Hoje, 7 de março, é o terceiro encontro do professor Rafael Rodrigues com os estudantes da disciplina de Bioestatística do curso bacharelado em Farmácia da UFCG, campus Cuité. No final do vídeo abaixo veremos uma introdução a derivada e integral que será útil na próxima aula,na quarta-feira, 12 de março, no estudo da estatística de variáveis aleatórias contínuas.
Veja o vídeo.
A variância é uma medida estatística de dispersão que mede o
grau de variação entre os valores da VA e sua respectivas EM. A
variância é definido como:
𝝈2[X]=E[(X-E[X])2]
Uma maneira mais prática de calcular a variância é a seguinte:
𝝈2[X]=E[(X-E[X])2]=E[X2-2XE[X]+(E[X])2]
=E[X2]-E[2XE[X]]+E[(E[X])2]=E[X2]-2E[(E[X])2+E[(E[X])2]
Portanto, obtemos:
𝝈2[X]=E[X2]-E[(E[X])2]
Na última passagem acima usamos a propriedade da esperança matemática E{kX]=kE[x], k-constante, ou seja,
E[2XE[X]]=2E[X]E[X]=2(E[X])2.
Portanto, a variância é a diferença entre o valor esperado do quadrado de X e o valor esperado ao quadrado.
V[X]= 𝝈2[X]=E[X2]-(E[X])2.
Se a VA é discreta, a variância torna-se:
V(x)=𝝈2[X]=∑i (xi)2P(xi) - ( ∑i xi P(xi))2.
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da
variância e representa o desvio (independente da unidade de medida)
entre os valores da variável aleatória e sua média. Ele mede o quanto a variável aleatória varia.
Algumas propriedades sobre a Variância.
1) A variância de uma constante é nula:
V[K]=0, para K sendo constante.
2) Multiplicando cada valor de uma variável por uma constante, sua
variância fica multiplicada pelo quadrado desta constante.
3) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores de uma
variável, sua variância não se altera.
Desvio Padrão.
O desvio padrão é definido como sendo a raiz quadrada positiva da variância, mede o quanto a variável aleatória varia. Ele representa o desvio entre os valores de suas variáves aleatórias e sua esperança matemática.
DP=𝝈[X]=(E[X2]-(E[X])2)1/2
Notação: se y2=X
⇔
Então, a rais quadrada de X pode ser escrita da seguinte forma: y=(X)1/2
Derivada.
Para compreender o caso da variável aleatória contínua é preciso saber a derivada e integral. A velocidade instantânea é uma derivada, cujo conceito foi inventado por Isaac Newton para calcular a velocidade em um intervalo de tempo bem próximo um do outro. Exemplo: velocidade obersvada em um velocímetro de um carro.
Velocidades média
Exemplo. Qual a velocidade média de um carro que gasta 15 minutos do centro de Cuité para o trevo da BR104, que fica a 23km de distância?
Solução.
Note que para transformar de km/min para km/h
1km/min=[1/(1/60)]km/h=60km/h. Neste caso, para transformar de km/min basta multiplicar e dividir por por 60.
Logo, neste exemplo como a velocidade média é
v=d/t=(23/15)km/min
Para que no denomindor apareça 60min, devemos multiplicar 15 por 4. Ao fazer isso devemos multiplivar nynerador também por 4 e a velocidade média torna-se
v=d/t=(23/15)km/min=[(4x23)/4x15]km/h=[92km/60 mih=92km/h.
Resposta,
v=92km/h.
Atenção!
No caso de transformar 1km/h para m/s, multiplicamos ou dividimos por 3,6?
Lembre-se que 1km=1000m e 1h=60min=60x60s=3600s. Portanto,
1km/h=1000m/3600s=(1 /3,6)m/s, ou seja, 1m/s=3,6km/h.
Conceito de Velocidades instantânea
A velocidade instantânea é obtida a partir da equação da velocidade média com o intervalo de tempo tendendo para zero, ou seja, no limeta da velociadade média com . Isso é o que denominamos de derivada de x em relação ao tempo t.
Entendendo o significado físico de Velocidade
Na prática, você poderá ver a velocidade instantânea de um carro, olhando para o velocímetro, quando estiver com a velocidade limite permite pela lei de trânsito brasileira, 110km/h, significa que viajando sempre com essa velocidade, o carro percorrerá 110km em uma hora. Isso é o significado físico de velocidade.
Definição do limite(lim) da velocidade escalar média com a variação do tempo tendendo a zero é de fato a velocidade instantânea, a saber:
Interpretação geométrica, fazendo x no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. Note que a curva não aparece nos 2o. e 3o. quandrens. Pois, o tempo não pode assumir vaores negativos.
Veja o vídeo.
Veja mais
Vamos calcular a velocidade instantânea usando a definição de derivada, para o caso em que a coordenda de posição seja uma função quadrática x=t2 vamos calcular a seguinte variação: Δx=x(t+Δt)-x(t).
Usando o produto notáveis, (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab, obtemos:
x=t2 ⇒ x(t+Δt)= (t+Δt)2 = t2 + Δt2 + 2t . Δt
⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt= (t2 + Δt2 + 2t Δt-t2)/Δt = (Δt2 + 2t Δt)/Δt
⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt=(Δt2 + 2t Δt)/Δt=Δt2 /Δt+ 2t Δt/Δt= Δt+2t.
⇒ Δx/Δt= Δt+2t.
Portanto, aplicando o limite de Δt tendendo a zero, o termo Δt tende a zero e restando 2t,
ou seja, a velocidade instantânea
torna-se: v=dx/dt=dt2/dt =2t.
Generalizando, as regras de derivação de uma potência elevado a n, obtemos:
Derivada de uma constante é zero:
dc/dt=0,
com c sendo uma constante.
Derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivda da função:
d(cf)/dt=cdf/dt.
Exemplos:
Seja c=1/2, para n=2, obtemos: ⇒ v=dx/dt=(2/2)t=t.
Para c=1/2 e n=3 ⇒ v=dx/dt=(3/2)t2 .
As regras de derivação e de integral deuma função de uma variável real segue na nota de aula do professor Rafael em PDF.
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