Mecânica Quântica II-Teoria de Perturbação dependente do tempo, para os sistemas em que o operador hamiltoniano seja dependente do tempo. Até o momento, estudamos os sistemas quânticos descritos por funções de onda de estados estacionários. Agora iremos considerar a sua evolução temporal. 17-6-22
Professor Dr. Rafael Rodrigues
Tratamento de Rayleigh-Schrödinger.
Considere as seguintes equações de Schrödinger dependente do tempo
(iħ∂/∂t )|Ψ(t)>=H|Ψ(t)>,
com
∂/∂t |Ψ(t)>
sendo a derivada parcial do ket |Ψ(t)> em relação ao tempo.
Supomos que o sistema é descrito pelo seguinte operador hamiltoniano dependente do tempo,
H=H_o + λV(t)
Com H_o sendo o operador hamiltoniano do sistema não-perturbado, cujas autofunções e os autovalores de energia são conhecidos.
H_o|n>=E_n n|n>
λV(t) é a parte do operador hamiltoniano dependente do tempo, correspondente ao sistema perturbado.
O método é aplicado somente quando a perturbação introduzida for pequena.
De acordo com o terema de expansão, a solução geral será dada por:
|Ψ(t)>=∑c_n(t)exp(-íE_nt/ħ)| n>
Ψ(r, t) =< 𝞍_n |Ψ(t)>, 𝞍_n=<r|n> .
A constante dependente do tempo, c_n(t), torna-se:
c_n(t)=< n |Ψ(t)>
Substituindo essa expansão, na equação de Schrödinder dependente do tempo, obtemos:
iħ(dc_m/dt) exp(-íE_nt/ħ)=λV∑c_n(t)exp(-íE_nt/ħ)
Fazendo o produto escalar com a autofunção 𝞍_m e usando o delta de Krocker, (𝞍_m,𝞍_n)=ẟ_mn,
obtemos:
iħdc_m/dt =∑c_n(t)exp[-í(E_m-E_nt/ħ)](λV)_mn
(Somatório com n variando de n=1 a n=infinito.)
Com o elemento de matriz
(λV)_mn=<𝞍_m|λV|𝞍_n>
Levando a um sistema de equações diferencias, que, em geral, é difícil de resolvermos.
Fazendo a expansão da constante c_m em série de potência em λ
c_n=c_n^{0}+c_n^{1}λ^{1}+c_n^{2}λ^{2}+...=∑c_n^{\ell}(t)
\ell=0, 1, ,2, ...
Com a mudança de notação
E_m-E_nt/ħ=ω_{mn},
comparando os coeficientes de λ, obtemos:
iħdc_m^{0}/dt =0.
Neste caso, c_m^{0} é uma constante.
Em geral, temos
iħdc_m^{\ell}/dt =∑c_n^{\ell}(t)exp(-íω_{mn})(λV)_mn,
com \ell diferente de zero.
Condição incial: em t=0,
a perturbação não foi ligada, isto é, λV=0. Todos os coeficentes são nulos exeto um certo valor c_k. Portanto, em t=0, c_m^{0}=ẟ_mk, sendo c_m^{\ell}=0, para \ell não nulo.
Principais notícias de alguns jornais brasileiros, nesta sexta, 17-6-22
- A União: Consórcio Nordeste volta a alertar para perdas do ICMS e crise fiscal
- Folha: Apuração de mortes no AM ainda não vê um mandante
- Globo: PF investiga participação de 5 pessoas no assassinato de Bruno e Dom
- O Dia (RJ)
Rio vai quitar dívida com aposentados da Educação
- O Estado de S. Paulo
Petrobras tem sinal verde do Conselho para elevar preços
- Valor Econômico (SP)
Petrobras deve anunciar hoje novo reajuste de combustíveis
- Correio Braziliense
Suspense pelos exames e caçada a mais 3 suspeitos
- Estado de Minas
PF tem cinco suspeitos. Sobe pressão por respostas
- Zero Hora (RS)
Cai percentual de vagas com carteira; informais e por conta própria crescem
- Diário de Pernambuco
Governadores se unem contra redução do ICMS
- Jornal do Commercio (PE)
Morte no interior
- Diário do Nordeste (CE)
O drama dos usuários de planos de saúde
- A Tarde (BA)
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