O método Variacional em Mecânica Quântica
Professor Dr. Rafael Rodrigues
Considere um sistema quântico representado por um operador hamiltoniano hermitiano H, em um estado quântico descrito or uma função de onda arbitrária Ψ.
H =(1/2m)p2+V(x)
Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-nésimos estados excitados:
HΨ(n)=E(n)Ψ(n)
Supondo que a gente não consegue resolver analiticamente, o método Variacional em Mecânica Quântica serve para estimar numericamente a energia do estado fundamental de um sitema no estado quântico Ψ(n).
Ele se baseia no fato de que o valor mais baixo da energia pode ser o valor esperado do operador hamiltoniano naquele estado quântico. Neste caso, dizemos que o valor esperado em certo estado quântico é maior ou igual ao valor do autovalor de energia do estado fundamental.
Exemplo
Partículas Idênticas em Mecânica Quântica.
A mecânica quântica é a teoria que defende que a energia é discretizada (Quantizada) existe concentrada em pacotes denominados por "quanta" não sendo, portanto, contínua. Por exemplo, a energia eletromagnética é transportada através de fótons (partículas de luz mediadora das interações elétrica e magnética). Cada "quantum" (fóton ou outro bóson qualquer) tem uma quantidade de energia que será tanto maior quanto mais alta seja a freqüência das ondas.
Partículas
As partículas, numa primeira distinção, dividem-se em dois tipos: bósons e férmions. Os bósons são partículas de campo e caracterizam-se por terem spins inteiros:
1 - 0 (têm o mesmo aspecto vistas de qualquer lado);
2 - 1 (só retomam o mesmo aspecto se as fizermos rodar 360º);
3 - ou 2 (retomam o mesmo aspecto se as fizermos rodar 180º).
Os férmions são partículas materiais (geralmente dotadas de massa) e têm spin 1/2 (retomam o mesmo aspecto depois de rodarem 2 vezes 360º).
Férmions
Os férmions subdividem-se em hadrons e léptons.
Os hadrons são compostos por quarks de diferentes "sabores":
1 - ascendente (up), carga elétrica: +2/3, massa: 310 Ge*V/c^2;
2 - descendente (down), carga elétrica: -1/3, massa: 310 Ge*V/c^2;
3 - estranho (strange), carga elétrica: -1/3, massa: 505 Ge*V/c^2;
4 - atraente (charmed), carga elétrica: +2/3, massa: 1500 Ge*V/c^2;
5 - beleza (beauty), carga elétrica: -1/3, massa: 5000 Ge*V/c^2;
6 - verdade (truth), carga elétrica: +2/3, massa: >22500 Ge*V/c^2.
Cada "sabor" de quark surge em 3 "cores": vermelho, verde e azul. Existem, por isso, 6*3 = 18 variedades de quarks. A cada variedade de quark corresponde uma variedade de antiquark, de carga elétrica oposta.
Um quark não pode existir isolado, pois teria "cor" (vermelha, azul ou verde). Como a força nuclear forte mantém as partículas sempre unidas em combinações brancas (sem "cor"), isso significa que os quarks têm de existir em combinações de 3 (azul + verde + vermelho = branco) ou 2 (quark azul + anti-quark azul = branco, etc).
Aos trios de quarks chamam-se bárions e aos pares chamam-se mésons. Os mésons, dado serem constituídos por uma partícula e uma anti-partícula (que tendem a aniquilar-se mutuamente), são instáveis e originam elétrons e outras partículas. Os bárions incluem os prótons e os nêutrons existentes nos núcleos atômicos. Um próton contém dois quarks ascendentes com carga(2/3e + 2/3e = 4/3e) e um quark descendente com carga(-1/3e). Portanto, a carga elétrica do próton é (4/3 - 1/3)e = 1e. O nêutron contém 2 quarks descendentes (-1/3e -1/3e = -2/3e) e 1 quark ascendente (2/3e). Logo, a carga elétrica do nêutron é -2/3e + 2/3e = 0. Podem ser formadas partículas a partir dos outros sabores, mas como são mais pesadas (têm maior massa) decaem muito depressa em nêutrons e prótons.
Os léptons, que são partículas elementares, englobam:
1 - o elétron, carga elétrica: -1e, massa: 0,511 Ge*V/c^2;
2 - o múon, carga elétrica: -1e, massa: 106,600 Ge*V/c^2;
3 - o tau, carga elétrica: -1e, massa: 1784,000 Ge*V/c^2.
A cada uma destas partículas corresponde um neutrino (também lépton), todos com carga elétrica = 0 e massa muito reduzida. São eles o neutrino eletrônico, o neutrino muônico e o neutrino tauônico.
Bósons
Os bósons, ou partículas de campo, transportam cada uma das 4 forças fundamentais na forma de pacotes de energia:
1 - o gráviton é responsável pelo transporte da força da gravidade, tem um alcance infinito, uma intensidade 10-40 vezes a da força nuclear forte e não tem massa (desloca-se à velocidade da luz). Tem spin 2 e a sua existência ainda não está comprovada experimentalmente;
2 - o fóton é responsável pelo transporte da força electromagnética, tem também um alcance infinito, uma intensidade 10-20 vezes a da força nuclear forte e também não tem massa. Tem spin 1;
3 - os bósons intermédios (as W+ e W- dotadas de carga elétrica e com uma massa de 81 Ge*V/c^2, e a" Z^0" sem carga elétrica e com uma massa de 93 Ge*V/c^2), são responsáveis pelo transporte da força nuclear fraca, têm um alcance inferior a 10-16 mm e uma intensidade 10-13 vezes a da força nuclear forte. Dado que têm massa, deslocam-se a uma velocidade inferior à da luz. As 3 partículas têm spin 1;
4 - o glúon é responsável pelo transporte da força nuclear forte, tem um alcance inferior a 10-13 mm e não tem massa. Tem spin 1.
A gravidade é uma força exclusivamente atrativa cuja intensidade depende da massa dos corpos e da distância a que se encontrem um do outro.
O eletromagnetismo atua entre partículas eletricamente carregadas, como os elétrons e os quarks. Pode ser atrativa (entre partículas com cargas elétricas de sinais opostos) ou repulsiva (entre partículas com cargas elétricas de sinal idêntico).
A força nuclear fraca é responsável por fenômenos como a radioatividade (que é a desintegração de núcleos pesados como o urânio, o tório ou o actínio em núcleos mais leves como o chumbo + núcleos de hélio + elétrons + fótons) ou o decaimento de um nêutron num próton + elétron + antineutrino. É uma força que age sobre partículas com massa.
A força nuclear forte é responsável pela coesão dos quarks dentro de um próton ou nêutron e dos prótons e nêutrons dentro de um núcleo atômico. A sua partícula mensageira, o glúon, só interage consigo própria e com os quarks.
A Lei do Mais Fraco
A gravidade domina o Universo porque o seu alcance é infinito e a sua força é sempre atrativa, ao contrário do eletromagnetismo, também de alcance infinito mas exercendo forças atrativas ou repulsivas conforme as circunstâncias. Apesar da intensidade da força electromagnética ser muito superior à da gravidade, as cargas elétricas positivas são contrabalançadas pelas negativas nas grandes escalas (por exemplo, mesmo dentro de um simples átomo de hidrogênio a carga positiva do próton é neutralizada pela carga negativa do elétron). Por isso, as grandes massas possuem uma carga elétrica completamente desprezível.
No entanto, para demonstrar a debilidade intrínseca da força da gravidade face à electromagnética, basta reparar numa maçã que se desprenda de uma árvore e caia sobre o chão. Uma maçã é mantida presa a um ramo pelas forças electromagnéticas que unem os átomos da maçã aos do ramo. É preciso a gravidade da Terra inteira para vencer a força elétrica inerente aos poucos átomos de um modesto pé de maçã.
O Preço da União
Quando dois corpos se unem sob a influência de uma destas forças, a massa conjunta de ambos reduz-se pois uma parte da massa é libertada sob a forma de energia. Por exemplo, um elétron (carga negativa) unido a um próton (carga positiva) pela força electromagnética existe num estado de energia mais baixo que um elétron livre. De acordo com a relatividade de Einstein, há uma equivalência entre massa e energia, portanto o excesso de energia que se libertou quando o elétron foi capturado pelo próton traduz-se também numa perda de massa por parte dos dois corpos.
Princípio da Incerteza
Um dos pilares da mecânica quântica é o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que não podemos medir simultaneamente a posição e o momento linear de uma partícula elementar, o produto das incertezas em ambos observáveis é uma constante.
Relação de incerteza de Heisenberg proposta em 1927
De acordo com este princípio, para prever a posição e velocidade futuras de uma partícula é necessário poder medir a posição e velocidade atuais. Para se observar a partícula é necessário fazer incidir sobre ela um raio de luz.
Se o comprimento de onda do raio (fóton) for longo, ou seja, menos energético, perturbará menos o movimento da partícula e será possível conhecer a sua velocidade com alguma precisão. Todavia, não conseguimos determinar a posição da partícula com maior rigor do que a distância entre cristas de onda sucessivas. Sendo o comprimento de onda longo, essa distância será maior e, portanto, maior será também a incerteza quanto à posição da partícula.
O oposto ocorrerá se fizermos incidir um raio com um comprimento de onda mais curto: perturbará mais o movimento da partícula (tornando mais incerta a sua velocidade), mas permitirá localizá-la com maior precisão.
Heisenberg demonstrou que a incerteza quanto à posição multiplicada pela incerteza quanto à velocidade e multiplicada pela massa da partícula nunca pode ser inferior a uma certa quantidade - a chamada constante de Planck.
Implicações do Princípio da Incerteza
O princípio da incerteza tem implicações profundas na forma como vemos o mundo. É impossível prever acontecimentos futuros com precisão, dado não ser possível medir com precisão o estado do Universo. A mecânica quântica prevê vários resultados possíveis para uma observação, cada um com a sua probabilidade e, portanto, informa-nos acerca das probabilidades de cada um dos futuros possíveis do mundo.
A Soma de Histórias de Feynman: integrais de trajetória
Na seqüência desta idéia, Richard Feynman advogou que uma partícula não tem uma única história ou trajetória no espaço-tempo. Em vez disso, deverá deslocar-se entre dois determinados pontos seguindo todas as trajetórias possíveis entre eles. A probabilidade de uma partícula ser encontrada num determinado ponto será dada pela soma das ondas associadas às histórias que contêm esse ponto.
O Átomo
O Átomo de Bohr
Já antes de Heisenberg ter formulado o princípio da incerteza (em 1927), o físico dinamarquês Niels Bohr tinha defendido, em 1913, postulou que os elétrons só podiam ocupar determinadas órbitas em torno do núcleo, correspondendo as mais próximas a níveis de energia mais baixos e as mais afastadas a níveis de energia mais elevados.
Compreendemos melhor a idéia, se pensarmos que os elétrons menos energéticos são mais fácil e fortemente dominados pela força que os liga aos prótons e, portanto, menos independentes (de "trela" mais curta).
Portanto, o átomo só pode absorver ou emitir pacotes de energia (fótons) com comprimentos de onda fixos e determinados, cada um correspondendo à diferença entre os níveis de energia de duas órbitas. Quando um elétron absorve uma determinada quantidade de energia (um fóton com determinado comprimento de onda), move-se para uma órbita mais afastada, acontecendo o oposto se emitir energia.
O Átomo de Schrödinger(1926) e Max Born(1927)
Uma das principais implicações do princípio da incerteza é precisamente no modo como funciona o átomo. O modelo de Schrödinger postula que as órbitas, em lugar de se assemelharem a circunferências em torno do núcleo, assemelham-se a esferas ou nuvens de probabilidade. Não é possível localizar exatamente o elétron que se move em determinada órbita, mas é possível calcular a probabilidade de ele se encontrar nesta ou naquela posição. Essa interpretação probabilística foi de Max Born.
Interpretação probabilística de Max Born(1927)
A interpretação probabilística da solução da equação de Schrödinger(a função de onda) é a amplitude de probalbilida. No caso undimensional, o módulo quadrado da função de onda é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx.
Principais notícias de alguns jornais brasileiros, nesta quarta, 15-6-22
- O Dia (RJ)
Rio volta a pagar premiação a policiais civis e militares
- Folha: Telegram não colabora com investigações, diz PF
- O Estado de S. Paulo
Seis agentes da Força Nacional vigiam todo o Vale do Javari
- Valor Econômico (SP)
BB e Caixa travam disputa por recursos do Plano Safra
- Correio Braziliense
Lula e Bolsonaro estão em empate técnico em Brasília
- Estado de Minas
À procura de vacinas
- Zero Hora (RS)
Um dia após o Senado, Câmara aprova teto do ICMS para combustíveis e luz
- Jornal do Commercio (PE)
Câmara ratifica teto do ICMS na gasolina
- Diário de Pernambuco
Recife paga hoje o auxílio para famílias atingidas pelas chuvas
- A Tarde (BA)
Após denúncia, Câmara ouvirá secretário de Saúde
- Diário do Nordeste (CE)
75% das cidades não têm mapeamento de área de risco
Blog rafaelrag
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