A distribuição de probabilidade normal ou distribuição gaussiana, é uma densidade de probabilidade associada a uma variável aleatória contínua.
Esperança matemática ou média E[X]=𝛍.
Portanto, a variância torna-se:
Desvio padrão: DP[x}=𝞼.
Note que, a média, mediana e moda, na distribuição normal, têm o mesmo valor.
O desvio padrão apresenta o quanto a variável aleatória varia, ele é uma medida da largura da curva de Gauss. Se o desvio padrão for pequeno a curva ficará próxino da média. Se ele for grade a cuvar ficará achatada.
A distribuição Gaussiana tem aplicações na mecânica quântica, medida do peso, erros de medição, em experiência de Física.
Sendo muito importante na inferência estatística clássica.
Podemos redefinir a variável aleatória
z=(x - 𝛍)/𝞼.
e a nova Gaussiana f(z) terá a esperança matemática(média) zero, E[z]=0.
E[z] = 0
a variança é um, V[x]=1 e, consequentemente, o desvio padrão torna-se 𝞼=1.
Observe o desenho no quadro e nas figuras acima, a distribuição normal é caracterizada por sua forma simétrica de sino, com o pico no centro, representando a média, sendo simétrica em relação à média, o que significa que metade dos dados está abaixo da média e a outra metade acima.
Veja a explicação do professor Rafael no vídeo. Faça seu resumo.
Veja mais.
Distribuição Binomial.
A distribuição binomial está associa ao cálculo da probabilidade de um experimento com alguns sucessos após ser submetido a várias provas(tentativas), tendo alguns fracassos. Cada experimento tem dois resultados possíveis sucessos e fracassos.
Fórmula da distribuição binomial:
A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é dada pela seguinte fórmula:
P(X = k) = Ck,n pk q(n-k)
Com
p+q=1⇒q=1-p.
k-número de sucessos
n-número finito de tentativas.
p - probabilidade de sucesso em cada tentativa
q-probabilidade de fracasso em cada tentativa.
P(X = k)-probabilidade de obter k sucessos.
Ck,n -número de combinações de n eventos tomados k a k.
Aplicações:
A distribuição binomial é amplamente utilizada em diversas áreas, como:
Controle de qualidade: Para calcular a probabilidade de encontrar um certo número de produtos defeituosos em uma amostra.
Pesquisa de opinião: Para analisar a probabilidade de um certo número de pessoas concordarem com uma determinada opinião.
Genética: Para calcular a probabilidade de um certo número de descendentes herdarem uma determinada característica.
Jogos de azar: Para calcular a probabilidade de ganhar um certo número de vezes em um jogo.
Exemplo:
Imagine que você lance uma moeda honesta 10 vezes. Qual a probabilidade de obter exatamente 5 caras?
Neste caso:
n = 10 (número de lançamentos)
k = 5 (número de caras desejadas)
p = 0,5 (probabilidade de obter cara em cada lançamento)
Ao aplicar a fórmula da distribuição binomial, você pode calcular a probabilidade desejada.
Lembre-se que a derivada da exponencial de y em relação a y resulta na própria exponencial, ou seja,
Segue o texto sobre Distribuição Normal em Latex
\subsection{Distribui\c {c}\~{a}o Normal}
Seja X uma VAC se esta vari\'{a}vel tem fun\c {c}\~{a}o densidade de
probabilidade
dada pela express\~{a}o:
\begin{equation}
f(x)=P(X\leq x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}
\right)^2}, -\infty<x<\infty,
\end{equation}
onde $\mu$ representa a m\'{e}dia E[X] da vari\'{a}vel e
$\sigma$ representa o desvio padr\~ao da vari\'avel (DP[X]).
Ex. Mostre que $f(x)$ representa uma densidade de probabilidade.
A representa\c {c}\~{a}o gr\'{a}fica desta fun\c {c}\~{a}o \'{e} a curva de
Gauss, cujas principais caracter\'\i sticas s\~{a}o as seguintes:
1) Seu ponto m\'aximo \'{e} a m\'{e}dia $X=\mu$;
2) A curva \'{e} sim\'{e}trica com respeito a m\'{e}dia;
3) A distribui\c {c}\~{a}o fica definida pela sua m\'{e}dia $\mu$ e pela sua
vari\^{a}ncia ou pelo seu desvio padr\~{a}o, neste caso dizemos que
$X\rightarrow N(\mu;\sigma^2)$.
Se uma VAC tem distribui\c{c}\~ao Normal, a probabilidade de
sucessos \'{e} representada por uma
\'{a}rea sob a curva dada por:
\begin{equation}
P[a<x<b]=\int_a^b
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}
\right)^2}dx.
\end{equation
Para facilidade de c\'{a}lculo desta integral, pode-se transformar a
variavel X $\rightarrow N(\mu;\sigma^2)$ em uma vari\'avel
$Z\rightarrow N(0;1)$. verifica-se que $Z$ tem
$\mu=0$ e $\sigma^2=1$.
Ex. Fazer a verifica\c{c}\~ao da m\'{e}dia e da
vari\^{a}ncia.
Neste caso teremos
\begin{equation}
f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(Z^2)}, -\infty<Z<\infty.
\end{equation}
Consequentemente,
\begin{equation}
P[X_1\leq X\leq X_2]=P[Z_1\leq Z\leq Z_2]=
\int_{Z_1}^{Z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(Z^2)}dZ.
\end{equation}
Ex: Suponha que $X\rightarrow N(60; 25)$.
Calcule a probabilidade da vari\'{a}vel $X$ assumir valores:
a) Entre 50 e 70;
b) Superior a 55;
c) Inferior a 58;
d) Entre 65 e 68.
Os valores das integrais s\~{a}o encontradas tabelados, por\'{e}m estes
valores tabelados s\~{a}o apenas para valores positivos de $Z$, em virtude da
sim\'{e}tria da curva normal ($0\leq Z \leq \infty)$.
%\end{document}
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