Aula 08- Mecânica Quântica II. O Oscilador Harmôncio Anisotrópico em 3 Dimensões, com o professor Rafael

Nesta aula 08, da dsiciplina de Mecânica Quântica II, discutiremos a aplicações de probabilidade, função delta de Dirac, propriedades de fechamento para as autofunções de operadores hermitianos, equação de Schrödinger independente do tempo em três dimensões e aplicação para o oscilador harmônico anisotrópico tridimensional(OHA 3D).

A resolução espectral do OHA 3D é alcançada pelo método analítico de soluções separadas, transformando a equação de Schrödinger com derivadas parciais de segunda ordem em 3 equações diferenciais ordinárias, para as coordenadas cartesianas x, y e z. Os autovalores de energia é a soma de 3 parcelas análogas, correspondentes aos números quânticos principais nos eixos x, y e z.

Demonstramos algumas representações de funções Delta de Dirac. Os matemáticos preferem chamar de função de distribuição porque a função Delta de Dirac não é definida em x=0. 𝛅(x-y)=0, x diferente de y ou  𝛅(x-y)=∞, para x=y. 

A próxima aula desta disciplina será na quarta-feira, 27 de maio, das 20:10h às 22h.

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Aula 08 de Mecânica Quântica II.  No final deste vídeo o professor Rafael fala das partículas bosônicas e fermiônicas. Os estados coerentes e a supersimetria em mecânica quântica. 

Exercícios sobre  a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma caixa rígida

1) Qual a probabilidade P(0<x<L),  de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(caixa rígida), no primeiro estado excitado?

Solução

Vimos na aula remota que a função de onda senoidal é dada por 

𝝍(x)=N sen(nx𝝿/L), com  a condição de normalização:  ∫|𝝍|²dx=1. O número quântico principal é dado por n=1, 2, 3, ... 

Neste caso, a constante de normalização  é dada por:  |N|²=2/L

Usando a solução senoidal normalizada, em qualquer estado que a partícula estiver a probabilidade  P(0<x<L)=1.

2) Qual a probabilidade P(Δx=0,002L em x=L/2), de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(partícula dentro de uma caixa rígida), no estado fundamental, em x=L/2, com largura Δx=0,002L?

Solução

3) Qual a probabilidade P(L/2<x<3L/4),  de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(partícula dentro de uma caixa rígida), no estado fundamental, na região L/2<x<3L/4?

Solução

Neste caso,  é necessário fazer a integral da densidade de probabilidade, o módulo do quadrado da função de onda,  |𝝍|², no  intervalo da metade do tamanho da caixa rígida até três quartos do seu tamanho, com o número quântico principal n=1. Usando o valor de 𝝿=3, resultando em um valor aproximado da probabilidade de  

P(L/2<x<3L/4)  = ∫|𝝍|²dx=1/4+1/4𝝿=1/4+1/12=1/3=0,333=33,3%>P(x=L/2)

4) Qual a probabilidade P(L/2<x<3L/4),  de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(partícula dentro de uma caixa rígida), no primeiro estado excitado, na região L/2<x<3L/4?

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