Professor no minicurso de sobre mecânica quântica supersimétrica. Ele está mostrando os livros: supersimetria em mecânica quântica e mecânica quântica.
Hoje, 12 de Junho, será a aula 16, da disciplina de Instrumentação II-UFCG-2026.1, a lista VII tendo algumas questões do ENEM sobre Campo Magnético e a Lei de Ampère, ministrada pelo professor Rafael.
Faremos um resumo sobe a lei de Biot-Savart para o campo magnético devido a um fio com corrente $i$ e a lei de Faraday. Veja a seguir a lista VII de exercícios, contendo 10 questões, usando os comandos do processador de texto Latex, sendo algumas questões do ENEM. A versão em PDF será enviado para o grupo do whatsapp da turma dessa disciplina, nesta sexta-feira, 12/06.
Email: rafael@df.ufcg.edu.br
Um pouco da história do campo magnético.
Após Oersted, em 1820, descobri por acaso que um circuito com corrente elétrica gera um campo magnético, Biot-Savart formularam a equação integral que fornece o campo magnético em termos da corrente elétrica. Em seguida Ampère formulou a equação para corrente estacionária de uma forma mais elegante. Ambas leis relaciona o campo magnético com a corrente elétrica em um fio. Porém, Maxwell mostrou que essas leis não valem para campos elétricos variando no tempo.
Após Faraday mostrar que um campo magnético variando no tempo produz um campo elétrico. Maxwell modificou a lei circuital de Ampère, a qual passou a ser chamada de lei de Ampère-Maxwell.
André-Marie Ampère (20/01/1775 – 10/06/1836) inventou o galvanômetro e um princípio de telegrafia elétrica o qual foi realizado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss e Eduard Weber. Além das pesquisas sobre a geração de campo magnético por correntes em condutores, Ampère levantou também a hipótese de que moléculas podem conter correntes que geram campo magnético.
Jean-Baptiste Biot (21/04/1774 - 03/02/1862) pesquisou sobre diversos assuntos; o campo magnético da Terra, meteoritos, luz polarizada, gravimetria e geodésia.
Félix Savart (30/06/1791 – 16/03/1841)) pesquisou sobre cordas vibrantes de violinos e descobriu segredos da construção dos bons violinos.
Lei de Ampére
Faremos um resumo sobre a lei de Ampère para o campo magnético devido a um fio com corrente $i$. Veja a seguir também a lista VII completa de exercícios, contendo 10 questões, sendo 3 resolvidas, usando os comandos do processador de texto Latex, sendo algumas questões do ENEM. A versão em PDF será enviada para o grupo do whatsapp da turma dessa disciplina.
DICAS SOBRE PROCESSADOR DE TEXTO LATEX
Exemplo, uma fração no Latex, é dada por $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ Os comandos matemáticos dentro do texto vem entre $...$. Se for para aparecer centralizado usa-se a equação entre dois símbolos $$. Os acentos vem acompanhados da barra invertida.
Exemplo, uma fração no Latex, é dada por $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2.$ Os comandos matemáticos dentro do texto vem entre $...$. Se for para aparecer centralizado usa-se a equação entre dois símbolos $$. Os acentos vem acompanhados da barra invertida.
Foi Visto.
Força Magnética e o Campo Magnético de um fio com corrente.
Regra da mão direita
A Lei de Ampère circuital de Ampère fornece o campo magnético circular devido a um fio condutor com corrente $i$ estacionária, na forma integral é dada por
Usando o comando do Latex,
$$
\int \vec B\cdot d\vec \ell=imu_0 i
$$
O lado esquerdo pode ser escrito também por
Aqui S=\ell.
No ensino médio, torna-se:
∑ B𐊣S=𝝁_0i
$$
\sum \vec B\cdot \vec \Delta\ell=\mu_0 i
$$
Quando o campo magnético for uniforme,
$$
\sum B \Delta\ell cos(\Theta)=\mu_0 i
$$
Com $\Theta$ sendo o ângulo entre o deslocamento $\Delta\ell$ e o campo magnético $\vec B.$
A constante $\mu$ \'e denominada de constante de permeabilidade magnética do meio e $\mu_0$ no vácuo.
Somando toda a trajetória, obtemos o comprimento de uma circunferência de raio $r$,
$$
\sum B \Delta\ell =2\pi r,
$$
portanto a lei de Ampère torna-se:
$$
B=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}.
$$
\noindent{\bf INSTRUMENTA\c{C}\~AO II }
\noindent{CURSO DE LICENCIATURA EM F\'ISICA-UAFM-CES-UFCG}
\noindent{Prof. Rafael de Lima Rodrigues. PER\'IODO 2026.1.}
\vspace{0.5cm}
\centerline{\bf Exerc\'\i cios Resolvidos}
\vspace{0.5cm}
\centerline{\bf Campo Magn\'etico}
Quando voc\^e afixa um \'\i m\~a de enfeite na porta da sua
geladeira, certamente sente nos dedos a atra\c{c}\~ao exercida
entre o \'\i m\~a e a porta, concluindo que o espa\c{c}o em torno
do \'\i m\~a tem propriedades especiais. O espa\c{c}o pr\'oximo a
uma barra de pl\'astico carregado tamb\'em apresenta propriedades
especiais. Neste caso j\'a aprendemos que um campo el\'etrico
$\vec E$ \'e gerado nas proximidades da barra. Por analogia,
parece l\'ogico postular que existe um campo magn\'etico, o qual
n\'os representamos pelo s\'\i mbolo, $\vec B$ em todos os pontos
nas vizinhan\c{c}as do \'\i m\~a.
Um tipo conhecido de \'\i m\~a, \'e uma bobina enrolada em torno
de um n\'ucleo de ferro, o m\'odulo do campo magn\'etico externo
\'e determinado pela corrente na bobina. Na ind\'ustria, tais
eletro\'\i m\~as s\~ao usados para separar objetos de ferro, num
ferro-velho, cargas el\'etricas provocam o aparecimento de um
campo el\'etrico e este, por sua vez, exerce uma for\c{c}a
el\'etrica sobre qualquer outra part\'\i cula carregada contida no
campo.
\vspace{0.5cm}
1-\centerline{\bf Lei de Biot-Savart}
Dado um fio condutor com corrente $i$ e comprimento
$\ell,$ calcule o campo magn\'etico produzido pela corrente em um
ponto sobre o eixo que passa pela mediatriz do fio.
\begin{figure}[h]
\centering\epsfig{file=fig6emag.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}
\end{figure}
\centerline{Solu\c{c}\~ao}
Usando a lei de Biot-Savart, o m\'odulo do campo elementar torna-se:
$$
dB= \frac{\mu_0 i}{4\pi} \frac{dx}{r^2}sen\theta
$$
$$
B= \int dB= \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int\frac{dx}{r^2}sen\theta,
$$
onde $r^2= R^2 + x^2.$
Como
$$
sen\theta= sen(\pi - \theta)= \frac Rr= \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}
$$
obtemos:
$$
B= \frac{\mu_0
i}{4\pi}\int^{\frac{\ell}{2}}_{-\frac{\ell}{2}}\frac{Rdx}{(R^2 +
x^2)^{\frac 32}}= \frac{\mu_0 i}{4\pi}\left[\frac{x}{R(R^2 +
x^2)^{\frac 12}}\right]^{\frac{\ell}{2}}_{-\frac{\ell}{2}}
$$
$$
\Rightarrow B= \frac{\mu_0 i}{2\pi R}\frac{\ell}{(\ell^2 +
4R^2)^{\frac 12}}.
$$
Se $\ell \rightarrow \infty, \quad B= \frac{\mu_0 i}{2\pi
R}\frac{\ell}{\ell}.$
Dire\c{c}\~ao: perpendicular ao quadrado e o sentido \'e entrando no
quadrado.
Leia mais.
\vspace{0.5cm}
\noindent 2) Calcule o m\'odulo, dire\c{c}\~ao e sentido do vetor
campo magn\'etico $\vec B$ no centro $P$ do semic\'\i rculo, sabendo
que o segmento de fio reto de comprimento $\ell$ transporta uma
corrente $i.$
\begin{figure}[h]
\centering\epsfig{file=fig4emag.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}
\end{figure}
\centerline{Solu\c{c}\~ao}
Note que $B_1=B_3=0,$ pois em ambos casos $\theta =\frac{\pi}{2},$
isto \'e, estes campos se anular\~ao porque o
$sen(\frac{\pi}{2})=0,$ que aparece na lei de Biot-Savart. Portanto,
o campo magn\'etico resultante ser\'a o campo produzido pelo fio 2:
Observamos que $dB_1= 0= dB_3,$ portanto, utilizando o mesmo
racioc\'\i nio do item anterior, com $\theta = \pi,$ temos:
\vspace{0.5cm}
\noindent 3- A figura abaixo mostra um corte transversal de um
condutor cil\'\i ndrico, de raios $a, b$ e $c$, transportanto uma
corrente $i$ uniformemente distribu\'\i da. Determine o m\'odulo
do vetor campo magn\'etico $\vec B$ quando: a) $r \leq a,$ b) $a
\leq r \leq b$ e c) $b \leq r \leq c.$
\begin{figure}[h]
\centering\epsfig{file=fig1emag.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}
\end{figure}
\centerline{Solu\c{c}\~ao}
\noindent a)
Densidade de corrente, $j=|\vec j|=\frac{i}{A},$(corrente dividido pela
\'area), com $A=\pi a^2$,
$$
j= \frac{i}{\pi a^2}= \frac{i^{\prime}}{\pi r^2} \Rightarrow
i^{\prime}= \frac{ir^2}{a^2}
$$
$$
B\int d\ell= \mu_0 \frac{ir^2}{a^2}
\Rightarrow B2\pi r= \mu_0 i\frac{r^2}{a^2}
\Rightarrow B= \frac{\mu_0 ir}{2\pi a^2}, \quad r \leq a.
$$
\noindent b)
$$
B2\pi r= \mu_0 i \Rightarrow B= \frac{\mu_0 i}{2\pi r}, \quad a
\leq r \leq b
$$
\noindent c)
$$
B 2\pi r= \mu_0 i, \quad i^{\prime}= i - i^{\prime\prime}
$$
$$
j= \frac{i}{\pi(c^2 - b^2)}= \frac{i^{\prime\prime}}{\pi(r^2 -
b^2)} \Rightarrow i^{\prime\prime}\frac{r^2 - b^2}{c^2 - b^2}
$$
$$
B= \frac{\mu_0}{2\pi r}\left(i-i\frac{r^2 - b^2}{c^2 -
b^2}\right)= \frac{\mu_0 i}{2\pi r}\left(\frac{i^2 - b^2 - r^2 +
b^2}{c^2 - b^2}\right)
$$
$$
B= \frac{\mu_0 i}{2\pi r}\frac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}, \quad b \leq
r \leq c.
$$
Se $r \geq c \Rightarrow B=0, \quad i_0= i - i= 0.$
\vspace{0.5cm}
\centerline{LEI DE FARADAY}
\vspace{0.5cm}
Se o campo magn\'etico tiver um m\'odulo constante $B$ e estiver em
todos os pontos fazendo um \^angulo reto com um plano de superf\'\i
cie de \'area $A,$ a equa\c{c}\~ao do fluxo el\'etrico reduz-se
\begin{equation}
\label{4F}
\phi_B= BA,
\end{equation}
com $\phi_B$ sendo o valor absoluto do fluxo.
Vemos que a unidade do
SI para o fluxo magn\'etico \'e o tesla.metro$^2$, ao qual daremos o
nome Weber (abreviadamente $W$). Assim,
$$
1 \hbox{Weber}= 1W= 1T m^2
$$
Vejamoss agora, a lei de Faraday e Lens para o eletromagnetismo: a varia\c{c}\~ao do fluxo magn\'etico, devido, digamos, ao movimento de \'\i m\~a dentro de uma espira de cobre, induz uma corrente el\'etrica
na espira, ou seja,
$$
\xi=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t},
$$
com a varia\c{c}\~ao do fluxo magn\'etico, no ensino m\'edio, sendo dado por $\Delta\Phi= \Sigma\Delta A \mid\vec B\mid cos \Theta.$
A lei de Lens do eletromagnetismo \'e a interpreta\c{c}\~ao de Lens sobre
o sinal
negativo na lei de Faraday: a corrente el\'etrica induzida se op\~oem aquilo
que a gerou.
Como o lado esquerdo da lei de Faraday est\'a associado ao campo el\'etrico,
vemos que a varia\c{c}\~ao do fluxo magn\'etico produz um campo el\'etrico.
\vspace{0.5cm}
\end{document}
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
\documentclass[preprint,aps]{revtex4}
\usepackage{epsfig}
\begin{document}
\noindent{\bf INSTRUMENTA\c{C}\~AO II - LISTA VII}
\noindent{CURSO DE LICENCIATURA EM F\'ISICA-UAFM-CES-UFCG}
\noindent{Prof. Rafael de Lima Rodrigues. PER\'IODO 2026.1.}
\noindent{\bf Aluno(a):\hrulefill Data: 12-06-26}
\vspace{0.5cm}
\noindent 1-(ENEM/2011) O manual de funcionamento de um captador de guitarra el\'etrica apresenta o seguinte texto: Esse captador comum consiste de uma bobina, fios condutores enrolados em torno de um \'\i m\~a permanente. O campo magn\'etico do \'\i m\~a induz o ordenamento dos polos magn\'eticos na corda da guitarra, que est\'a pr\'oxima a ele. Assim, quando a corda \'e tocada, as oscila\c{c}\~oes produzem varia\c{c}\~oes, com o mesmo padr\~ao, no fluxo magn\'etico que atravessa a bobina. Isso induz uma corrente el\'etrica na bobina, que \'e transmitida até o amplificador e, da
\'\i , para o alto-falante. Um guitarrista trocou as cordas originais de sua guitarra, que eram feitas de aço, por outras feitas de n\'ailon. Com o uso dessas cordas, o amplificador ligado ao instrumento não emitia mais som, porque a corda de n\'ailon
a) isola a passagem de corrente el\'etrica da bobina para o alto-falante. b) varia seu comprimento mais intensamente do que ocorre com o a\c{c}o. c) apresenta uma magnetiza\c{c}\~ao desprez\'\i vel sob a a\c{c}\~ao do \'\i
m\~a permanente. d) induz correntes el\'etricas na bobina mais intensas que a capacidade do captador. e) oscila com uma frequ\^encia menor do que a que pode ser percebida pelo captador.
\vspace{0.5cm}
\noindent 2-(ENEM/2014) As cercas el\'etricas instaladas nas zonas urbanas s\~ao dispositivos de seguran\c{c}a planejados para inibir roubos e devem ser projetadas para, no m\'aximo, assustar as pessoas que toquem a fia\c{c}\~ao que delimita os dom\'\i nios de uma propriedade. A legisla\c{c}\~ao vigente que trata sobre as cercas el\'etricas determina que a unidade de controle dever\'a ser constitu\'\i da, no m\'\i nimo, de um aparelho energizador de cercas que apresente um transformador e um capacitor. Ela tamb\'em menciona que o tipo de corrente el\'etrica deve ser pulsante. Considere que o transformador supracitado seja constitu\'\i do basicamente por um enrolamento prim\'ario e outro secund\'ario, e que este \'ultimo est\'a ligado indiretamente \`a fia\c{c}\~ao. A fun\c{c}\~ao do transformador em uma cerca el\'etrica \'e
a) reduzir a intensidade de corrente el\'etrica associada ao secund\'ario. b) aumentara pot\^encia el\'etrica associada ao secund\'ario. c) amplificar a energia el\'etrica associada a este dispositivo. d) proporcionar perdas de energia do prim\'ario ao secund\'ario. e) provocar grande perda de pot\^encia el\'etrica no secund\'ario.
\vspace{0.5cm}
\noindent 3-(ENEM/2016) A magnetohipertermia \'e um procedimento terap\^eutico que se baseia na eleva\c{c}\~ao da temperatura das c\'elulas de uma regi\~ao espec\'\i fica do corpo que estejam afetadas por um tumor. Nesse tipo de tratamento, nanopart\'\i culas magn\'eticas são fagocitadas pelas c\'elulas tumorais, e um campo magn\'etico alternado externo \'e utilizado para promover a agita\c{c}\~ao das nanopart\'\i culas e consequente aquecimento da c\'elula. A eleva\c{c}\~ao de temperatura descrita ocorre porque
a) o campo magn\'etico gerado pela oscila\c{c}\~ao das nanopart\'\i culas \'e absorvido pelo tumor. b) o campo magn\'etico alternado faz as nanopart\'\i
culas girarem, transferindo calor por atrito. c) as nanopart\'i culas interagem magneticamente com as c\'elulas do corpo, transferindo calor. d) o campo magn\'etico alternado fornece calor para as nanopart\'\i culas que o transfere às c\'elulas do corpo. e) as nanopart\'\i culas s\~ao aceleradas em um \'unico sentido em raz\~ao da intera\c{c}~ao com o campo magn\'etico, fazendo-as colidir com as c\'elulas e transferir calor
\vspace{0.5cm}
\noindent 4-(ENEM/2017) Para demonstrar o processo de transforma\c{c}\~ao de energia mec\^anica em el\'etrica, um estudante constr\'oi um pequeno gerador utilizando: um fio de cobre de di\^ametro D enrolado em N espiras circulares de \'area A; dois \'i m\~as que criam no espa\c{c}o entre eles um campo magn\'etico uniforme de intensidade B; e um sistema de engrenagens que lhe permite girar as espiras em torno de um eixo com uma frequ\^encia f. Ao fazer o gerador funcionar, o estudante obteve uma tens\~ao m\'axima V e uma corrente de curto-circuito i. Para dobrar o valor da tens\~ao m\'axima V do gerador mantendo constante o valor da corrente de curto i, o estudante deve dobrar o(a)
a) n\'umero de espiras. b) frequ\^encia de giro. c) intensidade do campo magn\'etico. d) \'area das espiras. e) di\^ametro do fio.
\vspace{0.5cm}
\noindent 5-(ENEM/2017) Um guindaste eletromagn\'etico de um ferro-velho \'e capaz de levantar toneladas de sucata, dependendo da intensidade da indu\c{c}\~ao magn\'etica em seu eletro\'\i m\~a. O eletro\'\i m\~a \'e um dispositivo que utiliza corrente el\'etrica para gerar um campo magn\'etico, sendo geralmente construído enrolando-se um fio condutor ao redor de um n\'ucleo de material ferromagnético (ferro, a\c{c}o, n\'\i quel, cobalto). Para aumentar a capacidade de carga do guindaste, qual caracter\'\i stica do eletro\'\i m\~a pode ser reduzida?
a) Di\^ametro do fio condutor. b) Dist\^ancia entre as espiras. c) Densidade linear de espiras. d) Corrente que circula pelo fio. e) Permeabilidade relativa do n\'ucleo.
\vspace{0.5cm}
\noindent 6) Considere um el\'etron penetrando perpendicular em um
campo magn\'etico uniforme $\vec B$, com velocidade $\vec
v=0,10\frac{cm}{s}\vec j$ e em um certo ponto de sua trajet\'oria
circular ela fica sob a\c{c}\~ao de uma for\c{c}a magn\'etica
$\vec F=4\hbox{x}10^{-2}N\vec k$.
Calcule o m\'odulo, dire\c{c}\~ao e sentido do campo magn\'etico naquele ponto.
Aten\c{c}\~ao! Se o el\'etron penetrar sem ser perpendicular ao
campo magn\'etico a sua trajet\'oria n\~ao ser\'a circular.
Lembre-se que a rela\c{c}\~ao entre os vetores for\c{c}a magn\'etica
e o campo magan\'etico \'e dada por $\vec F=q\vec v\hbox{x}\vec B,$
com $q$ sendo a carga el\'etrica da part\'\i cula, $\vec v\hbox{x}\vec B,$ produto vetorial entre $\vec v$ e $\vec B.$ Os vetores $\vec v$ e $\vec B$
s\~ao perpendiculares com o vetor for\c{c}a magn\'etica $\vec F$.
Quando um condutor de comprimento $\ell$ for submetido
por uma corrente $I(A)=\frac qt$, com intenidade de velocidade $v=\frac{\ell}{t}$,
a for\c{c}a magn\'etica torna-se:
$$
F_m=B\frac qt \ell= BI\ell.
$$
A unidade do campo magn\'etico, no SI, \'e o $T$(Tesla).
\vspace{0.5cm}
\noindent 7) ENEM 2015- Considere dois fios condutores retil\'\i neos, extensos e paralelos, separados de 10 $cm$ e situados no v\'acuo. Considere, tamb\'em, que cada condutor \'e percorrido por correntes el\'etricas cujos valores s\~ao $i_1= 4A$ e $i_2=12A$, em sentidos opostos. Nessa situa\c{c}\~ao, pode-se caracterizar a for\c{c} a magn\'e tica, para cada metro linear dos fios, como sendo?
\vspace{0.5cm}
\noindent 8) Considere um pr\'oton, no v\'acuo, passando com a velocidade de 4x$10^5\frac ms,$ paralelo a um fio condutor com
corrente el\'etrica de intensidade de $15A$. Qual a for\c{c}a magn\'etica
sobre o pr\'oton? Lembre-se que a constante de permeabilidad no v\'acuo \'e
$\mu_0=4\pi\hbox{x}10^5\frac{N}{A^2}.$
\vspace{0.5cm}
\noindent 9) Considere dois fios de cmprimeno $\ell$ paralelos separados por uma dist\^ancia
de $2cm$, no v\'acuo, com correntes el\'etricas de $8A$ e $15A$ no mesmo sentido.
Qual a for\c{c}a por unidade de comprimento, que um fio exerce sobre o outro?
\vspace{0.5cm}
\noindent 10) Ainda em 1820, logo ap\'os a observa\c{c}\~ao de Orested da influ\^encia de uma corrente el\'etrica
sobre a agulha de uma b\'ussula, Amp\`ere percebeu que dois fios paralelos submetidos a correntes
el\'etricas $i_1$ e $i_2$ exercem for\c{c}as de repuls\~ao e atra\c{c}\~ao, respectivamente, quando as
correntes s\~ao em sentido contr\'arios e no mesmo sentido. Mostre que, no v\'acuo, a intensidade
da for\c{c}a magn\'etica que o fio 1(2) exerce sobre o comprimento $\ell$ do fio 2(1), em ambos
casos, \'e dada por
$$
F =\mu_0
\frac{i_1i_2\ell}{
2\pi r},
$$
onde $r$ \'e a dist\^ancia entre os dois fios. Lembre-se que a for\c{c}a
magn\'etica sobre o comprimento $\ell$ do fio 2, devido ao campo magn\'etico do fio 1, torna-se:
$$
F = B_1i_2\ell sen(\frac{\pi}{2})
= B_1i_2\ell.
$$
\noindent b) Um circuito ssimples. Considere que um homem queira ligar em uma l\^ampda de $60W$ em s\'erie
com uma bateria de $12V.$ Neste caso, ele deve colocar um resistor em s\'erie
para evitar que a l\^ampada se queime. Qual o valor da resist\^encia desse
resistor?
\vspace{0.5cm}
\end{document}
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