Aula 16- 2023.1-Instrumentação I, Projeto VI: Período do Oscilador Harmônico, professor Rafael, nesta quinta, 21

 

O conteúdo de energia potencial gravitacional e elástica é visto no 1o. ano do ensino médio brasileiro. Veja a discussão dos estudantes da disciplina de Instrumentação I na UFCG, campus Cuité. período letivo 2023.1, sobre a fundamentação teórica da força elástica e da energia potencial elástica, para o oscilador massa-mola executando um movimento harmônico simples.

Verifica-se experimentalmente que a força restauradora do sistema massa-mola é proporcional a sua elongação (x), ou seja, quanto mais se puxar a massa presa na extremidade da mola, maior será a força exercida pela mola para restaurar a posição inicial. A constante elástica da mola é representada por k. Portanto, o módulo da foça elástica tona-se:

F=kx (Lei de Hooke)

Em termos da componente cartesiana da força, escrevemos

F_x=-kx.

A componente da força é negativa, indicando que a força é restauradora, isto é, a força da mola puxa a massa (m) contrária a orientação positiva.

Projeto VI: Período do Oscilador Harmônico.

Usando a segunda lei de Newton e desprezando o atrito,

Fx=max

obtém-se que a coordenada de posição deste oscilador será uma função harmônica seno ou cosseno ou uma combinação de ambas funções.

x(t)=Acos(𝜔t+θ),

com A sento um ponto de retorno do oscilador e θ é uma constante de fase. O outro ponto de retorno é -A. O quadrado da frequência angular é a razão entre a constante elástica e a massa m, ou seja, 𝜔2=k/m . Portanto, o que caracteriza o oscilador harmônico simples é a seguinte condição:

a_x =-𝜔²x .

Energia Mecânica

A energia mecânica total é a soma de duas parcelas: energia cinética (Ec) e energia potencial (Epe). Desprezando o atrito, a energia mecânica EM é conservativa, ou seja a energia potencial se transforma em energia cinética e vice-versa, sem mudar o valor da soma de ambas parcelas. Escolhendo dois pontos A e B, podemos escrever a lei de conservação:

EM(A) = EM(B),

com

EM = Ec + Epe

E_c= mv² /2

E_pe = kx² /2

Se o  movimento for no plano o vetor velocidade tem duas componentes, digamos no plano xy,  (v_{x ,} v_y), o quadrado do seu módulo é dado por

v² =  v_x² + v_y^2 .
Demonstramos também que a energia potencial elástica é proporcional ao quadrado da coordenada de posição, cuja constante de proporcionalidade é a metade da constante elástica da mola, k.

Como determinar a constante elástica da mola, k, que é uma característica de cada mola? Considerando o oscilador na vertical, temos:

O  estudante Nallyson tirando dúvidas com o professor Rafael, quando estava no curso de LIcenciatura em Física de Cuité, no momento,  ele está cursando o mestrado em Física na UFRPE. 

Veja mais

Qual a equação da  Energia potencial?

Cada sistema tem o seu potencial. No caso da força constante, a energia potencial é simplesmente o produto entre a força aplicada na direção do movimento e a coordenada de posição, que corresponde ao trabalho mecânico.

 Por exemplo, a energia potencial gravitacional de um corpo que está a uma altura h, sob a ação da gravidade local, com o peso dado por                           P=mg,

torna-se,

E_{pg =} força peso multiplicada pela altura h,

E_pg= Ph=mgh
(A energia potencial gravitacional varia somente  com a altura, h,  pois a aceleração da gravidade,  g=978 cm/s²,  é constante e a massa (m) é medida na balança.)

A aceleração da gravidade na Lua (g_L) é 6 vezes menor do que a gravidade na superfície da Terra, isto é, g_L = g/6. Portanto, ao chegar na Lua a sua massa não varia, mas o seu peso será 6 vezes menor do que na Terra.

A energia potencial elástica é proporcional ao quadrado da coordenada de posição. Neste caso, a força é variável com a posição, o trabalho será calculado através da integral. 

O gráfico da energia potencial elástica é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Duas atividades.  

i) Usando 4 ou mais massas diferentes, medir a constante elástica da mola e verificar a lei de Hooke. ii) Desprezando o atrito, determine as energias mecânica e  total e cinética (E_{c =} E_{M -} E_pe). A curva  da energia cinética é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

Veja como determinar o período do OHS e medir o mesmo experimentalmente  desprezando o atrito.  

Lei de Hooke: a intensidade (o módulo) força restauradora da mola

F=kx
com k sendo a constante elástica da mola.

 O conteúdo desta disciplina do curso de Licenciatura em Física do Centro de Educação e Saúde (CES) da UFCG, campus Cuité, é comum para os cursos de Física, Química, Matemática e Engenharia. Solução da equação diferencial ordinária (EDO) do Oscilador Harmônico Simples. 

Veja o vídeo e deixe o ok.

   

Esta parte de uma aula sobre o  sistema massa-mola, do ponto de vista clássico, é útil também, para a EDO  da mecânica quântica. 

UFCG-CES-UAFM                                       período 2023.1
 INSTUM,ENTAÇÃO    I

EXPERIMENTO VI: Oscilações o sistema massa-mola

I. Estudar o sistema massa-mola como oscilador que executa um Movimento  Harmônico  Simples (MHS).

a) Prever teoricamente o período T em função dos parâmetros do sistema (constante elástica  k, massa M, etc. )

b) Achar, na experiência, os valores numéricos dos parâmetros acima referidos.

b1) Pelos valores numéricos de (b), prever T.

c) Encontrar, experimentalmente, com auxilio de um cronômetro, o período de oscilação T’.
d) Comparar T e T’. Comentar. Apontar possíveis causas de discrepâncias.

II. Estudar o sistema como oscilador que executa um Movimento  Harmônico Amortecido (MHA).

a) Escrever a expressão da lei pela qual a amplitude A, de oscilação, descreve exponencialmente com o tempo decorrido.

b) Colher da experiência valores de A ao decorrer do tempo t. Fazer uma tabela dos mesmos valores coletados.

c) Testar, por meio de um gráfico apropriado, se o decréscimo de A é exponencial, com t: totalmente, ou em uma faixa de tempo.

c₁) Nessa faixa de tempo, achar a constante de amortecimento, do oscilador.

c₂) Na mesma faixa de tempo, achar a meia-vida do oscilador: por um ou dois processos.

c₃) Quesito extra: o que acontece com a energia (mecânica) do oscilador(E_M= E_c + E_pe), ao correr do tempo? E_c - energia cinética e  E_pe – energia potencial elástica.

CONSTANTE DE ELASTICIDADE (K) DE UMA MOLA µ

Força da mola: F=kx

Quando se tem o peso P atado à extremidade da mola em equilíbrio, |P| = |F|.
Esta condição de equilíbrio, permite obtermos o valor da constante elástica da mola, ou seja,  determinação experimental da constante k.

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