A distribuição de probabilidade normal ou distribuição gaussiana, é uma densidade de probabilidade associada a uma variável aleatória contínua.
Esperança matemática ou média E[X]=𝛍.
Portanto, a variância torna-se:
Desvio padrão: DP[x}=𝞼.
Note que, a média, mediana e moda, na distribuição normal, têm o mesmo valor.
O desvio padrão apresenta o quanto a variável aleatória varia, ele é uma medida da largura da curva de Gauss. Se o desvio padrão for pequeno a curva ficará próximo da média. Se ele for grande a curva ficará achatada.
Portanto, o valor máximo e mínimo da variável aleatória, respectivamente, torna-se:
Xmáx=𝛍+𝞼 e Xmín=𝛍-𝞼.
A distribuição Gaussiana tem aplicações na mecânica quântica, medida do peso, erros de medição, em experiência de Física, etc.
Sendo muito importante na inferência estatística clássica, que será estudado na terceira parte deste conteúdo programático organizado pelo professor Rafael.
Podemos redefinir a variável aleatória
z=(x - 𝛍)/𝞼.
e a nova Gaussiana f(z) terá a esperança matemática(média) zero, E[z]=0.
E[z] = 0
a variância é um, V[x]=1 e, consequentemente, o desvio padrão torna-se 𝞼=1.
Observe o desenho no quadro e nas figuras acima, a distribuição normal é caracterizada por sua forma simétrica de sino, com o pico no centro, representando a média, sendo simétrica em relação à média, o que significa que metade dos dados está abaixo da média e a outra metade acima.
Veja a explicação do professor Rafael no vídeo. Faça seu resumo.
Veja mais.
Distribuição Binomial.
A distribuição binomial está associa ao cálculo da probabilidade de um experimento com alguns sucessos após ser submetido a várias provas(tentativas), tendo alguns fracassos. Cada experimento tem dois resultados possíveis sucessos e fracassos.
Fórmula da distribuição binomial:
A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é dada pela seguinte fórmula:
P(X = k) = Ck,n pk q(n-k)
Com
p+q=1⇒q=1-p.
k-número de sucessos
n-número finito de tentativas.
p - probabilidade de sucesso em cada tentativa
q-probabilidade de fracasso em cada tentativa.
P(X = k)-probabilidade de obter k sucessos.
Ck,n -número de combinações de n eventos tomados k a k.
Aplicações:
A distribuição binomial é amplamente utilizada em diversas áreas, como:
Controle de qualidade: Para calcular a probabilidade de encontrar um certo número de produtos defeituosos em uma amostra.
Pesquisa de opinião: Para analisar a probabilidade de um certo número de pessoas concordarem com uma determinada opinião.
Genética: Para calcular a probabilidade de um certo número de descendentes herdarem uma determinada característica.
Jogos de azar: Para calcular a probabilidade de ganhar um certo número de vezes em um jogo.
Exemplo:
Imagine que você lance uma moeda honesta 10 vezes. Qual a probabilidade de obter exatamente 5 caras?
Neste caso:
n = 10 (número de lançamentos)
k = 5 (número de caras desejadas)
p = 0,5 (probabilidade de obter cara em cada lançamento)
Ao aplicar a fórmula da distribuição binomial, você pode calcular a probabilidade desejada.
Lembre-se que a derivada da exponencial de y em relação a y resulta na própria exponencial, ou seja,
Segue o texto sobre Distribuição Normal em Latex
\subsection{Distribui\c {c}\~{a}o Normal}
Seja X uma VAC se esta vari\'{a}vel tem fun\c {c}\~{a}o densidade de
probabilidade
dada pela express\~{a}o:
\begin{equation}
f(x)=P(X\leq x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}
\right)^2}, -\infty<x<\infty,
\end{equation}
onde $\mu$ representa a m\'{e}dia E[X] da vari\'{a}vel e
$\sigma$ representa o desvio padr\~ao da vari\'avel (DP[X]).
Ex. Mostre que $f(x)$ representa uma densidade de probabilidade.
A representa\c {c}\~{a}o gr\'{a}fica desta fun\c {c}\~{a}o \'{e} a curva de
Gauss, cujas principais caracter\'\i sticas s\~{a}o as seguintes:
1) Seu ponto m\'aximo \'{e} a m\'{e}dia $X=\mu$;
2) A curva \'{e} sim\'{e}trica com respeito a m\'{e}dia;
3) A distribui\c {c}\~{a}o fica definida pela sua m\'{e}dia $\mu$ e pela sua
vari\^{a}ncia ou pelo seu desvio padr\~{a}o, neste caso dizemos que
$X\rightarrow N(\mu;\sigma^2)$.
Se uma VAC tem distribui\c{c}\~ao Normal, a probabilidade de
sucessos \'{e} representada por uma
\'{a}rea sob a curva dada por:
\begin{equation}
P[a<x<b]=\int_a^b
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}
\right)^2}dx.
\end{equation
Para facilidade de c\'{a}lculo desta integral, pode-se transformar a
variavel X $\rightarrow N(\mu;\sigma^2)$ em uma vari\'avel
$Z\rightarrow N(0;1)$. verifica-se que $Z$ tem
$\mu=0$ e $\sigma^2=1$.
Ex. Fazer a verifica\c{c}\~ao da m\'{e}dia e da
vari\^{a}ncia.
Neste caso teremos
\begin{equation}
f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(Z^2)}, -\infty<Z<\infty.
\end{equation}
Consequentemente,
\begin{equation}
P[X_1\leq X\leq X_2]=P[Z_1\leq Z\leq Z_2]=
\int_{Z_1}^{Z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(Z^2)}dZ.
\end{equation}
Ex: Suponha que $X\rightarrow N(60; 25)$.
Calcule a probabilidade da vari\'{a}vel $X$ assumir valores:
a) Entre 50 e 70;
b) Superior a 55;
c) Inferior a 58;
d) Entre 65 e 68.
Os valores das integrais s\~{a}o encontradas tabelados, por\'{e}m estes
valores tabelados s\~{a}o apenas para valores positivos de $Z$, em virtude da
sim\'{e}tria da curva normal ($0\leq Z \leq \infty)$.
\centerline{Respostas}
a) $P[50\leq X\leq 70]=P[-2\leq Z \leq 2]= 2P[0<Z<2]=95\%$.
Os valores das integrais s\~{a}o encontradas tabelados, por\'{e}m estes
valores tabelados s\~{a}o apenas para valores positivos de $Z$, em virtude da
sim\'{e}tria da curva normal ($0\leq Z \leq \infty)$.
%\end{document}
Na próxima aula veremos a distribuição de Poisson.
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