Hoje, 29/10, na aula 03 da disciplina de instrumentação em ciência da Natureza e suas tecnologias I, período 2025.2, estudaremos as grandezas Físicas da cinemática: coordenada de posição, velocidade e aceleração.
Projeto II da disciplina de Instrumentação I: Lançamento Horizontal de um Projétil
A agente de saúde Elza do quilombo Caiana dos Crioulos de Alagoa Grande participou nessa live de Física sobre o Lançamento de projétil na Horizontal, do curso de Licenciatura em Física da UFCG, campus Cuité, ministrada pelo professor Rafael Rodrigues, na disciplina de introdução à Física, dentro da programação do RAE-UFCG. Será discutido também o conceito de velocidade instantânea.
A aula da disciplina de instrumentação I, no nível do ensino médio, do Curso de Licenciatura em Física da UFCG, campus Cuité, ministrada pelo professor Rafael Rodrigues ficará disponível no portal de notícia rafaelrag, blog ciências e educação.
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Nesta foto, vemos o professor Rafael, resolvendo exercício e analisando o conceito de velocidade instantânea.
Essa live da disciplina de introdução à Física do RAE-UDCG eve a abertura com a quilombola de Caiana dos Crioulos, agente de saúde, Elza de Caiana, que participou com sua filha Ruth, estudante da escola quilombola do nono ano do ensino fundamental, assistindo ao vivo.
Velocidade Média e Velocidade Instantânea.
Foi visto: Movimento
O estado de Movimento e Repouso depende de um referencial. Se a distância variar em relação ao referencial dizemos que o corpo está em movimento. Se a distância não mudar em relação ao referencial, dizemos que o corpo está em repouso. Por exemplo, imagine você dentro de um carro, em movimento, para o observador fora do carro ele verá você em movimento. Se o observador estiver dentro do carro ele verá você em repouso.
Este é um dos assuntos mais antigo da ciência, sendo que é preciso definir matematicamente o que é um referencial em Física?
Um referencial em Física no espaço tridimensional, é um ponto de observação, tendo 3 eixos com orientações positivas e o observador na origem do sistema de coordenadas, com todos os instrumentos de mediada para o fenômeno em estudo. Em um movimento na reta, basta um eixo com orientação positiva (movimento unidimensional).
Velocidade Média
A velocidade Média é a distância total percorrida dividida pelo tempo gasto, seguindo o deslocamento de um corpo, em uma curva ou reta. Ela representa um valor hipotético para a velocidade. Por exemplo, se você viajar de Alagoa Grande-PB para Campina Grande pela BR 230, percorrerá uma distância de 60km com uma velocidade média de 90km/h, chegará em 40 minutos. Note que podemos ter diversas velocidades neste percurso, digamos, menos de 90km/h e acima de 90km/h, mas na média foi 90km/h. Agora, você poderá escrever a equação da velocidade como sendo a distância dividido pelo tempo,
Nos livros- textos, o deslocamento escalar, em geral, é representado pela letra s da palavra em inglês space, mas você poderá usar a letra d de distância.
Unidades de medidas no SI: distância é m(metro), tempo é s(segundo) e velocidade m/s.
👍 Na escola da educação básica, você estudou o conceito de velocidade média, taxa de variação da posição pelo tempo, ou seja, v=Δx/Δt, lê-se delta x por delta t. Com ΔX= variação da posição, sendo a distância total percorrida, igual a posição final menos a posição inicial e Δt=tempo gasto no percurso total.
Exemplo. Considerando o exemplo acima a distância percorrida é 60km e o tempo gasto pelo carro foi 40 minutos. Qual a velocidade média em km/h?
Solução
d=60km e t=40min. Neste caso, devemos antes transformar o minuto para hora. Sabemos que 1h=60min, portanto, 1min=(1/60)h. Resulta que, 40mim=(40/60)h. Ao invés de dividir é melhor simplificar, ou seja, cortando o zero e dividindo o numerador e o denominador por 2, obtemos:
t= 40mim=(40/60)h= (2/3)h. Agora, para calcular a velocidade média, basta dividir e, tendo em mente, que a unidade de velocidade do carro será km/h.
Usando a regra de divisão de fração: (a/b)/(c/d)=(ad)/(bc), isto é, fixamos a fração do numerador e multiplicamos pela inverso da fração do denominador.
v=d/t=(60/40)km/min=(60/1)/(2/3)km/h
Comparando, vemos que: a=60, b=1, c=2 e d=3. Finalmente, obtemos:
v=(60/1)/(2/3)=(60x3)/2=180/2=90, ou seja, v=90km/h.
Observação.
Note que para transformar de km/min para km/h
km/min=[1/(1/60)]km/h=60km/h. Neste caso, para transformar de km/min basta multiplicar por 60. Logo,
v=d/t=(60/40)km/min=[(60x60)/40]km/h=[3600/40]km/h=90km/h.
No caso de transformar 1km/h para m/s, multiplicamos ou dividimos por 3,6?
Lembre-se que 1km=1000m e 1h=60min=60x60s=3600s. Portanto,
1km/h=1000m/3600s=(1 /3,6)m/s, ou seja, 1m/s=3,6km/h.
Note que existe muita maneiras de transformar as unidades de velocidade, seria melhor você trabalhar com as unidades fundamentais e simplificar as frações, pois você só poderá multiplicar por 3,6 para obter a unidade de velocidade em m/s, somente no caso em que a velocidade for dada em km/h.
O procedimento que irá direto sem ter dúvida se multiplica ou divide é fazer o cálculo direto como no exercício 1.
Velocidade Instantânea
A velocidade Instantânea representa o valor real em um dado instante de tempo, vista no velocímetro de um automóvel. Ela fornece o valor absoluto da velocidade em cada instante de tempo, bem próximo um do outro, podendo ser igual a velocidade média. Newton, após estudar a cinemática de Galileu(Morreu em 1642, ano em que nasceu Newton) ao definir a velocidade instantânea, ele introduziu o artifício de limite com a variação do tempo cada vez menor.
Interpretação geométrica, fazendo x no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal. Note que a curva não aparece nos 2o. e 3o. quadrantes. Pois, o tempo não pode assumir valores negativos.
Entendendo o significado físico de Velocidade
Na prática, você poderá ver a velocidade instantânea de um carro, olhando para o velocímetro, quando estiver com a velocidade limite permitida pela lei de trânsito brasileira, 110km/h, significa que viajando sempre com essa velocidade, o carro percorrerá 110km em uma hora. Isso é o significado físico de velocidade.
Função horária como sendo um polinômio de segundo grau.
Exemplo. 1) Considere um automóvel se deslocando de acordo com a seguinte função horária, tendo seus valores de tempo e de distância percorrida medidos no sistema internacional de medida(SI), dada por:
s(t) = 4t2-5t + 7 (SI)
Qual a velocidade do móvel no instante após 10 segundos?
Solução
Da equação horária do MRUV, obtemos a velocidade inicial é -5m/s, então a velocidade instantânea em função do tempo torna-se:
v(t)=8t -5,
no SI.
Note que, para obter a v(10s), basta substituirmos o tempo por 10, sem os segundos, pois aqui todas as grandezas estão no SI. Portanto, obtemos a velocidade em m/s:
v(10s)=(8x10-5)m/s=(600+80-5)m/s=675m/s
Ou poderíamos ter calculado v(10), e no resultado final colocar m/s. Pois, como estamos usando o SI, a unidade de velocidade é m/s.
Portanto, v(10s)=675m/s.
Conceito de Velocidades instantânea introduzido por Newton.
A velocidade instantânea é obtida a partir da equação da velocidade média com o intervalo de tempo tendendo para zero, ou seja, no limite da velocidade média com . Isso é o que denominamos de derivada de x em relação ao tempo t.
Entendendo o significado físico de Velocidade
Na prática, você poderá ver a velocidade instantânea de um carro, olhando para o velocímetro, quando estiver com a velocidade limite permite pela lei de trânsito brasileira, 110km/h, significa que viajando sempre com essa velocidade, o carro percorrerá 110km em uma hora. Isso é o significado físico de velocidade.
Definição do limite(lim) da velocidade escalar média com a variação do tempo tendendo a zero é de fato a velocidade instantânea, a saber:
Veja o vídeo.
Veja mais
Vamos calcular a velocidade instantânea usando a definição de derivada, para o caso em que a coordenada de posição seja uma função quadrática x=t2 vamos calcular a seguinte variação: Δx=x(t+Δt)-x(t).
Usando o produto notáveis, (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab, obtemos:
x=t2 ⇒ x(t+Δt)= (t+Δt)2 = t2 + Δt2 + 2t . Δt
⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt= (t2 + Δt2 + 2t Δt-t2)/Δt = (Δt2 + 2t Δt)/Δt
⇒ Δx/Δt=[x(t+Δt)-x(t)]/Δt=(Δt2 + 2t Δt)/Δt=Δt2 /Δt+ 2t Δt/Δt= Δt+2t.
⇒ Δx/Δt= Δt+2t.
Portanto, aplicando o limite de Δt tendendo a zero, o termo Δt tende a zero e restando 2t,
ou seja, a velocidade instantânea
torna-se: v=dx/dt=dt2/dt =2t.
Generalizando, as regras de derivação de uma potência elevado a n, obtemos:
Derivada de uma constante é zero:
dc/dt=0,
com c sendo uma constante.
Derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivda da função:
d(cf)/dt=cdf/dt.
Exemplos:
Seja c=1/2, para n=2, obtemos: ⇒ v=dx/dt=(2/2)t=t.
Para c=1/2 e n=3 ⇒ v=dx/dt=(3/2)t2 .
As regras de derivação e de integral deuma função de uma variável real segue na nota de aula do professor Rafael em PDF.
Outras Regras de Derivação.
Derivada Funções Trigonométricas.
(d/d𝝧)cos(𝝧)=-sen(𝝧), (d/d𝝧)sen(𝝧)=cos(𝝧)
Identidade fundamental da trigropnometria.
cos2(𝝧)+sen2(𝝧)=1.
Derivada da exponencial é a própria. (d/dx) ex=ex
Logarítmo: (d/dx) ln(x)= 1/x.
Regras de Integral indefinida
∫f(x)dx=G(x).
Lê-se inegral de f de x dx é igual a outra função G(x).
com f(x) sendo o integrando e G(x) a primitiva, tal que a derivada da primitiva resulte no integrando, isto é,
dG/dx=f(x).Potência.
∫ xndx= xn+1/(n+1)
Funções Trigonométricas.
∫cos(𝝧)d𝝧=sen(𝝧), ∫sen(𝝧)d𝝧=-cos(𝝧)
Derivada da exponencial é a própria. ∫ exdx=ex
Logarítmo: ∫ (1/x)dx = ln(x).
Notação: ln(x) é a função logarítmica de x na base e.
Segue a lista II, em Latex. A versão em PDF foi enviada para a turma.
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%\pagestyle{myheadings} \pagenumbering{roman} %\setcounter{figure}{0}
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%\setcounter{section}{0} \baselineskip=14pt
%\addcontentsline{toc}{section}{\sc Introdu\c{c}\~ao \`a %F\'\i sica.
%Prof. Rafael de Lima Rodrigues} %\markboth{\footnotesize{{\sl Dr.
%Rafael de Lima Rodrigues}}} {\footnotesize{{\sl %Introdu\c{c}\~ao \`a
%F\'\i sica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues}}}
\centerline{ \bf Instrumenta\c{c}\~ao I- Licenciatura em F\'\i sica-UAFM-CES-UFCG - Lista Lista II}
\noindent{Pofessor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill PER\'IODO 2025.2}
\noindent {Aluno(a): \hrulefill {\bf Boa Sorte.} 2025.2.}
\centerline{\bf Segunda Lista de Exerc\'\i cios Propostos }
\vspace{0.5cm}
1) Enem de 2012 (Quest\~ao 66, Caderno amarelo, prova de Ci\^encias da Natureza e suas Tecnologias).
Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve poss\'\i vel. Para tanto, a equipe de log\'\i stica analisa o trajeto desde a empresa at\'e o local da entrega. Ela verifica que o trajeto apresenta dois trechos de dist\^ancias diferentes e velocidades m\'aximas permitidas diferentes. No primeiro trecho, a velocidade m\'axima permitida \'e de 80 km/h e a dist\^ancia a ser percorrida \'e de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade m\'axima permitida \'e 120 km/h.
Supondo que as condi\c{c}\~oes de tr\^ansito sejam favor\'aveis para que o ve\'\i culo da empresa ande continuamente na velocidade m\'axima permitida, qual ser\'a o tempo necess\'ario, em horas, para a realiza\c{c}\~ao da entrega?
\vspace{0.5cm}
2) ENEM 2021. Nas estradas brasileiras existem v\'arios aparelhos com a finalidade de medir a velocidade dos ve\'\i culos. Em uma rodovia, cuja velocidade m\'axima permitida \'e de 80 km/h, um carro percorre a dist\^ancia de 50 cm entre os dois sensores no tempo de 20 m/s. De acordo com a Resolu\c{c}\~ao n. 396, do Conselho Nacional de Tr\^ansito, para vias com velocidade de at\'e 100 km/h, a velocidade medida pelo aparelho tem a toler\^ancia de +7 km/h al\'em da velocidade m\'axima permitida na via. Considere que a velocidade final registrada do carro \'e o valor medido descontado o valor da toler\^ancia do aparelho.
Nesse caso, qual foi a velocidade final registrada pelo aparelho?
\vspace{0.5cm}
3) ENEM 2021. Os acidentes de tr\^ansito s\~ao causados geralmente por excesso de velocidade. Em zonas urbanas no Brasil, o limite de velocidade normalmente adotado \'e de 60 km/h. Uma alternativa para diminuir o n\'umero de acidentes seria reduzir esse limite de velocidade. Considere uma pista seca em bom estado, onde um carro \'e capaz de frear com uma desacelera\c{c}\~ao constante de 5 $\frac{m}{s^2}$ e que o limite de velocidade reduza de 60 km/h para 50 km/h.
Nessas condi\c{c}\~oes, a dist\^ancia necess\'aria para a frenagem desde a velocidade limite at\'e a parada completa do ve\'\i culo ser\'a reduzida em um valor mais pr\'oximo de
\vspace{0.5cm}
4) Em um lan\c{c}amento horizontal de uma altura h=16m, a velocidade de lan\c{c}amento foi de $v_0=10m/s$. Considere a acelera\c{c}\~ao da gravidade como sendo 10 metros por segundo ao quadrado. Determine: a) a trajet\'oria ap\'os a esfera sair da base de lan\c{c}amento at\'e chegar no solo. b) Quanto tempo gasta at\'e chegar no solo? c) Qual a dist\^ancia alcan\c{c}ada? Qual a velocidade de chegada ao solo?(Lembre-se de que o vetor velocidade chegando no solo tem duas componentes.)
\vspace{0.5cm}
5) ENEM 2013. Conta-se que um curioso incidente aconteceu durante a Primeira Guerra Mundial. Quando voava a uma altitude de dois mil metros, um piloto franc\^es viu o que acreditava ser uma mosca parada perto de sua face. Apanhando-a rapidamente, ficou surpreso ao verificar que se tratava de um proj\'etil alem\~ao.
PERELMAN, J. Aprenda F\'\i sica brincando. S\~ao Paulo: Hemus, 1970.
O piloto consegue apanhar o proj\'etil, pois
a) ele foi disparado em dire\c{c}\~ao ao avi\~ao franc\^es, freado pelo ar e parou justamente na frente do piloto.
b) o avi\~ao se movia no mesmo sentido que o dele, com velocidade visivelmente superior.
c) ele foi disparado para cima com velocidade constante, no instante em que o avi\~ao franc\^es passou.
d) o avi\~ao se movia no sentido oposto ao dele, com velocidade de mesmo valor.
e) o avi\~ao se movia no mesmo sentido que o dele, com velocidade de mesmo valor.
\vspace{0.5cm}
6) ENEM 2013. Antes das lombadas eletr\^onicas, eram pintadas faixas nas ruas para controle da velocidade dos autom\'oveis. A velocidade era estimada com o uso de bin\'oculos e cron\^ometros. O policial utilizava a rela\c{c}\~ao entre a dist\^ancia percorrida e o tempo gasto, para determinar a velocidade de um ve\'\i culo. Cronometrava-se o tempo que um ve\'\i culo levava para percorrer a dist\^ancia entre duas faixas fixas, cuja dist\^ancia era conhecida. A lombada eletr\^onica \'e um sistema muito preciso, porque a tecnologia elimina erros do operador. A dist\^ancia entre os sensores \'e de 2 metros, e o tempo \'e medido por um circuito eletr\^onico.
Qual o tempo m\'\i nimo, em segundos, que o motorista deve gastar para passar pela lombada eletr\^onica, cujo limite \'e de 40 km/h, sem receber uma multa?
7) Velocidade instant\^anea. Considere a seguinte fun\c{c}\~ao hor\'aria de uma moto em movimento, tendo seus valores de tempo e de dist\^ancia percorrida medidos no sistema internacional de medida(SI), dada por:
$$
x(t) = 5t^3 + 0,5t^2 - 2t + 1 (SI)
$$
Determine a velocidade instant\^anea.
a) Usando o conceito de limite, qual a velocidade do m\'ovel no instante ap\'os 8 segundos?.
b) Usando a regra de deriva\c{c}\~ao, determine v(8).
\vspace{0.5cm}
8) a) Dizer quais s\~ao as principais contribui\c{c}\~oes de Galileu para a cinem\'atica. Como era a pesquisa em
F\'\i sica antes de Galileu?
b) Refazer os c\'alculos das demonstra\c{c}\~oes contidas
no artigo sobre o alcance m\'aximo do lan\c{c}amento de um proj\'etil, na Revista Brasileira de Ensino de F\'\i sica, vol. 2, p\'agina 260, 1997, voc\^e pode encontrar em www.sbfisica.org.br).
\vspace{0.5cm}
9) Considere um carro se movendo em linha reta x com acelera\c{c}\~ao constante 6$\frac{m}{s^2}$ e velocidade inicial 40 km/h. Qual a fun\c{c}\~ao hor\'aria do deslocamento X(t)?
Com X= varia\c{c}\~ao da posi\c{c}\~ao, sendo a dist\^ancia total percorrida, igual a posi\c{c}\~ao final menos a posi\c{c}\~ao inicial.
\vspace{0.5cm}
10) Qual o tempo que um carro em movimento leva at\'e parar, tendo partido com uma velocidade inicial de 60Km/h e tenha sofrido uma desacelera\c{c}\~ao de 4$\frac{m}{s^2}$ ?
\vspace{0.5cm}
\end{document}
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