Na figura abaixo vemos duas curvas gaussianas. No que quanto maior o desvio padrão mais larga será a curva gaussiana. Em ambas curvas a variável aleatória tem média igual a 8.
Exercícios
Considere que a variável aleatória Z seja a temperatura de um termômetro associada a Distribuição Normal padrão N(um 0,1). Qual a probabilidade de escolher um termômetro que acuse a leitura da temperatura entre 1, 42 e 2,64 graus Celcius?
Solução na lista de exercícios não é apenas o resultado.
É preciso calcular a probabilidade
P(1,42≤ Z ≤ 2,64)=?
Quando for resolver a lista de exercícios é preciso desenhe o gráfico da gaussiana, para visualizar a área a ser calculada. Explicar também como obter o resultado usando a tabela.
Por exemplo,
P(Z ≤ 1,42) é igual a área abaixo da curva de menos o infinito a Z=1,42. Na tabela, é o valor da interseção o valor da coluna Z, 1,4, partindo na horizontal e indo até encontrar o valor de interseção com a coluna número 2. A partir da coluna 2, você desce até encontrar o valor da área, que corresponde exatamente no ponto de interseção.
Vamos praticar!
Distribuição Normal
Em uma densidade de probabilidade gaussiana a esperança matemática(média) é E[X]= 𝞵 e V[x]=𝞼² é a variância de X.
Exercícios sobre a Distribuição Normal padrão(ou reduzida).
A densidade de probabilidade de uma distribuição Normal padrão, f(z), é representado por N(0,1). Agora, a esperança matemática(média) é E[Z]= 0 e V[Z]=1 é a variância de Z.
Considere que a variável aleatória Z seja a temperatura de um termômetro associada a Distribuição Normal padrão N(0,1). Qual a probabilidade de escolher um termômetro que acuse a leitura da temperatura entre 1, 42 e 2,64 graus Celcius?
Solução
É preciso calcular a probabilidade
P(1,42≤ Z ≤ 2,64)=?
Desenhe o gráfico da gaussiana, para visualizar melhor.
Tabela Z: A tabela Z fornece os valores de f(z) para diferentes valores de z. Para encontrar P(Z < 1,42), procure o valor de 1,4 na coluna "z" e o valor na coluna 2, descendo você encontrará o valor correspondente na coluna "Área". O valor encontrado será a probabilidade desejada.
A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das distribuições de probabilidade mais importantes em estatística e tem diversas aplicações em diferentes áreas do conhecimento.
A Estatística é a base para diversos testes estatísticos, como o teste t e o teste z.
Ela pode ser utilizada para modelar erros em modelos estatísticos, como a regressão linear.
Permite calcular probabilidades de ocorrência de eventos em diversos fenômenos.
Ciências Naturais: É utilizada para descrever a distribuição de diversas variáveis, como temperatura, altura, peso, pressão sanguínea e resultados de testes de inteligência.
É aplicada em estudos de fenômenos físicos, como a distribuição de erros de medição.
Finanças:
É utilizada para modelar o comportamento de preços de ativos financeiros. É aplicada em cálculos de risco e retorno de investimentos.
Engenharia:
É utilizada no controle de qualidade de processos industriais. É aplicada na análise de confiabilidade de sistemas.
Ciência da Computação:
É utilizada em algoritmos de aprendizado de máquina e inteligência artificial. É aplicada na análise de dados e reconhecimento de padrões.
Características da Distribuição Normal:
É uma distribuição contínua e simétrica em forma de sino.
A média, a mediana e a moda têm o mesmo valor.
A área sob a curva representa a probabilidade total, que é igual a 1.
A distribuição normal padrão tem média 0 e desvio padrão 1.
Importância da Distribuição Normal.
O Teorema Central do Limite garante que a distribuição da média de uma amostra tende a uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta.
A distribuição normal permite fazer previsões e inferências estatísticas com base em dados amostrais.
A distribuição normal padrão permite comparar dados de diferentes distribuições. Claro, vamos calcular as probabilidades para a distribuição normal N(60; 25).
a) Probabilidade entre 50 e 70:
A relação entre a variável aleatória X e Z é:
Z=(X-𝞵 )/𝞼.
1. Calcule os valores de Z:
X=50 ⇔Z1= (50 - 60) / 5 = -2
X=60 ⇔ Z2 = (70 - 60) / 5 = 2
2. Encontre as probabilidades correspondentes:
P(Z < -2) = 0,0228
P(Z < 2) = 0,9772
3. Calcule a probabilidade desejada:
P(50 < X < 70) = P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2) = 0,9772 - 0,0228 = 0,9544
b) Probabilidade superior a 55:
1. Calcule o valor de Z:
Z = (55 - 60) / 5 = -1
2. Encontre a probabilidade correspondente:
P(X > 55) = P(Z > -1) = 1 - P(Z < -1) = 1 - 0,1587 = 0,8413
O resultado é obtido usando a tabela Z.
Resultados, na lista de exercícios você deve apresentar os detalhes dos cálculos:
a) A probabilidade de X estar entre 50 e 70 é de 0,9544 ou 95,44%.
b) A probabilidade de X ser superior a 55 é de 0,8413 ou 84,13%. A probabilidade P(Z < 2) representa a área sob a curva da distribuição normal padrão à esquerda do valor z = 2. Para calcular essa probabilidade, utilizamos a função de distribuição normal padrão, denotada por f(z).
A função f(z) não possui uma fórmula analítica simples, mas pode ser calculada numericamente ou encontrada em tabelas estatísticas.
Métodos para calcular P(Z < 2):
Tabela Z: A tabela Z fornece os valores de f(z) para diferentes valores de z. Para encontrar P(Z < 2), procure o valor de 2 na coluna "z" e o valor correspondente na coluna "Área". O valor encontrado será a probabilidade desejada.
Calculadora estatística: A maioria das calculadoras científicas possui funções estatísticas que permitem calcular f(z). Procure a função "normalcdf" ou similar e insira os valores de z desejados.
Software estatístico: Softwares como R, Python (com a biblioteca SciPy) ou Excel possuem funções para calcular f(z).
Exemplo:
Usando uma tabela Z ou calculadora, encontramos que P(Z < 2) ≈ 0,9772.
Interpretação:
A probabilidade P(Z < 2) ≈ 0,9772 significa que há aproximadamente 97,72% de chance de uma variável aleatória com distribuição normal padrão assumir um valor menor que 2.
A distribuição de Poisson é uma ferramenta estatística poderosa para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Vamos explorar algumas questões e soluções para solidificar sua compreensão:
Definição: A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.
Probabilidade:
P(k; λ) = λkexp(-λ )/ k!
Com exp(-λ )sendo a exponencial negativa de lambda(λ).
- P(x; λ) sendo a probabilidade de k eventos ocorrerem.
- λ (lambda) sendo a taxa média de ocorrência de eventos.
- e sendo a constante de Euler (aproximadamente 2,71828).
- k! é o fatorial de k, isto é,
k!=k(k-1)(k-2)(k-3)!
Condições:
Os eventos devem ser independentes.
A taxa média de ocorrência (λ) deve ser constante.
A probabilidade de dois ou mais eventos ocorrerem em um intervalo muito curto é desprezível.
Questões e Soluções
Ex1: Em média, 5 clientes chegam a uma loja por hora. Qual a probabilidade de exatamente 3 clientes chegarem na próxima hora?
Solução:
Usando a distribuição de Poisson, temos:
λ = 5 (taxa média de chegada de clientes por hora).
k = 3 (número de clientes que queremos calcular a probabilidade).
P(3; 5) = (e-553) / 3! ≈ 0,1404.
Pois,3!=3x2x1=6
A probabilidade de exatamente 3 clientes chegarem na próxima hora é de aproximadamente 14,04%.
Ex2: Um site recebe em média 2 ataques cibernéticos por semana. Qual a probabilidade de não haver ataques na próxima semana?
Solução:
λ = 2 (taxa média de ataques por semana).
k = 0 (nenhum ataque).
P(0; 2) = (e-2 20) / 0! =e-2≈ 0,1353.
Pois, 0!=1.
A probabilidade de não haver ataques na próxima semana é de aproximadamente 13,53%.
Ex3: Uma linha de produção fabrica peças com uma taxa de defeito de 1 por 1000 peças. Se 5000 peças forem produzidas, qual a probabilidade de haver exatamente 5 peças defeituosas?
Solução:
λ = 5000 (1/1000) = 5 (taxa média de defeitos em 5000 peças).
k = 5 (número de peças defeituosas).
P(5; 5) = (e-555) / 5! ≈ 0,1755.
Pois,
5!=5x4x3x2x1=20x3x2x1=120.
A probabilidade de haver exatamente 5 peças defeituosas é de aproximadamente 17,55%.
Aula 9- Variância e Desvio Padrão de uma variável aleatória, ministrada pelo professor Rafael.
Veja o vídeo e deixe o ok. https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-9-aplicacoes-da-bioestatistica.html?m=1
Aula 10 - Bioestatística sobre variável aleatória contínua ... https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-10-de-bioestatistica-variavel.html?m=1
Aula 11 de Bioestatística - Esperança Matemática e Variância para uma Variável aleatória contínua com o professor Rafael, nesta sexta-feira, 14
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Aula 11-Bioestatística - Esperança Matemática e Variância para uma Variável aleatória contínua
https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-11-de-bioestatistica-esperanca.html?m=1
Aula 13-Bioestatística, Distribuições de Poisson e Uniforme com o professor Rafael
https://rafaelrag.blogspot.com/2025/03/aula-13-bioestatistica-distribuicoes-de.html?m=1
Tabela Z positiva
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