UFCG-2021.1-Aula 11- Mecânica Quântica I, propriedade de fechamento das autofunções do operador Momento Linear, professor Rafael, nesta quarta, 9

O professor Rafael Rodrigues da UFCG, campus Cuité, ministrará a aula 11 da disciplina de Mecânica quântica I do curso de Licenciatura em Física, nesta quarta-feira, 9 de fevereiro, disponibilizada no blog ciências e educação, a partir das 20:10h às 22h.

Na aula anterior, determinamos a constante de normalização das autofunções do operador Momento linear dentro de uma caixa cúbica, sendo funções periódicas. 

Nesta aula 11, demonstraremos a propriedade de fechamento para autofunções do operador momento linear, veremos a condição de periodicidade dentro da caixa, garantindo autovalores quantizados e a outra possibilidade de normalização das autofunções do operador momento em termos da função delta de Dirac, tendo autovalores contínuos.  Introduziremos a expansão de Fourier.

Na aula 12, mostraremos como aplicar a relação de incerteza de Heisenberg para fazer uma estimação do autovalor mínimo de energia de sistemas quânticos.

Foi visto na aula 10.

A aula 10 da disciplina de Mecânica quântica I, na última sexta-feira, 4 de fevereiro, disponível no blog ciências e educação, aconteceu das 20:10h às 22h.

Na parte inicial analisamos algumas propriedade da função Delta de Dirac. Em seguida construímos as autofunções dos operadores de posição na representação x ou espaço de configurações da mecânica quântica, tendo autovalores contínuos. 

Determinamos a constante de normalização das autofunções do operador Momento linear dentro de uma caixa cúbica, sendo funções periódicas. 

 Na parte final desta aula 10, fizemos algumas aplicações da interpretação estatística da função de onda, solução da equação de Schrödinger.

Probabilidade de encontrar uma partícula em algum lugar dentro da caixa Rígida. Explicamos os detalhes das seguintes questões. 

    

1) Qual a probabilidade P(Δx=0,002L em x=L/2), de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(partícula dentro de uma caixa rígida), no estado fundamental, em x=L/2, com largura Δx=0,002L?

Solução

2) Qual a probabilidade P(L/2<x<3L/4),  de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(partícula dentro de uma caixa rígida), no estado fundamental, na região L/2<x<3L/4?

Solução

Neste caso,  é necessário fazer a integral da densidade de probabilidade, o módulo do quadrado da função de onda,  |𝝍|², no  intervalo da metade do tamanho da caixa rígida até três quartos do seu tamanho, com o número quântico principal n=1. Usando o valor de 𝝿=3, resultando em um valor aproximado da probabilidade de  

P(L/2<x<3L/4)  = ∫|𝝍|²dx=1/4+1/4𝝿=1/4+1/12=1/3=0,333=33,3%>P(x=L/2)

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UAFM-CES-UFCG-CUITE-Mecânica Quântica I -Lista III 

 Professor: Rafael de Lima Rodrigues. 

Período 2021.1.                                                                                Boa Sorte. 

Aluno(a): ________________________________________         09-02-2022. 

São oito questões semdo que a primeira e a segunda vale dois pontos e a

1) Um pacote de ondas planas unidimensionais, aproximadamente monocromáticas, tem forma instantânea U(x, 0)=F(x)exp(ik_ox), onde F(x) é a envoltória de modulação.  Para cada uma das formas mencionadas abaixo, calcular os desvios médios quadráticos, no esapaço de momento linear e no espaço de momento com função de onda A(k) e no espaço de configuração 

U(x, 0)    (que se definem em termos das densidades de probabilidade,

U(x, 0)|²  e |A(k)|² ) e verificar a desigualdade da relação de incetreza.

2)  Considere uma partícula de massa m e energia E se movendo dentro do seguinte potencial: V(x)=0, para 0<x<L e  V(x) sendo uma barreira infinita em X=0 ou x=L ou fora da caixa. 

a) Calcule os valores esperados(médio) da posição <x> e do momensto linear <p> de encontrar a partícula dentro desse poço de potencial infinito(também denominado partícula dentro de uma caixa rígida).

b) Mostre que <p²>=2mE, sendo uma conscidência com o resultado clássico da energia cinética de uma partícula de massa m. 

3) Qual a probabilidade P(L/2<x<3L/4),  de encontrar a partícula dentro de um poço de potencial infinito(partícula dentro de uma caixa rígida), no primeiro estado excitado, na região L/2<x<3L/4?

4) Escrever a equação de Schrödinger para o oscilador harmônico unidimensional no espaço do momento.

5) Verifique a validade do princípio de incerteza de Heisenberg para o oscilador harmônico.

 

6) Determine a constante de normalização das autofunções do operador momento linear dentro de uma caixa cúbica.

7) Usar o princípio de incerteza de Heisenberg para estimar a massa de um méson confinado nas dimensões nucleares(aproximadamente 1,5 fermi=1,5x10^-13cm).

Solução

Na interação de dois nucleons uma quanta(mésons) é emitido de um e, absorvido pelo outro(teoria de força nucleares de Yukavwa-1930). Admitindo, que a incerteza na posição do méson é da ordem das dimensões nuclearaes, temos:

Δx~1,5x10^-13cm.                                                                                                Eq(1)

 Princípio de incerteza de Heisenberg: 

 ΔxΔp~ħ.                                                                              Eq(2)

Sabendo que pelo princípio da relatividade especial de Einstein, o méson não pode ter velocidade maior do que c(velocidade da luz no vácuo). Com certeza, a incerteza no momento linear do méson de massa m  é da ordem de 

Δp~mc.                                                                                                                  Eq(3)

Combinando as Eq(1), Eq(2) e Eq(3), obtemos:

mc~Δp~ħ/Δx=ħ/(1,5x10^-13cm)⇔m~....

Os valores de c e  h cortado são tabelados(constante de Planck dividido por 2𝜋, isto é, ℏ=h/2𝜋)

Portanto, a massa do méson é da ordem de m~...

8) Estimar o tamnho do átomo de hidrogênio e a energia do estado fundamental, utilizando a relação de incerteza de Heisenberg, ΔxΔp~ħ.

Sugestão: assumir que a incerteza na posição do elétron do átomo de hidrogênio é igual ao riao atômico(=a). Calcule o momento linear e minimize a energia total. Lembre-se que as cargas do elétron q=-e e do próton q=+e com a carga elementar, no SI, sendo dada por

Solução

O operador Hamiltoniano(operador energia total) de um elétron  de mommento linear p a uma distância a de um próton é dada por(Z=1, número atômico):

H=E_c+V(x)

O operador energia cinética, em termos do operador momento linear, 

 E_c= p²/2m 

e a energia potencial, ou simplesmente potencial

 V(x)=-ke²/a . 

Então, o operador Hamiltoniano torna-se:

 

H=  p²/2m - ke²/a .

Com k sendo a constante da eletrostática.

Como a energia total é constante, vemos que: E=<H>.

E(a)= < p²>/2m - ke²/a

Considerando o desvio padrão como uma medida de Δp, temos:

Δp² = < p²>- <p>²

Admitindo que o átomo de hidrogênio tenha uma simetreia razoável, tal que,

<p>~0 e <a>~a.

Vemos que,  Δp² = < p²> e Δa² = < a²>.=a² 

Então, usando a relação de incerteza ΔxΔp~ħ, obtemos uma expressão para o valor esperado do momento linear do elétron dependendo somente de a, ou seja:

< p²>= Δp²~ħ²/a²

Portanto,  a energia total torna-se uma função de a:

 E(a)= ħ²/(2ma) - ke²/a.

Agora, basta usar o teorema fundamental do cálculo: derivamos e igualando a zero encontraremos os valores de "a" em que a energia será mínima.

dE(a)/da|_a=a_min=0

(Derivamos e depois substituímos a por a_min).

Lmbre-se 

da^-1/da=-1/ a²

Então, a_min=...

Como, a priori, a energia máxima pode ser igual a um valor  infinito, logo, o valor encontrado para o raio do átomo é um valor mínimo possível e, portanto, a enrgia mínima

E_min=E(a_min)=-13,6eV(energia do estado fundamental do elétron)

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