Aula 8-Aplicações da Bioestatística, UFCG-24.2, Esperança Matemática, ministrada pelo professor Rafael, nesta sexta, 28

  

Hoje, 28 de fevereiro,  aconteceu o segundo encontro do professor Rafael Rodrigues com os estudantes do curso bacharelado em Farmácia da UFCG, campus Cuité.

Diferente modelos determinísticos, com a teoria da mecânica clássica, a  estatística é baseada em experimentos aleatórios, os quais são experimentos em que não se possa prever com certeza o resultado, mas um conjunto de resultados prováveis de ocorrer. 

Veja o vídeo.

Evento de um experimentos aleatório   é um subconjunto de um espaço amostral. 

As propriedades de eventos são as mesmas de  conjuntos de elementos, sob as operações de união, interseção e complementação.

Na aula de hoje vamos explicar os significados da esperança matemática em  estatística de uma variável aleatória discreta X_i. 

Uma variável aleatória discreta é aquela em que o seu contra-domínio é representado por um conjunto real enumerável, seja finito ou infinito. Exemplo: Tiro ao alvo, para saber o número de pontos que acertou no alvo.

Probabilidade.

A probabilidade  permite calcularmos a chance de cada resultado possível ao realizarmos um experimento aleatório.

A probabilidade de uma certa propriedade ocorrer  tendo como resultado de um evento com   uma certa propriedade i, representada por probabilidade P_i , a qual é  definida pela seguinte fração, 

P_i=n_i/n 

Com n_i   sendo o número de ocorrência da variável aleatória com propriedade i dividido pelo número total de possibilidade do experimento.

Propriedades:

i)  P_i é maior ou igual  zero e menor ou igual a um.

ii) Se no espaço amostral não tiver a propriedade i, ou seja, n_i=0 ⇔    P_i=0/n=0.

iii) Se  n_i=n,   P_i= n/n=1.

Uma vairável aleatória discreta X_i é aquela associada ao espaço amostral ou população ou amostragem de valores que ela pode ter, sendo um número enumerável  finito ou infinito de um experimento aleatório. 

Considere uma população de 10 gatos em uma caixa, tendo um gato com 25 dentes. 

a) Qual a probalidade de você pegar um gato aleatoriamente e encontrar o gato de 25 dentes?

Solução.

n₂₅= 1 e o número total de gatos na caixa é n=10. Portanto,

P₂₅=1/10=0,1.

   

b) Se todos os gatos dentro da caixa estão vivos, qual a probabilidade de encontrar um gato morto?

Solução.

n_morto= 0 e o número total de gatos na caixa é n=10. Portanto,

P_morto=0/10=0.

c) Se todos os gatos dentro da caixa estão vivos, qual a probabilidade de encontrar um gato vivo?

Solução.

n_vivo= 10 e o número total de gatos na caixa é n=10. Portanto,

P_vivo=10/10=1.

Na próxima aula iremos ver a função distribuição de portabilidade, esperança matemática, variância, mediana e desvio padrão.

Função de  probabilidade de uma VAD.

Seja X uma VAD tal que X={x_1,x_{2,}....,x_{n,}.....}.

A função P(x_i)=P[X=x_i] denomina-se função de

probalidade no ponto x_i, a qual associa a cada valor da variável

aleatória um número real no intervalo [0,1] tal que 

p(x_i) é  maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..

\sum_{i=1}^nP(x_i)=1.

 (Condição de Normalização)

Distribução de probabilidade.

A distribuição de probabilidade é o conjunto formado ou

representado pelos valores que a VA X pode tomar e suas respectivas

probabilidades.

Função de distribuição acumulada para

uma VAD.

A função de distribuição acumulada para uma VAD é  a

função que dá o valor da probabilidade para n valores da

variável aleatória tal que F(x)=\sum_{x_i\leq x_n}P[X=$ $x_i]$ ou

seja: $F(x_1)=P(x_1)+P(x_2)+....+P(x_n) ⇔ 0\leq F(x)\leq 1.

Ex 1: Considere o espaço amostral associado ao experimento que consta do

lançamento de três moedas e observações de suas faces.

Seja X a VA que representa o número de caras obtidos. Pede-se:

a) O espao amçostral associado ao experimento;

b) A probabilidade em cada ponto de X;

c) A distribuição de probabilidade;

d)\ A distribuição de probabilidade acumulada de variável.

Solução

Seja: C-coroa e  c-cara.

a) Espaço amostral: S={ccc, ccC,cCc, Ccc, CCc, CcC, cCC, CCC},

ou seja, 

S={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6,s_7,s_8};

Com, 

s_1=ccc, s_2=ccC, s_3=cCc, s_4=Ccc, s_5=CCc, s_6=CcC, s_7=cCC, s_8=CCC

b)x_4=X(s_1)=3,

x_3=X(s_2)=X(s_3)=X(s_4)=2,

x_2=X(s_5)=X(s_6)=X(s_7)=1,

x_1=X(s_8)=0.

⇔ X={0,1,2,3}.

As respostas das letras b), c) e d) ficaram  para você completar.

Ex 2: Seja X uma VAD definida pela função:

P[X=t]=1/{2^t}, t=1,2,...

a) Construa a distribuição de probablidade da variável e

verifique se P[X=t] é uma função de probabilidade.

b) Calcule P[X menor do que 3]; P[X ser par]; P[X ser multiplo de 3].

c) Construa a forma explícita de f(x).

Na sala de aula foi calculado a probabilidade de em um lançamento encontrar duas caras e uma coroa?

p(cc)=3/8.

Variável aleatória contínua, será estudado na próxima aula.

Uma VA será contínua se todos os possíveis resultados que ela

possa assumir for um intervalo ou um conjunto determinado em que o

contra-domínio da VA for sempre não enumerável.

Valor esperado de VAD é o somatório de x_i multiplicado pela probabilidade  P(x_i).

E[x]=∑_i x_i P(x_i),

com i=1, 2, 3, ..., n

Obs: O valor esperado é igual a um número real, que fica em torno do

valor mais comum.

Ex 1: Em um certo jogo a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar 100 mil

reais é 80%. Em média quanto se espera ganhar quando se arrisca

nesse jogo, se a pessoa tem 20% de chance de perder 30.000,00.

Solução.

E[x]=∑_i x_i P(x_i)=x₁ P(x1)+x₂ P(x₂)=100.000x0,8-30.000x0,2=74.000.

Portanto, em média se pode ganhar 74.000,00 reais.

 Algumas propriedades de valor esperado de uma VA

a) A esperança matemática de uma constante  é a própria

constante: E[K]=K.

b) Multiplicando-se cada um dos valores de uma VA por uma constante sua

média também ficará multiplicada pela mesma contante.

E[KX]=KE[X].

c) Somando-se ou subtraindo-se uma contante a cada um dos valores de uma VA,

sua média ficará também somada ou subtraida á própria

constante. 

E[X\pm K]=E[X]\pm K.

d) A média dos desvios com relação a um valor médio

centrado é igual a zero.

e) A esperança matemática da soma ou diferença de duas VA

é igual a soma ou diferença de cada VA.

E[X +Y]=E[X] + E[Y], E[X-Y]=E[X] - E[Y].

f) A EM do produto de duas variáveis aleatórias independentes (XY)

é igual ao produto das duas EM associadas às respectivas

variáveis. (VAs mutuamente exclusivas. Se nenhuma VA

possui a mesma propriedade).

E[XY]=E[X]E[Y].

Obs: Para a VAD ou VAC se verificam as mesmas propriedades vista acima.

Na próxima aula veremos exemplos de Variânça e desvio padrão de uma VA.

A variânça  é uma medida estatística de dipersão que mede o

grau de variação entre os valores da VA e sua respectivas EM. A

variança é definido como:

𝝈²[X]=E[(X-E[X])²]

Uma maneira mais prática de calcular a variança é a seguinte:

𝝈²[X]=E[(X-E[X])²]=E[X²-2XE[X]+(E[X])²]

=E[X²]-E[2XE[X]]+E[(E[X])²]=E[X²]-2E[(E[X])²+E[(E[X])²]

Portanto, obtemos:

𝝈²[X]=E[X²]-E[(E[X])²]

Usamos a propriedade da esperaça matemática  E{kX]=kE[x], k-constante, ou seja, 

E[2XE[X]]=2E[X]E[X]=2(E[X])².

Portanto, a variância é a diferença entre o valor esperado do quadrado de X e o valor esperado ao quadrado.

V[X]= 𝝈²[X]=E[X²]-(E[X])².

Se a VA é discreta, a variância torna-se:

𝝈²[X]=∑_i (x_i)²P(x_i) - ( ∑_i x_i P(x_i))².

O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da

variância e representa o desvio (independente da unidade de medida)

entre os valores da variável aleatória e sua média. Ele mede o quanto a variável aleatória varia.

Algumas propriedades sobre a Variância.

1) A variância de uma constante é nula: 

V[K]=0, para K sendo constante.

2) Multiplicando cada valor de uma variável por uma constante, sua

variância fica multiplicada pelo quadrado desta constante.

3) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores de uma

variável sua variânça não se altera.

Blog rafaelrag