.blogspot.com/2019/11/professor-rafael-ministra-mini-curso.html

Mini-curso de SUSY em MQ, ministrado pelo professor Rafael Rodrigues, na UESB, em 2018.

https://rafaelrag.blogspot.com/2018/07/professor-da-ufcg-ministra-minicurso.html

Resumo de um trabalho sobre SUSY, na SBPC-2005

http://www.sbpcnet.org.br/livro/57ra/programas/senior/RESUMOS/resumo_3602.html

O que é o spin?

O spin é a  primeira grandeza física exclusivamente um efeito quântico, não existe análogo clássico. 

Por analogia ao momento angular orbital associado a rotação em torno de um eixo, há quem diga que o spin é uma rotação em torno e um eixo, tendo spin up ou spin down,  está errado.

 Na verdade, o spin não tem nada a ver com o mundo macroscópico, ele está associado a simetria interna das partículas elementares, como o elétron. No caso dos elétrons, em constantes movimentos em torno do núcleo do átomo, a interação do spin com o momento angular orbital é responsável pelas caracterísitcas magnéticas da matéria. 

Os operadores de Spin(S) e Momento angular orbital(L) satisfazem as mesmas álgebras de Lie.

[  Ju, Jj ]= iħϵujkJk,             i2=-1.

Co Com os índices inferiores variando de um a três, isto é,  (u, j, k=1,2,3),                           J1=JxJ2=Jy  J3=Jz

O tensor de Levi-Civita  ϵujktem as seguintes propriemdades:

ϵujk=1, u=1, j=2, k=3 ou ϵujk= 0, com dois ou mais índices repetidos. Ele é anticomutativo, ou seja,

ϵujk=-ϵukj

O operador momento angular orbital L, em 3 dimensões.

Portanto, o operador momento angular orbital obedece a permutação cíclica e satisfaz a seguinte álgebra de Lie, associada a rotação, tendo como geradores os operadores de momento angular orbital

L=rxp,   

em três dimensões, o operador momento linear, p=mv, representado em termos do operador Nabla 𝝯

p=-iħ𝝯,  

ou px=-iħ𝛛/𝛛x ,    py-iħ𝛛/𝛛y,      pz-iħ𝛛/𝛛z,

tendo as seguintes componentes cartesianas:

  Lx =ypz - zpy ,    Ly = zpx - xpz   

Lz= xpy - ypx

Álgebra de Lie:

[  Lx, Ly ]= iħLz,  [  Ly, Lz ]= iħLx,  [  Lz, Lx ]= iħLy


O operador de spin,

[  Sx, Sy ]= iħSz,  [  Sy, Sz ]= iħSx,  [  Sz, Sx ]= iħSy



Só existe dois valores possíveis para o spin 1/2.


Spin up e spin Dwon.




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