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quarta-feira, 8 de novembro de 2023
Professor Rafael Introduzindo a Mecânica Quântica na Descrição de Schrödinger
Em mecânica quântica não-relativística, o operador Hamiltoniano é o operador energia mecânica, sendo a adição do operador energia cinética com a energia potencial, que é denominado simplesmente de potencial.
É preciso o estudante estudar antes o conceito e as propriedade de onda em mecânica clássica. O que distingue uma partícula de uma onda são as propriedades de difração e interferência que não acontece com partículas. Ambas propriedades ocorrem somente com ondas.
A Mecânica quântica na descrição de Schrödinger é uma teoria ondulatória para as partículas, cuja linguagem incide sobre espaço vetorial. Por isso, sugerimos a você revisar a teoria clássica da onda, álgebra linear e o cálculo diferencial e integral.
Não se preocupe com as equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem nas coordenadas de posição, resultante da aplicação da equação de Schrödinger porque iremos explicar durante as aulas vindouras.
- Aspectos Históricos da Virada do Século XIX para o século XX: as leis de Newton foram substituídas por outras teorias quando aplicadas no mundo invisíveis.
Devido a comunidade científica ser muito pequena, naquela época, não foi fácil aceitar que a teoria clássica da Física, baseada nas leis de Newton não conseguia explicar os novos fenômenos no mundo quântico dos átomos, elétrons, prótons, surgidos na vidada do século XIX para o século XX.
- Equação de Schrödinger(1926): postulado número 1 da Mecânica Quântica(MQ), isto é, a equação de Schrödinger foi imposta e assim, como a 2a. lei de Newton, ela não pode ser demonstrada matematicamente.
- Relação de incerteza de Wener Heisenberg(1927): em MQ não é possível medir simultaneamente as coordenadas de posição e velocidade do elétron ou de outas partículas invisíveis a olho nu.
O momento linear, p=mv, então, a relação de incerteza de Wener Heisenberg torna-se:
𝚫x𝚫p≥ħ/2.
Relação de incerteza mínima,
𝚫x𝚫p=ħ/2.
Portanto, se por algum dispositivo for possível medir a posição do elétron ou o fóton. Qual a incerteza na posição?
Resposta, zero. Isso significa que a medida do momento linear p, será impossível, pois,
𝚫x𝚫p=ħ/2 ⇔𝚫p=ħ/2𝚫x, será indeterminado porque o zero estará no denominador. Portanto, dizemos que não é possivel medirmos simultaneamente a posição e velocidade(ou o momento linear, p=mv) do elétron.
- Interpretação Probabilística de Max Born(1927): proposta ortodoxo da MQ em resposta a pergunta ao se fazer uma medida de onde está a partícula?
A solução da equação de Schrödinger (1926) representa a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula, o seu módulo quadrado é a densidade de probabilidade. Sabemos que em estatística de uma variável aleatória continua, a integral da densidade de probabilidade é a probabilidade. Portanto, em MQ, ao se fazer uma medida, a probabilidade de encontrar a partícula em torno de um ponto é dada pela integral do módulo quadrado da solução da equação de Schrödinger.
Existe outras interpretações da MQ, mas esta do grupo de pesquisadores de Copenhague continua sendo a mais adotada nos livros-textos de MQ porque ela continua fornecendo resultados compatíveis com as experiências.
Graça a mecânica quântica temos um avanço da tecnologia com aplicações em diversas áreas, como em medicina, metrologia quântica, computação quântica ou, informação via satélites, entre outras. A MQ possibilitou a explicação do funcionamento do laser, ressonância magnética, as lâmpadas de LED, smartphones, entre outras tecnologias do mundo contemporâneo.
O pai da Física moderna, Albert Einstein, apesar de ter ganho o prêmio Nobel da Física em 1921, com o seu trabalho sobre o modelo quântico da luz, proposto em 1905, como sendo composta de partícula(fóton de massa nula e spin, s=1) para explicar o efeito fotoelétrico, não aceitou essa interpretação probabilística da MQ.
Bohr conseguiu apoio do governo dinamarquês para construir o primeiro instituto de pesquisa de Física quântica, inaugurado em 1922, recebendo nesse ano o prêmio Nobel da Física.
Devido a interpretação probabilística da MQ, Einstein, apesar de ser muito amigo e admirador de Bohr, passou a ser um opositor ao grupo de pesquisadores de Copenhague, na Dinamarca, que frequentava o instituto de pesquisa construído por Bohr, tendo participado para fazer perguntas, nos diversos debates durante as palestras apresentadas pelos cientistas convidados por Bohr.
Energia em Mecânica Quântica
Resolvendo a equação de Schrödinger independente do tempo,
HΨ(X)=E(n)Ψ(x),
obtemos os níveis de energia do modelo determinístico proposto por Bohr em 1913 para o átomo de hidrogênio, baseado na quantização do momento angular e a diferença da energia entre dois níveis de energia do elétron, sendo igual a constante de Planck multiplicado pela frequência, quando ele passava de um nível para o outro. Quando absorve energia o elétron passará para um nível superior. Quando ele decai para um nível inferior emite um fóton e por isso a gente diz que o átomo emite uma radiação na emissão espontânea.
Portanto, iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞(menos o infinito) a +∞(mais o infinito) é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade. Esta é a condição de normalização.
Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo z.
z=x+iy, i2=-1.
A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polaraes (r, 𝜭). No te qiue na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:
z=rexp(i𝜭), pois a exponencial de i𝜭) é definida por exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).
Exemplo: como cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0, então,
Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r
⇔ exp(i𝝅)=-1.
pois, 𝝅=1800 ⇔ cos(1800)=-1 e sen(1800)=0.
Substituindo, 𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x), na equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos
iħd𝝍(t)/𝝍(t)=(1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante
Portanto,
iħ(1/𝝍(t))d𝝍(t)/dt=E,
integrando obtemos,
∫d𝝍/𝝍=-iħE∫dt
⇔ln𝝍(t)=-iħEt,
Considerando a exponencial de ambos lados, lembre-se da propriedade de logarítmo, exponencial do neperiano de x é igual a x, isto é, exp(ln(x))=x, ⇔ 𝝍(t)=exp(-iEt/ħ).
A partir de (1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante. obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-ésimos estados excitados:
HΨ(n)=E(n)Ψ(n)
Com, 𝝍(x)→0, quando x→ +∞ ou x→ -∞ eΨ(x)=Ψ(n)
- Função de Onda: considerando o caso unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de Schrödinger fisicamente aceitável de quadrado integrável. A Função de onda é unívoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.
- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela função dependente da coordenada de posição.
𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x)=exp(-iEt/ħ)𝝍(x).
Como o complexo conjugado
𝝍*(t)=exp(iEt/ħ).
Então,
𝝍(x,t)𝝍*(x,t)=𝝍(x)𝝍*(x), como está na figura acima, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula é independente do tempo.
Veja um vídeo do destaque da 2a. aula remota de Mecânica Quântica I.
O spin é a primeira grandeza física exclusivamente um efeito quântico, não existe análogo clássico.
Por analogia ao momento angular orbital associado a rotação em torno de um eixo, há quem diga que o spin é uma rotação em torno e um eixo, tendo spin up ou spin down, está errado.
Na verdade, o spin não tem nada a ver com o mundo macroscópico, ele está associado a simetria interna das partículas elementares, como o elétron. No caso dos elétrons, em constantes movimentos em torno do núcleo do átomo, a interação do spin com o momento angular orbital é responsável pelas caracterísitcas magnéticas da matéria.
Os operadores de Spin(S) e Momento angular orbital(L) satisfazem as mesmas álgebras de Lie.
[ Ju, Jj ]= iħϵujkJk, i2=-1.
Co Com os índices inferiores variando de um a três, isto é, (u, j, k=1,2,3), J1=Jx, J2=Jy e J3=Jz
O tensor de Levi-Civita ϵujktem as seguintes propriemdades:
ϵujk=1, u=1, j=2, k=3 ou ϵujk= 0, com dois ou mais índices repetidos. Ele é anticomutativo, ou seja,
ϵujk=-ϵukj
O operador momento angular orbital L, em 3 dimensões.
Portanto, o operador momento angular orbital obedece a permutação cíclica e satisfaz a seguinte álgebra de Lie, associada a rotação, tendo como geradores os operadores de momento angular orbital
L=rxp,
em três dimensões, o operador momento linear, p=mv, representado em termos do operador Nabla 𝝯:
Ok.
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ResponderExcluirOk.
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ResponderExcluirAllan, ok
ResponderExcluirIranildo, ok
ResponderExcluirOk, Fabiana
ResponderExcluirOk
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