Hoje, 30 de setembro é ponto facultativo na UFCG. O professor Rafael ministrará sobre a Cinemática Vetorial e usará o artifício do coeficiente angular da reta no cáculo da velocidade de um Lançamento horizontal de projétil.
Veja a seguir os vídeos gravados ao vivo, direto do -Instituto de Informação Quântica da UFCG-IQUANTA, dando destaque as aplicações da cinemática vetorial. Nos vídeos a seguir, o professor Rafael explicando como calcular o coeficiente angular da reta, no gráfico y versus x ao quadrado, no projeto sobre o Lançamento horizontal da disciplina de Instrumentação I, usando o referencial com orientação positiva para baixo.
Professor Rafael Rodrigues(UFCG, campus Cuité) tirando dúvidas do experimento para medir a velocidade de lançamento horizontal para o seu filho Renan, no IQUANTA. Segue no final desta postagem a lista de exercícios contendo algumas questões do ENEM sobre cinemática escalar (MRUV), cinemática vetorial(lançamento de um projétil) e a energia mecânica do oscilador massa-mola.
O Professor Rafael irá resolver questões de cinemática vetorial com aceleração constante e explicará mais uma vez como fazer a medida da velocidade no lançamento de projétil. Ele está acompanhado de seus dois filhos Renan(na época no 9o. Ano) e Camille(Estudando para fazer o ENEM 2021).
Veja os vídeos.
Devido a uma queda de energia o vídeo foi encerrado antes do final da aula e dividido em 3 partes.
Parte 1
Veja a Parte 2.
Continuação da Aula 08- Instrumentação I, ministrada pelo professor Rafael, nesta quarta-feira, 30/09.
Leia mais.
XIII Simpósio Nacional de Ensino de Física, Brasília-DF, de 25 a 30-01-1999.
O professor Rafael participou com 10 estudantes apresentando trabalhos de ensino de Física e de pesquisa.
LANÇAMENTO HORIZONTAL
Charles Albert Morais Correia1, Eric Alexandre Brito da Silva2 , Eriverton da Silva Rodrigues3 e
Rafael de Lima Rodrigues3
1,3Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Ciências Exatas e da Natureza
Cajazeiras -PB - CEP 58900-000 (E-mail: rafael@fisica.ufpb.br)
2Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Física
Campina Grande-PB
1Escola Estadual de 1º e 2º Graus Padre Hildon Bandeira
Alagoa Grande-PB - CEP 58.388-000
O lançamento horizontal de um objeto próximo da superfície da Terra foi investigado por Galileu (nasceu em 1.564 e morreu em 1.642) na época em que se acreditavam no seguinte fato, baseado em análise qualitativa da filosofia de Aristóteles: um corpo mais pesado deixado cair de uma certa altura tende a chegar mais rapidamente na terra quanto maior for sua massa. Uma das situações Física considerada por Galileu foi o tiro de um canhão na direção horizontal. Ele afirmava que o tempo de queda da bala seria o mesmo independente do poder de alcance ou se ela fosse deixada cair na direção vertical, o que levaria a acreditar na independência dos movimentos vertical e horizontal (mas, isto não é válido em geral). Este é um fato experimental observado ainda hoje desde que você despreze a resistência do ar.
Um corpo lançado no campo gravitacional terrestre sofre uma força de atração para o centro da terra, descrevendo uma órbita curvilínea. No lançamento horizontal de um projétil, próximo da superfície da terra, ocorre o movimento retilíneo uniforme (MRU, velocidade instantânea constante e aceleração nula, na horizontal) e o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV, na vertical, velocidade variável e aceleração instantânea constante). Para descrevermos o MRUV são necessários as seguintes equações para os vetores velocidade v=( vx, vy) e posição r=(x, y), cujas componentes em função do tempo, tornam-se:
vy= v0y + ayt e y= y0 + v0y t+ ½ayt2,
onde y0 e v0y são os valores iniciais para a posição e a velocidade, no instante de tempo inicial, respectivamente. Por outro lado, para descrevermos o MRU tomamos a aceleração nula, e as equações acima tornam-se: “ vx= v0x e x= x0 +vxt “. Note que as equações horárias são funções quadrática e linear em relação ao tempo e, por sua vez, os gráficos de yxt e xxt são parábolas e retas, para o MRUV e o MRU, respectivamente.
Neste trabalho, estamos desprezando a resistência do ar e considerando o campo gravitacional uniforme. Neste caso, a aceleração é exatamente a aceleração da gravidade g, cuja intensidade é aproximadamente 978cm/s2. Escolhendo o referencial com a orientação positiva apontando para cima, obtemos: ay=-g. Consideramos a teoria e a experiência simultaneamente. Um dos objetivos específicos é a análise dos lançamentos horizontais usando a mesma esfera, medindo o alcance seis vezes, embora a velocidade inicial permanecendo sempre constante na ordem dos lançamentos. Atuando unicamente sobre o corpo a força peso que possui intensidade, direção e sentido constante. De acordo com as nossas condições iniciais as equações do lançamento horizontal, tornam-se:
x= v0 t, v0y=0, v0x= v0, y=-(gt2)/2, vy=-gt,.
Eliminando o tempo nas equações para x e y, obtemos a seguinte equação para a trajetória: y=g x2/(2v02). Como o coeficiente do termo quadrático é constante vemos que o gráfico de yxx2 é uma curva parabólica, o que está de acordo com a observação cotidiana de um corpo sendo lançado próximo da superfície da terra.
Esta experiência foi realizada com material de baixo custo. Os materiais utilizados foram os seguintes: uma esfera metálica, uma escala graduada em centímetros, papel carbono sulfite e uma peça de madeira com uma calha curvilínea do ponto de partida até a base horizontal. A peça de madeira foi colocada inicialmente a uma altura de oito centímetros fixa em uma haste que possui uma escala graduada em milímetros, a qual é denominada de eixo y.
Efetuamos seis lançamentos com um corpo de determinada massa e mantendo a velocidade inicial constante em todos os lançamentos. Para uma melhor precisão dos resultados obtidos em nosso experimento, nivelamos o trecho final da pista de lançamento e fixamos um ponto na parte inclinada, que utilizamos como ponto de referência e de onde a esfera é abandonada em todos os lançamentos. Realizamos os lançamentos para seis posições diferentes, variando a altura de lançamento em relação ao solo de oito em oito centímetros. Para encontrarmos o ponto em que a esfera atinge o solo utilizamos um papel carbono sulfite, presos na superfície com fita adesiva [1].
Preenchemos uma tabela com valores para a altura (y) e o alcance (x) do projétil, que nos fornece o gráfico da trajetória parabólica, conforme a equação da trajetória. A velocidade inicial é calculada experimentalmente através do coeficiente angular da reta formada pelo gráfico de y x x2 e o coeficiente da equação da trajetória. Finalmente para duas posições quaisquer de lançamento, obtemos a velocidade da esfera ao tocar o solo, o ângulo que forma com a horizontal e o tempo de queda em cada caso. As equações obtidas não seriam válidas se a resistência do ar não fosse desprezível.
Podemos considerar algumas questões: Um observador em movimento em uma bicicleta com a mesma velocidade de um cavalo, ambos na mesma direção e sentido, veriam uma trajetória retilínea de um objeto que caiu da sela do cavalo. Desenhar a trajetória do objeto para um observador fixo na terra e outro no cavalo, quando: (a) a velocidade do cavalo for constante; (b) a velocidade do cavalo estiver diminuindo e (c) a velocidade do cavalo estiver aumentando.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao Centro de Formação de Professores e ao Centro de Ciências e Tecnologia da UFPB pelo apoio. O último autor agradece também aos alunos e aos dirigentes da Escola Estadual de Primeiro e Segundo Graus Padre Hildon Bandeira, em Alagoa Grande-PB, pela oportunidade de realizarmos esta e outras experiências com a primeira série do ensino médio.
REFERÊNCIAS
[1] Pantano Filho, Rubens. Edson Corrêa da Silva, Carlos Luis Pires Toledo. Física Experimental: como ensinar – Campinas, SP: Papirus, (1987); da Silva, Wilton Pereira e Silva, Cleide M.D. P. S. Física Experimental: Mecânica – João Pessoa - Editora Universitária (UFPB, 1996); Mendonça, Christovam e Rino, José Pedro, “O alcance máximo de um projétil: uma derivação algébrica”, Revista Bras. de Ens. de Física, 19, 260, (1997); Máximo, Antônio e Alvarenga, Beatriz. Curso de Física-Vol. I. Terceira edição, São Paulo-SP; Saraiva, (1997).
[2] Nussenzveig, Herch Moisés. Curso de Física Básica, Mecânica, Vol. I. – São Paulo: Edgard Blucher, (1981).
Veja o texto usando os comandos em latex, a versão em PDF será enviada por whatsapp, para quem solicitar (83)996151111.
\documentclass[preprint,aps]{revtex4}
\begin{document}
{\bf UAFM-CES-UFCG-CUIT\'E- INSTRUMENTAÇÃO I-Lista III}
\vspace{0.5cm}
\noindent{Professor: Rafael de Lima Rodrigues. \hrulefill {\bf Boa Sorte.}}
\noindent{ Aluno(a):\hrulefill 2026.2.}
\vspace{0.5cm}
\noindent 1) Um bombardeiro, mergulhando em um \^angulo de $30^0$ com a vertical,
lan\c{c}a uma bomba de uma altitude de $600m$. A bomba atinge o solo $5,0s$
ap\'os ser lan\c{c}ada. (a) Qual a velocidade do bombardeiro? (b) Qual a
dist\^ancia que a bomba percorre horizontal durante seu trajeto? (c) Qual
a intensidade da velocidade exatamente momento
antes de atingir o solo? (Lembre-se que neste momento o vetor velocidade
possui as componentes horizontal e vertical.)
\vspace{0.5cm}
\noindent 2) Uma pedra \'e arremessada horizontalmente, no v\'acuo, do topo de uma escada,
e atinge o solo \`a dist\^ancia de $40cm$ medida da base da escada.
\noindent a) Achar a velocidade com que a pedra foi arremessada, sabendo que a escada tem $60cm$ de
altura.
\noindent b) Calcular a velocidade da pedra ao atingir o solo.
\vspace{0.5cm}
\noindent 3) Um proj\'etil \' e lan\c{c}ado a um \^angulo $\alpha$
de um penhasco de altura $H$ acima do n\'\i vel do mar. Se ele cair no mar
a uma dist\^ncia $D$ da base do penhasco, prove que sua altura m\'axima
$y$ acima do n\'\i vel do mar \'e dada por: $y=H+\frac{D^2tg^2\alpha}{4(H+Dtg\alpha)}.$
\vspace{0.5cm}
4) Em um lançamento horizontal de uma altura h=30m, a velocidade de lançamento foi de v=20m/s. Considere a aceleração da gravidade como sendo 10 metros por segundo ao quadrado. Determine: a) a trajetória após a esfera sair da base de lançamento até chegar no solo. b) Quanto tempo gasta até chegar no solo? c) Qual a distância alcançada? Qual a velocidade quem chegada ao solo?(Lembre-se de que o vetor velocidade chegando no solo tem duas componentes.)
\noindent 5) Fazer os c\'alculos das demonstra\c{c}\~oes contidas
no artigo sobre o alcance m\'aximo do lan\c{c}amento de um proj\'etil, na Revista Brasileira de Ensino de F\'\i sica, vol. 2, p\'agina 260, 1997, voc\^e pode encontrar em www.sbfisica.org.br).
\vspace{0.5cm}
\noindent 5) Fazer os c\'alculos das demonstra\c{c}\~oes contidas
no artigo sobre o alcance m\'aximo do lan\c{c}amento de um proj\'etil, na Revista Brasileira de Ensino de F\'\i sica, vol. 2, p\'agina 260, 1997, voc\^e pode encontrar em www.sbfisica.org.br).
\vspace{0.5cm}
6) Questão de Física do Primeiro Ano: cinemática (lançamento de um projétil), questão 59 do ENEM 2015 sobre lançamento de projétil.
Um garoto foi à loja comprar um estilingue e encontrou dois modelos: um com borracha mais “dura” e outro com borracha mais “mole”. O garoto concluiu que o mais adequado seria o que proporcionasse maior alcance horizontal, D, para as mesmas condições de arremesso, quando submetidos à mesma força aplicada. Sabe-se que a constante elástica kd (do estilingue mais “duro”) é o dobro da constante elástica km (do estilingue mais “mole”). A razão entre os alcances Dd/Dm , referentes aos estilingues com borrachas “dura” e “mole”, respectivamente, é igual a.
7) Considere um objeto sendo lançamento na horizontal de cima de um prédio de 2500cm de atura, com velocidade de 5m/s, desprezando o atrito do ar, considerando a aceleração da gravidade g=1000 cm/s2, determine o tempo e o alcance ao atingir o solo.
8) Uma partícula é lançada no ar governada pela seguinte equação horária
h(t)= - t2+6t + 7.
Determine o tempo de permanência no ar e o alcance. Use o teorema fundamental do cálculo diferencial.
Sugestões.
Lista III-Questão 3) Um projétil é lançado a um ângulo 𝛂 (alpha) de um penhasco de altura H acima do nível do mar. Se ele cair no mar a uma distância D da base do penhasco, prove que sua altura máxima y acima do nível do mar é dada por:
y=H+(D2tg2𝛂)/(4H+4Dtg𝛂).
Notação: tg2𝛂, é a tangente ao quadrado de 𝛂)
Sugestão para resolver as questões 3, 7 e 8.
Questão 3)
Dados:
y0=h é a altura inicial.
D=x é o alande do lançamento, ao atingir o solo.
Ao lançarmos um objeto no ar, temos dois tipos de movimento:
i) Na vertical, MRUV
Velocidade variável
vy= v0y+ayt
Equação horária do MRUV
y= y0+v0yt+(ayt2)/2
Escolhendo o referencial positivo com orientação positiva para cima, a componente da aceleração da gravidade será negativa, pois ela está sempre atuando para baixo.
ay=-g. A componente do vetor velocidade inicial, torna-se:
v0y=v0cos(𝛂)
Neste caso, obtemos:
vy= v0cos(𝛂) - gt
y= H+v0cos(𝛂)t - (gt2)/2
ii) Na horizontal o MRU, a velocidade é constante.
v0x=v0cos(0)= v0 = D/t⇔ t=D/v0
Pois, cos(0)=1.
Questão 59 do ENEM 2015 sobre lançamento de projétil.
Um garoto foi à loja comprar um estilingue e encontrou dois modelos: um com borracha mais “dura” e outro com borracha mais “mole”. O garoto concluiu que o mais adequado seria o que proporcionasse maior alcance horizontal, D, para as mesmas condições de arremesso, quando submetidos à mesma força aplicada. Sabe-se que a constante elástica kd (do estilingue mais “duro”) é o dobro da constante elástica km (do estilingue mais “mole”). A razão entre os alcances Dd/Dm , referentes aos estilingues com borrachas “dura” e “mole”, respectivamente, é igual a.
Antes é preciso deduzir o alcance D, no lançamento obliquo de um projétil.
Sabendo a equação do alcance de um lançamento de um projétil,
D=(v2/g)sen(2𝜽),
v a velocidade inicial, g a aceleração da gravidade e 𝜽 sendo o ângulo de lançamento.
Na próxima sexta-feira, 02 de outubro, das 10:10h às 11:40h, faremos uma revisão de cinemática vetorial e estudaremos as leis de Newton com ênfase ao principio fundamental da dinâmica.
Questão 8)
Ao lançarmos um objeto no ar, temos dois tipos de movimento:
i) Na vertical, MRUV
Velocidade variável
vy= v0y+ayt
Equação horária do MRUV
y= y0+v0yt+(ayt2)/2
Altura final, y=0, a velocidade inicial no eixo y também é nula,
y0=0.
Então, após transformar as unidades de medidas para o SI, obtemos:
0=25+0-(10t2)/2⇔
Escolhendo o referencial positivo com orientação positiva para cima, a componente da aceleração da gravidade será negativa, pois ela está sempre atuando para baixo.
ay=-g. A componente do vetor velocidade inicial, torna-se:
v0y=v0cos(𝛂)
Neste caso, obtemos:
vy= v0cos(𝛂) - gt
y= H+v0cos(𝛂)t - (gt2)/2
ii) Na horizontal o MRU, a velocidade é constante.
v0x=v0cos(0)= v0 = D/t⇔ t=D/v0
Pois, cos(0)=1.
EXPERIENCIA II EM LATEX
Compare com a versão em PDF enviada para o grupo da disciplina.
\documentclass[12pt]{article}
\begin{document}
\centerline{\bf INSTRUMENTAÇÃO I - UAFM-CES-UFCG}
\centerline{\bf EXPERIENCIA II: Lan\c{c}amento Horizontal}
\noindent Professor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill PER\'IODo 2026.2
\noindent Aluno(a): \hrulefill Boa Sorte!
\vspace{0.5cm}
\centerline{\bf Introdu\c{c}\~ao Te\'orica}
A acelera\c{c}\~ao da gravidade $g,$
cuja intensidade \'e aproximadamente $978cm/s^2.$ Escolhendo o
referencial com a orienta\c{c}\~ao positiva apontando para cima,
obt\'em-se: $a_y=-g$.
Um dos objetivos espec\'\i ficos \'e a an\'alise
dos lan\c{c}amentos horizontais usando a mesma esfera, medindo o
alcance seis vezes, embora a velocidade inicial permanecendo sempre
constante na ordem dos lan\c{c}amentos. Atuando unicamente sobre o
corpo a for\c{c}a peso que possui intensidade, dire\c{c}\~ao e
sentido constante. De acordo com as nossas condi\c{c}\~oes iniciais
as equa\c{c}\~oes do lan\c{c}amento horizontal, tornam-se:
\begin{equation}
x= v_{0x} t, \quad v_{0y}=0, \quad v_{0x}= v_{0}cos0^o= v_0, \quad
y_0= 0 \Rightarrow y=\frac{-(gt^2)}{2}, \quad v_y=-gt,
\end{equation}
onde $t$ \'e o tempo de perman\^encia no ar. Eliminando o tempo nas
equa\c{c}\~oes para $x$ e $y$, obtemos a seguinte equa\c{c}\~ao para
a trajet\'oria, ou seja, substituindo $t= \frac{x}{v_0}$ em
$y=\frac{-(gt^2)}{2},$ obtemos:
\begin{equation}
y=-\frac{g x^2}{(2v_0^2)}.
\end{equation}
Como o coeficiente do termo quadr\'atico \'e constante vemos que o
gr\'afico de $y$x$x$ \'e uma curva parab\'olica com a concavidade
voltada para baixo, o que est\'a de acordo com a observa\c{c}\~ao
cotidiana de um corpo sendo lan\c{c}ado pr\'oximo da superf\'\i cie
da Terra.
\centerline{\bf Roteiro da Experi\^encia II}
\centerline{\bf Uma experi\^encia sobre o Lan\c{c}amento Horizontal}
\vspace{0.5cm}
Esta experi\^encia foi realizada com material de baixo custo. Os
materiais utilizados foram os seguintes: uma esfera met\'alica, uma
escala graduada em cent\'\i metros, papel carbono sulfite e uma
pe\c{c}a de madeira com uma calha curvil\'\i nea do ponto de partida
at\'e a base horizontal. A pe\c{c}a de madeira foi colocada
inicialmente a uma altura de oito cent\'\i metros fixa em uma haste
que possui uma escala graduada em mil\'\i metros, a qual \'e
denominada de eixo $y$. Efetuamos seis lan\c{c}amentos com um corpo
de determinada massa e mantendo a velocidade inicial constante em
todos os lan\c{c}amentos. Para uma melhor precis\~ao dos resultados
obtidos em nosso experimento, nivelamos o trecho final da pista de
lan\c{c}amento e fixamos um ponto na parte inclinada, que utilizamos
como ponto de refer\^encia e de onde a esfera \'e abandonada em
todos os lan\c{c}amentos. Realizamos os lan\c{c}amentos para seis
posi\c{c}\~oes diferentes, variando a altura de lan\c{c}amento em
rela\c{c}\~ao ao solo de oito em oito cent\'\i metros. Para
encontrarmos o ponto em que a esfera atinge o solo utilizamos um
papel carbono sulfite, presos na superf\'\i cie com fita adesiva.
Preenchemos na tabela abaixo os valores para a altura ($y$) e o
alcance ($x$) do proj\'etil, que nos fornece o gr\'afico da
trajet\'oria parab\'olica, conforme a equa\c{c}\~ao da trajet\'oria.
\begin{center}
\begin{tabular}{||lll||lr||} \hline
OL\vline $y(cm)$\vline & $x(cm)$\vline & $x^2(cm^2)$\\
\hline
$1^{\underline 0}$ \vline & {}\vline & {}\vline \\
\hline
$2^{\underline 0}$ \vline & {}\vline & {}\vline \\
\hline
$3^{\underline 0}$ \vline & {}\vline & {}\vline \\
\hline
$4^{\underline 0}$ \vline & {}\vline & {}\vline \\
\hline
$5^{\underline 0}$ \vline & {}\vline & {}\vline \\
\hline
$6^{\underline 0}$ \vline & {}\vline & {}\vline \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Conven\c{c}\~ao: OL \'e a ordem dos lan\c{c}amentos, $y$ \'e a
altura em rela\c{c}\~ao ao solo e $x$ \'e o alcance.
A velocidade inicial \'e calculada experimentalmente atrav\'es do
coeficiente angular da reta formada pelo gr\'afico de $y$ x $x^2$ e
o coeficiente da equa\c{c}\~ao da trajet\'oria. Finalmente para duas
posi\c{c}\~oes quaisquer de lan\c{c}amento, obtemos a velocidade da
esfera ao tocar o solo, o \^angulo que forma com a horizontal e o
tempo de queda em cada caso. As equa\c{c}\~oes obtidas n\~ao seriam
v\'alidas se a resist\^encia do ar n\~ao fosse desprez\'\i vel.
Podemos considerar algumas quest\~oes: Um observador em movimento em
uma bicicleta com a mesma velocidade de um cavalo, ambos na mesma
dire\c{c}\~ao e sentido, veriam uma trajet\'oria retil\'\i nea de um
objeto que caiu da sela do cavalo. Desenhar a trajet\'oria do objeto
para um observador fixo na Terra e outro no cavalo, quando: (a) a
velocidade do cavalo for constante; (b) a velocidade do cavalo
estiver diminuindo e (c) a velocidade do cavalo estiver aumentando.
Lembre-se que a pedra ao cair ela tem a mesma velocidade do cavalo
e, portanto, devido a atra\c{c}\~ao gravitacional do nosso planeta
um observador na Terra ver\'a uma trajet\'oria parab\'olica.
\end{document}
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Revisão das Propriedades de Derivada de uma função de uma variável real.
i) Derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
ii) Derivada da soma de duas funções é a soma da derivada de cada função.
Vamos calcular agora a velocidade instantânea usando a definição de derivada, para o caso em que a coordenada de posição seja uma função quadrática x=t2 vamos calcular a seguinte variação: Δx=x(t+Δt)-x(t).
Usando o produto notáveis, (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab, obtemos:
x=t2 ⇒ x(t+Δt)= (t+Δt)2 = t2 + Δt2 + 2t . Δt
⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt= (t2 + Δt2 + 2t Δt-t2)/Δt = (Δt2 + 2t Δt)/Δt
⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt=(Δt2 + 2t Δt)/Δt=Δt2 /Δt+ 2t Δt/Δt= Δt+2t.
⇒ Δx/Δt= Δt+2t.
Portanto, aplicando o limite de Δt tendendo a zero, o termo Δt tende a zero e restando 2t,
ou seja, a velocidade instantânea
torna-se: v=dx/dt=dt2/dt =2t.
Generalizando, as regras de derivação de uma potência elevado a n, obtemos:
Derivada de uma constante é zero:
dc/dt=0,
com c sendo uma constante.
Derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivda da função:
d(cf)/dt=cdf/dt.
Exemplos:
Seja c=1/2, para n=2, obtemos: ⇒ v=dx/dt=(2/2)t=t.
Para c=1/2 e n=3 ⇒ v=dx/dt=(3/2)t2 .
As regras de derivação e de integral deuma função de uma variável real segue na nota de aula do professor Rafael em PDF.
Outras Regras de Derivação.
Derivada Funções Trigonométricas.
(d/d𝝧)cos(𝝧)=-sen(𝝧), (d/d𝝧)sen(𝝧)=cos(𝝧)
Identidade fundamental da trigropnometria.
cos2(𝝧)+sen2(𝝧)=1.
Derivada da exponencial é a própria. (d/dx) ex=ex
Logarítmo: (d/dx) ln(x)= 1/x.
Regras de Integral indefinida
∫f(x)dx=G(x).
Lê-se integral de f de x dx é igual a outra função G(x).
com f(x) sendo o integrando e G(x) a primitiva, tal que a derivada da primitiva resulte no integrando, isto é,
dG/dx=f(x).Potência.
∫ xndx= xn+1/(n+1)
Funções Trigonométricas.
∫cos(𝝧)d𝝧=sen(𝝧), ∫sen(𝝧)d𝝧=-cos(𝝧)
Derivada da exponencial é a própria. ∫ exdx=ex
Logarítmo: ∫ (1/x)dx = ln(x).
Notação: ln(x) é a função logarítmica de x na base e.
Questã 8)
Candidatos a valor mínimo ou máximo de uma função.
Derivadando uma função e igualando a zero, obtemos os candidatos a máximo ou mínimo da função.
Dado uma função do tempo, representando a trajetória de uma partícula h(t), temos:
dh(t)/dt=0, em t= t1 .
Se a derivada de segunda ordem for positiva, dizemos que aquele valor é um ponto de mínimo, ou seja,
d2h(t)/dt2/dt>0, em t= t1,
então o valor t= t1 é um ponto de mínimo. Neste caso o valor mínimo da finção torna-se,
hmín=h(t1).
Se a derivada de segunda ordem for negativa, dizemos que aquele valor é um ponto de máximo, ou seja,
d2h(t)/dt2/dt<0, em t= t2,
então o valor t= t2 é um ponto de máximo. Neste caso o valor máximo da finção torna-se,
hmáx=h(t2).
Poderia ser resolvido calculando o vértice da parábola h((t),
tv=-b/2a.
Como o ceficiente do termoquadrático é negativo, a ciurva da parábola é para cima e o valor máximo da função será
hmáx=h(tv)
Blog rafaelrag
Nenhum comentário:
Postar um comentário