Na figura abaixo vemos duas curvas gaussianas. No que quanto maior o desvio padrão mais larga será a curva gaussiana. Em ambas curvas a variável aleatória tem média igual a 8.
Exercícios
Considere que a variável aleatória Z seja a temperatura de um termômetro associada a Distribuição Normal padrão N(um 0,1). Qual a probabilidade de escolher um termômetro que acuse a leitura da temperatura entre 1, 42 e 2,64 graus Celcius?
Solução
É preciso calcular a probabilidade
P(1,42≤ Z ≤ 2,64)=?
Desenhe o gráfico da gaussiana, para visualizar melhor.
Distribuição Normal
Em uma densidade de probabilidade gaussiana a esperança matemática(média) é E[X]= 𝞵 e V[x]=𝞼² é a variância de X.
Exercícios sobre a Distribuição Normal padrão(ou reduzida).
A densidade de probabilidade de uma distribuição Normal padrão, f(z), é representado por N(0,1). Agora, a esperança matemática(média) é E[Z]= 0 e V[Z]=1 é a variância de Z.
Considere que a variável aleatória Z seja a temperatura de um termômetro associada a Distribuição Normal padrão N(0,1). Qual a probabilidade de escolher um termômetro que acuse a leitura da temperatura entre 1, 42 e 2,64 graus Celcius?
Solução
É preciso calcular a probabilidade
P(1,42≤ Z ≤ 2,64)=?
Desenhe o gráfico da gaussiana, para visualizar melhor.
Tabela Z: A tabela Z fornece os valores de f(z) para diferentes valores de z. Para encontrar P(Z < 1,42), procure o valor de 2 na coluna "z" e o valor na coluna 4 e descendo você encontrará o valor correspondente na coluna "Área". O valor encontrado será a probabilidade desejada.
A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das distribuições de probabilidade mais importantes em estatística e tem diversas aplicações em diferentes áreas do conhecimento.
A Estatística é a base para diversos testes estatísticos, como o teste t e o teste z.
Ela pode ser utilizada para modelar erros em modelos estatísticos, como a regressão linear.
Permite calcular probabilidades de ocorrência de eventos em diversos fenômenos.
Ciências Naturais: É utilizada para descrever a distribuição de diversas variáveis, como temperatura, altura, peso, pressão sanguínea e resultados de testes de inteligência.
É aplicada em estudos de fenômenos físicos, como a distribuição de erros de medição.
Finanças:
É utilizada para modelar o comportamento de preços de ativos financeiros. É aplicada em cálculos de risco e retorno de investimentos.
Engenharia:
É utilizada no controle de qualidade de processos industriais. É aplicada na análise de confiabilidade de sistemas.
Ciência da Computação:
É utilizada em algoritmos de aprendizado de máquina e inteligência artificial. É aplicada na análise de dados e reconhecimento de padrões.
Características da Distribuição Normal:
É uma distribuição contínua e simétrica em forma de sino.
A média, a mediana e a moda têm o mesmo valor.
A área sob a curva representa a probabilidade total, que é igual a 1.
A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão 1.
Importância da Distribuição Normal.
O Teorema Central do Limite garante que a distribuição da média de uma amostra tende a uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta.
A distribuição normal permite fazer previsões e inferências estatísticas com base em dados amostrais.
A distribuição normal padrão permite comparar dados de diferentes distribuições. Claro, vamos calcular as probabilidades para a distribuição normal N(60; 25).
a) Probabilidade entre 50 e 70:
A relação entre a variável aleatória X e Z é:
Z=(X-𝞵 )/𝞼.
1. Calcule os valores de Z:
X=50 ⇔Z1= (50 - 60) / 5 = -2
X=60 ⇔ Z2 = (70 - 60) / 5 = 2
2. Encontre as probabilidades correspondentes:
P(Z < -2) = 0,0228
P(Z < 2) = 0,9772
3. Calcule a probabilidade desejada:
P(50 < X < 70) = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = 0,9772 - 0,0228 = 0,9544
b) Probabilidade superior a 55:
1. Calcule o valor de Z:
Z = (55 - 60) / 5 = -1
2. Encontre a probabilidade correspondente:
P(X > 55) = P(Z > -1) = 1 - P(Z < -1) = 1 - 0,1587 = 0,8413
Resultados:
a) A probabilidade de X estar entre 50 e 70 é de 0,9544 ou 95,44%.
b) A probabilidade de X ser superior a 55 é de 0,8413 ou 84,13%. A probabilidade P(Z < 2) representa a área sob a curva da distribuição normal padrão à esquerda do valor z = 2. Para calcular essa probabilidade, utilizamos a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão, denotada por f(z).
A função f(z) não possui uma fórmula analítica simples, mas pode ser calculada numericamente ou encontrada em tabelas estatísticas.
Métodos para calcular P(Z < 2):
Tabela Z: A tabela Z fornece os valores de f(z) para diferentes valores de z. Para encontrar P(Z < 2), procure o valor de 2 na coluna "z" e o valor correspondente na coluna "Área". O valor encontrado será a probabilidade desejada.
Calculadora estatística: A maioria das calculadoras científicas possui funções estatísticas que permitem calcular f(z). Procure a função "normalcdf" ou similar e insira os valores de z desejados.
Software estatístico: Softwares como R, Python (com a biblioteca SciPy) ou Excel possuem funções para calcular f(z).
Exemplo:
Usando uma tabela Z ou calculadora, encontramos que P(Z < 2) ≈ 0,9772.
Interpretação:
A probabilidade P(Z < 2) ≈ 0,9772 significa que há aproximadamente 97,72% de chance de uma variável aleatória com distribuição normal padrão assumir um valor menor que 2.
Aula 9- Variância e Desvio Padrão de uma variável aleatória, ministrada pelo professor Rafael.
Veja o vídeo e deixe o ok. https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-9-aplicacoes-da-bioestatistica.html?m=1
Aula 10 - Bioestatística sobre variável aleatória contínua ... https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-10-de-bioestatistica-variavel.html?m=1
Aula 11 de Bioestatística - Esperança Matemática e Variância para uma Variável aleatória contínua com o professor Rafael, nesta sexta-feira, 14
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Aula 11-Bioestatística - Esperança Matemática e Variância para uma Variável aleatória contínua
https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-11-de-bioestatistica-esperanca.html?m=1
Aula 13-Bioestatística, Distribuições de Poisson e Uniforme com o professor Rafael
https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-13-bioestatistica-distribuicoes-de.html?m=1
Blog rafaelrag
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