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\subsection{Distribui\c{c}\~{a}o de Poisson}
Consideramos a probabilidade de ocorr\^encias de sucessos em um
determinado intervalo
(de tempo, linear, \'{a}rea, volume, etc.). A distribui\c{c}\~ao de Poisson \'e aplicada quando a probabilidade de
ocorr\^{e}ncia de sucessos for sempre proporcional a um intervalo.
Seja X a VAD que representa o n\'{u}mero de sucessos no intervalo, tomando
os valores: 0,1,2,., n (cont\'{a}veis e infinitos).
Se a fun\c {c}\~{a}o de probabilidade desta vari\'avel
X for definida por
\begin{equation}
P[X=k]=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},
\end{equation}
diremos que X tem distribui\c{c}\~ao de Poisson com par\^ametro positivo
$\lambda>0$, onde $\lambda$ representa a taxa m\'edia de sucessos
dentro do intervalo. Note que o n\'umero de sucessos \'e exatamente igual
a $k$.
Vamos provar agora que a express\~ao acima representa realmente uma fun\c{c}\~ao de densidade
de probabilidade.
Lembrando-se da s\'erie de Taylor da fun\c{c}\~ao exponencial dada por:
$$
\sum_{k=0}^{k=n}\frac{\lambda^k}{k!}=1+\lambda +\frac{\lambda^2}{2!}+ \cdots + \frac{\lambda^k}{n!}= e^{-\lambda},
$$
$$
\Rightarrow e^{-\lambda}=\sum_{k=0}^{k=n}\frac{\lambda^k}{k!},
$$
obtemos:
\begin{eqnarray}
\sum_{K=0}^{k=n}P[X=k]&=&
\sum_{k=0}^{k=n}\frac{\lambda^Ke^{-\lambda}}{k!}\nonumber\\
{}&=&e^{-\lambda}+\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}+\cdots
+\frac{\lambda^ne^{-\lambda}}{n!}\nonumber\\
{}&=&e^{-\lambda}e^{\lambda}=1.
\end{eqnarray}
Ex. Em determinado cruzamento foi verificado que ocorreu em m\'edia dois
acidentes a cada semana. No mesmo espa\c{c}o de tempo, calcule
a probabilidade de ocorrer:
a) 3 acidentes; b) No m\'aximo 3 acidentes;
c) Pelo menos 3 acidentes.
\centerline{Respostas}
a) 18\%(X=k=2).
Como a taxa m\'edia de ocorr\^encia \'e constante podemos utilizar a distribui\c{c}\~ao de Poisson com par\^ametro
$\lambda>0$, onde $\lambda$ representa o n\'umero m\'edio de sucessos
dentro do intervalo.
$$
P[X=k]=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\Rightarrow P[X=3]=\frac{2^3e^{-2}}{3!} = 8\frac{(2,71828)^{-2}}{6}\approx 0,1804
=
$$
Pois, $\lambda=2$ representa a taxa m\'edia de sucessos, neste caso, $X=3$, a letra $e$ sendo a base do logar\'\i tmo natural (aproximadamente $e=2,71828$).
Obtemos, aproximadamente $P[X=3] \approx 18,04\%$.
b) 85\% ($X=k\leq 3$); c) 32\% ($X=k\geq 3$).
\subsubsection{Propriedade de uma distribui\c {c}\~{a}o de Poisson}
Se X \'{e} uma vari\'{a}vel AD que tem distribui\c {c}\~{a}o de Poisson,
ent\~{a}o:
- Sua m\'{e}dia $E[X]=\lambda$
- Sua vari\^{a}ncia \'{e} igual a $\lambda$ tamb\'em ($V[X]=\lambda$).
- Seu desvio padr\~{a}o consequentemente vale $DP[X]=\sqrt\lambda$.
A demonstra\c {c}\~{a}o entra na pr\'oxima lista de exerc\'icios.
\subsubsection{Aproxima\c {c}\~{a}o de uma distribui\c {c}\~{a}o Binominal
para Poisson}
A aproxima\c {c}\~{a}o de uma distribui\c {c}\~{a}o Binominal
para Poisson
\'e indicada sempre que tem um n\'{u}mero "n" de experi\^encia muito grande e
uma probabilidade P muito pequena ($P\rightarrow 0$).
Mostra-se que o limite de uma distribui\c {c}\~{a}o binominal
que tem par\^{a}metro nestas
condi\c{c}\~{o}es, se aproxima da
express\~{a}o que d\'{a} a probabilidade de uma distribui\c{c}\~aos de Poisson:
$$
X\rightarrow B(n;P)|_{n\rightarrow\infty, P\rightarrow 0}
\Rightarrow X\rightarrow P,
$$
isto \'e,
$$
\left(
\begin{array}{c}
n\\
k\end{array}\right)P^kq^{n-k}\rightarrow\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{K!}.
$$
Neste caso a m\'{e}dia da distribui\c{c}\~ao Binominal, nP,
\'{e} comparada com a m\'{e}dia da distribui\c{c}\~aos de Poisson,
$\lambda$, ou seja,
nP=$\lambda\Rightarrow P=\frac{\lambda}{n}$
e $q=1-\frac{\lambda}{n}$.
Ex: Sabe-se que em geral a probabilidade de uma pe\c {c}a defeituosa ser
produzida por uma determinada m\'aquina \'{e} 10\%. Qual a probabilidade
de em uma caixa com 25\% dessas pe\c {c}as se encontrar:
a) Mais de 3 pe\c {c}as defeituosas;
b) Nenhuma pe\c {c}a defeituosa;
c) No m\'aximo duas pe\c {c}as defeituosas;
d) Pelo menos 2 defeituosas.
\centerline{Solu\c {c}\~{a}o}
Verifique a aproxima\c{c}\~ao para Poissoin!!!
a) $P[x>3]=1-P[x\leq$ 3]=1-\{P[X=0]+P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\}=0,366;
b) P[X=0]=0,082;
c) P[X$\leq 3$]=0,634;
d) P[X$\leq 2$]=0,42.
\section{Distribui\c {c}\~{a}o de vari\'{a}veis aleat\'{o}ria
cont\'{\i}nua}
\subsection{Distribui\c{c}\~{a}o Uniforme}
Seja X uma VAC com fun\c{c}\~{a}o densidade de Probabilidade
$f(X)$ definida por uma constante dentro de
um determinado intervalo, ou seja:
\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
f(x)=K, \, \hbox{se}\, a\leq x\leq b\\
0, \, \hbox{se}\, x<a\, \hbox{ou}\, x>b
\end{array}\right.
\end{equation}
Dizemos que esta fun\c {c}\~{a}o $f(X)$ \'{e} uma fun\c {c}\~{a}o densidade de
probabilidade de uma vari\'{a}vel $X$ que tem
distribui\c {c}\~{a}o uniforme se
\begin{equation}
K=\frac{1}{b-a},\, \hbox{para}\, a\leq x\leq b, \quad a<b.
\end{equation}
Voc\^e pode encontrar este valor para K usando a condi\c{c}\~ao de
normaliza\c{c}\~ao.
A fun\c {c}\~{a}o distribui\c {c}\~{a}o acumulada $F(X)$ desta vari\'{a}vel
aleat\'{o}ria \'{e} dada por:
\begin{equation}
F(X)=\int_a^X\frac{1}{b-a}dx=\frac{X-a}{b-a}.
\end{equation}
$\Downarrow$
\begin{equation}
F(X)=\left\{\begin{array}{c}
0, \, \hbox{se}\, x<a \\
\frac{X-a}{b-a},\, \hbox{se}\, a\leq x\leq b\\
1, \, \hbox{se}\, x>b\end{array}\right.
\end{equation}
Ex1. Determine a esperan\c{c}a matem\'atica E[X] e a vari\^ancia
V[X].
Ex2. Verifica-se que os valores de uma VAC se distribuem
uniformemente no intervalo (0;2,0). Calcule:
a) $P[1\leq X \leq 1,5]$; b)E[X]; V[X].
Ex3. Um ponto se desloca uniformemente sobre o seguinte intervalo
[15,35].
Calcule:
a) A Probabilidade de que tal ponto se desloque no espa\c{c}o entre
18 e 25; b)A probabilidade de tal ponto atingir valores
at\'e no m\'aximo de 30; c) Um valor m\'inimo (e m\'aximo) poss\'ivel
para os valores assumidos por tal ponto.
\subsection{Distribui\c {c}\~{a}o Normal}
Seja X uma VAC se esta vari\'{a}vel tem fun\c {c}\~{a}o densidade de
probabilidade
dada pela express\~{a}o:
\begin{equation}
f(x)=P(X\leq x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}
\right)^2}, -\infty<x<\infty,
\end{equation}
onde $\mu$ representa a m\'{e}dia E[X] da vari\'{a}vel e
$\sigma$ representa o desvio padr\~ao da vari\'avel (DP[X]).
Ex. Mostre que $f(x)$ representa uma densidade de probabilidade.
A representa\c {c}\~{a}o gr\'{a}fica desta fun\c {c}\~{a}o \'{e} a curva de
Gauss, cujas principais caracter\'\i sticas s\~{a}o as seguintes:
1) Seu ponto m\'aximo \'{e} a m\'{e}dia $X=\mu$;
2) A curva \'{e} sim\'{e}trica com respeito a m\'{e}dia;
3) A distribui\c {c}\~{a}o fica definida pela sua m\'{e}dia $\mu$ e pela sua
vari\^{a}ncia ou pelo seu desvio padr\~{a}o, neste caso dizemos que
$X\rightarrow N(\mu;\sigma^2)$.
Se uma VAC tem distribui\c{c}\~ao Normal, a probabilidade de
sucessos \'{e} representada por uma
\'{a}rea sob a curva dada por:
\begin{equation}
P[a<x<b]=\int_a^b
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}
\right)^2}dx.
\end{equation}
Para facilidade de c\'{a}lculo desta integral, pode-se transformar a
variavel X $\rightarrow N(\mu;\sigma^2)$ em uma vari\'avel
$Z\rightarrow N(0;1)$. verifica-se que $Z$ tem
$\mu=0$ e $\sigma^2=1$.
Ex. Fazer a verifica\c{c}\~ao da m\'{e}dia e da
vari\^{a}ncia.
Neste caso teremos
\begin{equation}
f(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(Z^2)}, -\infty<Z<\infty.
\end{equation}
Consequentemente,
\begin{equation}
P[X_1\leq X\leq X_2]=P[Z_1\leq Z\leq Z_2]=
\int_{Z_1}^{Z_2}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(Z^2)}dZ.
\end{equation}
Ex: Suponha que $X\rightarrow N(60; 25)$.
Calcule a probabilidade da vari\'{a}vel $X$ assumir valores:
a) Entre 50 e 70;
b) Superior a 55;
c) Inferior a 58;
d) Entre 65 e 68.
\centerline{Respostas}
a) $P[50\leq X\leq 70]=P[-2\leq Z \leq 2]= 2P[0<Z<2]=95\%$.
Os valores das integrais s\~{a}o encontradas tabelados, por\'{e}m estes
valores tabelados s\~{a}o apenas para valores positivos de $Z$, em virtude da
sim\'{e}tria da curva normal ($0\leq Z \leq \infty)$.
%\end{document}
\newpage
\subsection{Aproxima\c{c}\~{a}o das distribui\c {c}\~{o}es}
J\'{a} vimos que podemos aproximar uma distribui\c{c}\~a{o}
binominal para uma distribui\c{c}\~a{o} de
Poisson sempre que $n\rightarrow\infty$ e $P\rightarrow 0$, quando
$\lambda =nP\leq 10.$
Com o conhecimento da distribui\c {c}\~a{o} normal
podemos fazer aproxima\c{c}\~oes das distribui\c {c}\~{o}es
binomial e de Poisson para a distribui\c {c}\~a{o} normal.
a) Aproxima\c {c}\~{a}o da distribui\c {c}\~{a}so para normal.
Neste caso, os resultados s\~{a}o muito pr\'oximos quando
$n\rightarrow\infty$ mas P e q n\~ao est\~ao pr\'oximo de zero.
$(n>10, P\rightarrow \frac{1}{2})$ ou $(nP\geq 5$ e $nq\geq 5)$
Considerando a distribui\c {c}\~{a}o normal reduzida (padr\~{a}o) definida
pela vari\'avel $Z$, \'{e} bastante tomar o valor de $Z$
com valores aproximados
para a m\'{e}dia e o desvio padr\~{a}o.
Sendo $Z=\frac{X-\mu}{\sigma},$ para aproxim\'a-la para a
vari\'avel binominal, tomando-se:
$\mu=nP$ e $\sigma=\sqrt{nPq}$, logo vemos que $Z$ torna-se,
$$
Z=\frac{X-nP}{\sqrt{nPq}}.
$$
b) Aproxima\c {c}\~{a}o da distribui\c {c}\~{a}o de Poisson para normal.
Esta aproxima\c{c}\~ao \'{e} comunente aplic\'{a}vel quando
$\lambda\geq 5$. Neste caso temos:
$$
Z=\frac{X-nP}{\sqrt{\lambda}}.
$$
\centerline{Exemplos }
Ex1. Seja $X$ uma VAD que tem distribui\c {c}\~{a}o binominal com
par\^{a}metros (500; 0,1). Calcular a probabilidade de $X$ ser no
m\'aximo 45.
Neste caso, temos: $n=500; P=\frac{10}{100}; q=\frac{10}{90};
P[X\leq 45]=?$
Resolvendo pela aproxima\c {c}\~{a}o binominal para normal, obtemos:
$nP=500\frac{10}{100}=50=\mu>5$ Ok!
$$
P[X\leq 45]=P[Z\leq -0,74]=0,5 - P[-0,74\leq Z\leq 0],
$$
onde $P[-0,74\leq Z\leq 0]=0,2703$ \'e um valor tabelado.
Ex2. Seja $X$ uma VA que tem a seguinte distribui\c{c}\~ao de Poisson com
par\^ametro $\lambda =7$.
Calcular a probabilidade de $X$ ser menor do que 10 $(P[X<10]=?).$
($e^{-\lambda}=e^{-7}=0,000912; \quad P[7<X<10]=P[0<Z<1,13]=0,3708$)
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