Terceira atividade de Bioestatística da Turma de Nutrição, probabilidade de variável aleatória contínua, com o professor Rafael, nesta segunda, 1 de abril

  Hoje, 1 de abril, é o terceiro encontro do professor Rafael Rodrigues com os estudantes da disciplina de  Bioestatística do curso bacharelado em Nutrição da UFCG, campus Cuité. Na próxima quinta-feira estudaremos Estatística Descritiva e Indutiva: tabela de frequências e histograma.  Confirme que viu, deixando o ok, no blog e nos vídeos. Cada estudante deve escrever o que foi visto no seu caderno ou em uma folha separada. 

Esperança matemática para uma variável aleatória discreta. Veja o vídeo.

Densidade de Probabilidade.

No final do vídeo abaixo veremos uma introdução a derivada e integral que será útil na próxima aula, na quarta-feira, 3 de abriu, no estudo da probabilidade de variáveis aleatórias contínuas.

Veja o vídeo.

A variância  é uma medida estatística de dispersão que mede o

grau de variação entre os valores da VA e sua respectivas EM. A

variância é definido como:

𝝈²[X]=E[(X-E[X])²]

Uma maneira mais prática de calcular a variância é a seguinte:

𝝈²[X]=E[(X-E[X])²]=E[X²-2XE[X]+(E[X])²]

=E[X²]-E[2XE[X]]+E[(E[X])²]=E[X²]-2E[(E[X])²+E[(E[X])²]

Portanto, obtemos:

𝝈²[X]=E[X²]-E[(E[X])²]

Na última passagem acima usamos a propriedade da esperança matemática  E{kX]=kE[x], k-constante, ou seja, 

E[2XE[X]]=2E[X]E[X]=2(E[X])².

Portanto, a variância é a diferença entre o valor esperado do quadrado de X e o valor esperado ao quadrado.

V[X]= 𝝈²[X]=E[X²]-(E[X])².

Se a VA é discreta, a variância torna-se:

V(x)=𝝈²[X]=∑_i (x_i)²P(x_i) - ( ∑_i x_i P(x_i))².

O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da

variância e representa o desvio (independente da unidade de medida)

entre os valores da variável aleatória e sua média. Ele mede o quanto a variável aleatória varia.

Algumas propriedades sobre a Variância.

1) A variância de uma constante é nula: 

V[K]=0, para K sendo constante.

2) Multiplicando cada valor de uma variável por uma constante, sua

variância fica multiplicada pelo quadrado desta constante.

3) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores de uma

variável, sua variância não se altera.

Desvio Padrão. 

O desvio padrão é definido como sendo a raiz quadrada positiva da  variância, mede o quanto a variável aleatória varia.  Ele representa o desvio entre os valores de suas variáveis aleatórias e sua esperança matemática. 

DP=𝝈[X]=(E[X²]-(E[X])²)^1/2

Notação: se      y²=X  

^⇔

Então, a raiz quadrada de X pode ser escrita da seguinte forma:  y=(X)^1/2

Derivada.

 

Para compreender  o caso da variável aleatória contínua é preciso saber a derivada e integral. A velocidade instantânea é uma derivada, cujo conceito foi  inventado por Isaac Newton para calcular a velocidade em um intervalo de tempo bem próximo um do outro. Exemplo: velocidade observada em um velocímetro de um carro. 

Velocidades média 

Exemplo. Qual a velocidade média de um carro que gasta 15 minutos  do centro de Cuité para o trevo da BR104, que fica a 23km de distância?

Solução.

Note que para transformar de km/min para km/h 

1km/min=[1/(1/60)]km/h=60km/h. Neste caso, para transformar de km/min basta multiplicar e dividir por  por 60.

 Logo, neste exemplo como  a velocidade média é

v=d/t=(23/15)km/min

Para que no denominador apareça 60min, devemos multiplicar 15 por 4. Ao fazer isso devemos multiplicar numerador também por 4 e a velocidade média torna-se

v=d/t=(23/15)km/min=[(4x23)/4x15]km/h=[92km/60 mih=92km/h.

Resposta,

v=92km/h.

Atenção! 

No caso de transformar 1km/h para m/s, multiplicamos ou dividimos por 3,6?

Lembre-se que 1km=1000m e 1h=60min=60x60s=3600s. Portanto, 

1km/h=1000m/3600s=(1 /3,6)m/s, ou  seja, 1m/s=3,6km/h.

Conceito de Velocidades instantânea 

 

A velocidade instantânea é obtida  a partir da equação da velocidade média com o intervalo de tempo tendendo para zero, ou seja, no limite da velocidade média com . Isso é o que denominamos de derivada de x em relação ao tempo t.

Entendendo o significado físico de Velocidade

Na prática, você poderá ver a velocidade instantânea de um carro, olhando para o velocímetro, quando estiver com a velocidade limite permite pela lei de trânsito brasileira, 110km/h, significa que viajando sempre com essa velocidade, o carro percorrerá 110km em uma hora. Isso é o significado físico de velocidade.

Definição do limite(lim) da velocidade escalar média com a variação do tempo tendendo a zero é de fato a velocidade instantânea, a saber: 

Lê-se derivada de x em relação a t, que é representada por 

Interpretação geométrica, fazendo x no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. Note que a curva não aparece nos 2o. e 3o.  quandrens. Pois, o tempo não pode assumir vaores negativos.

Veja o vídeo.

Veja mais

Vamos calcular a velocidade instantânea usando a definição de derivada, para o caso em que a coordenada de posição seja uma função quadrática  x=t²  vamos calcular a seguinte variação: Δx=x(t+Δt)-x(t). 

Usando o produto notáveis, (a+b)²  = a² + b² + 2ab, obtemos: 

   x=t²   ⇒ x(t+Δt)= (t+Δt)²  = t² + Δt² + 2t . Δt

 ⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt= (t² + Δt² + 2t Δt-t²)/Δt =  (Δt² + 2t Δt)/Δt

⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt=(Δt² + 2t Δt)/Δt=Δt² /Δt+ 2t  Δt/Δt= Δt+2t.

⇒ Δx/Δt= Δt+2t.

Portanto, aplicando o limite de Δt tendendo a zero, o  termo Δt tende a zero e restando 2t, 

ou seja,   a velocidade instantânea 

    torna-se: v=dx/dt=dt²/dt =2t.

Generalizando, as regras de derivação de uma potência elevado a n, obtemos:

Derivada de uma constante é zero:

dc/dt=0, 

com c sendo uma constante.

Derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivda da função:

d(cf)/dt=cdf/dt.

Exemplos:  

Seja c=1/2, para  n=2, obtemos:  ⇒ v=dx/dt=(2/2)t=t.      

 Para c=1/2 e n=3 ⇒ v=dx/dt=(3/2)t² .  

As regras de derivação e de integral deuma função de uma variável real segue na nota de aula  do professor Rafael em PDF.

Outras Regras de Derivação.

Derivada Funções Trigonométricas.

(d/d𝝧)cos(𝝧)=-sen(𝝧),                                (d/d𝝧)sen(𝝧)=cos(𝝧)

Identidade fundamental da trigropnometria.

cos²(𝝧)+sen²(𝝧)=1.

Derivada da exponencial é a própria.    (d/dx) e^x=e^x

Logarítmo: (d/dx) ln(x)= 1/x.

Regras de Integral indefinida

∫f(x)dx=G(x).    

Lê-se inegral de f de x dx é igual a outra função G(x).

com f(x) sendo o integrando e G(x) a primitiva, tal que  a derivada da primitiva resulte no integrando, isto é, 

dG/dx=f(x).

Potência.

∫ xⁿdx=  xⁿ⁺¹/(n+1)

Funções Trigonométricas.

 

∫cos(𝝧)d𝝧=sen(𝝧),                           ∫sen(𝝧)d𝝧=-cos(𝝧)

Derivada da exponencial é a própria.    ∫ e^xdx=e^x

Logarítmo:   ∫ (1/x)dx = ln(x).

Notação: ln(x) é a função logarítmica de x na base e.

O professor Rafael Rodrigues, aceitou o convite para ministrar a disciplina de Bioestatística, para estudantes dos cursos bacharelado em Farmácia e Nutrição.  O professor de matemática Alex ficou doente e pediu 3 meses para tratamento.  Ele estava ministrando a disciplina de Bioestatística.

Matérias relacionadas.

Primeiro encontro com os estudantes do curso bacharelado em Farmácia da UFCG, campus Cuité.

A estatística tem uma aplicação vasta, tendo aplicações em muitas áreas da saúde, do esporte, cultura, ciências, tecnologia, previsão do tempo,  análise de dados de um modo geral. A estatística é fundamentada na teoria da probabilidade.

Experimentos Aleatórios.

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