Segunda Lista de exercícios propostos: Velocidade Média e Velocidade Instantânea.
Foi visto: Movimento
O estado de Movimento e Repouso depende de um referencial. Se a distância variar em relação ao referencial dizemos que o corpo está em movimento. Se a distância não mudar em relação ao referencial dizemos que o corpo está em repouso. Por exemplo, imagine você dentro de um carro, em movimento, para o observador fora do carro ele verá você em movimento. Se o observador estiver dentro do carro ele verá você em repouso.
Este é um dos assuntos mais antigo da ciência, sendo que é preciso definir matematicamente o que é um referencial em Física?
Um referencial em Física no espaço tridimensional, é um ponto de observação, tendo 3 eixos com orientações positivas e o observador na origem do sistema de coordenadas, com todos os instrumentos de mediada para o fenômeno em estudo. Em um movimento na reta, basta um eixo com orientação positiva (movimento unidimensional).
Velocidade Média
A velocidade Média é a distância total percorrida dividida pelo tempo gasto, seguindo o deslocamento de um corpo, em uma curva ou reta. Ela representa um valor hipotético para a velocidade. Por exemplo, se você viajar de Alagoa Grande-PB para Campina Grande pela BR 230, percorrerá uma distância de 60km com uma velocidade média de 90km/h, chegará em 40 minutos. Note que podemos ter diversas velocidades neste percurso, digamos, menos de 90km/h e acima de 90km/h, mas na média foi 90km/h. Agora, você poderá escrever a equação da velocidade como sendo a distância dividido pelo tempo,
Nos livros- textos, o deslocamento escalar, em geral, é representado pela letra s da palavra em inglês space, mas você poderá usar a letra d de distância.
Unidades de medidas no SI: distância é m(metro), tempo é s(segundo) e velocidade m/s.
👍 Na escola da educação básica, você estudou o conceito de velocidade média, taxa de variação da posição pelo tempo, ou seja, v=Δx/Δt, lê-se delta x por delta t. Com ΔX= variação da posição, sendo a distância total percorrida, igual a posição final menos a posição inicial e Δt=tempo gasto no percurso total.
Exemplo. Considerando o exemplo acima a distância percorrida é 60km e o tempo gasto pelo carro foi 40 minutos. Qual a velocidade média em km/h?
Solução
d=60km e t=40min. Neste caso, devemos antes transformar o minuto para hora. Sabemos que 1h=40min, portanto, 1min=(1/60)h. Resulta que, 40mim=(40/60)h. Ao invés de dividir é melhor simplificar, ou seja, cortando o zero e dividindo o numerador e o denominador por 2, obtemos:
t= 40mim=(40/60)h= (2/3)h. Agora, para calcular a velocidade média, basta dividir e, tendo em mente, que a unidade de velocidade do carro será km/h.
Usando a regra de divisão de fração: (a/b)/(c/d)=(ad)/(bc), isto é, fixamos a fação do numerador e multiplicamos pela inverso da fração do denominador.
v=d/t=(60/40)km/min=(60/1)/(2/3)km/h
Comparando, vemos que: a=60, b=1, c=2 e d=3. Finalmente, obtemos:
v=(60/1)/(2/3)=(60x3)/2=180/2=90, ou seja, v=90km/h.
Observação.
Note que para transformar de km/min para km/h
km/min=[1/(1/60)]km/h=60km/h. Neste caso, para transformar de km/min basta multiplicar por 60. Logo,
v=d/t=(60/40)km/min=[(60x60)/40]km/h=[3600/40]km/h=90km/h.
No caso de transformar 1km/h para m/s, multiplicamos ou dividimos por 3,6?
Lembre-se que 1km=1000m e 1h=60min=60x60s=3600s. Portanto,
1km/h=1000m/3600s=(1 /3,6)m/s, ou seja, 1m/s=3,6km/h.
Note que existe muita maneiras de transformar as unidades de velocidade, seria melhor você trabalhar com as unidades fundamentais e simplificar as frações, pois você só poderá multiplicar por 3,6 para obter a unidade de velocidade em m/s, somente no caso em que a velocidade for dada em km/h.
O procedimento que irá direto sem ter dúvida se multiplica ou divide é fazer o cálculo direto como no exercício 1.
Velocidade Instantânea
A velocidade Instantânea representa o valor real em um dado instante de tempo. Ela fornece o valor absoluto da velocidade em cada instante de tempo, bem próximo um do outro, podendo ser igual a velocidade média. Newton, após estudar a cinemática de Galileu(Morreu em 1642, ano em que nasceu Newton) ao definir a velocidade instantânea, ele introduziu o artifício de limite com a variação do tempo cada vez menor.
Entendendo o significado físico de Velocidade
Na prática, você poderá ver a velocidade instantânea de um carro, olhando para o velocímetro, quando estiver com a velocidade limite permite pela lei de trânsito brasileira, 110km/h, significa que viajando sempre com essa velocidade, o carro percorrerá 110km em uma hora. Isso é o significado físico de velocidade.
Definição do limite(Lim) da velocidade escalar média com a variação do tempo tendendo a zero é de fato a velocidade instantânea, a saber:
Lê-se derivada de s em relação a t, que é representada por
Interpretação geométrica, fazendo s=x, obtemos:
Regra de Derivada de polinômios de segundo grau.
Vamos calcular a velocidade instantânea usando a definição de derivada, para o caso em que s=t2 vamos calcular a seguinte variação: Δs=s(t+Δt)-s(t).
Usando o produto notáveis, (a+b)^2 = a2 + b2 + 2ab, obtemos:
s=t2 ⇒ s(t+Δt)= (t+Δt)2 = t2 + Δt2 + 2t . Δt
⇒ Δs/Δt=[s(t+Δt)-s(t)]/Δt= (t2 + Δt2 + 2t . Δt-t2)/Δt = Δt2 /Δt+ 2t . Δt/Δt= Δt+2t.
Portanto, aplicando o limite de Δt tendendo a zero, o termo Δt tende a zero e restando 2t, ou seja, a velocidade instantânea
torna-se: v=dx/dt=dt2/dt =2t.Generalizando, considerando a coordenada de posição sendo o tempo elevado a n e multiplicada por uma constante, temos:
Exemplo: 
Seja a=1/2 e n=2. 
⇒ v=(2/2)t=t.
Seja a=1/2 e n=2. ⇒ v=(2/2)t=t.Seja a=1/2 e n=3 ⇒ v=(3/2)t2 .
Função horária como sendo um polinômio de terceiro grau.
Exemplo. 1) Considere um automóvel se deslocando de acordo com a seguinte função horária, tendo seus valores de tempo e de distância percorrida medidos no sistema internacional de medida(SI), dada por:
s(t) = 2t3 + 4t2 - 5t + 7 (SI)
Qual a velocidade do móvel no instante após 10 segundos?
Solução
Calculando a derivada de um polinômio de terceiro grau, aplicando a propriedade da soma das derivadas e a regra de potência, obtemos um polinômio de segundo grau, ou seja,
Agora, para obter a v(10s), basta substituirmos o tempo por 10, sem os segundos, pois aqui todas as grandezas estão no SI. Portanto, obtemos a velocidade em m/s:
v(10s)=(6x100+8x10-5)m/s=(600+80-5)m/s=675m/s
Ou poderíamos ter calculado v(10), e no resultado final colocar m/s. Pois, como estamos usando o SI, a unidade de velocidade é m/s.
Portanto, v(10s)=675m/s.
UFCG-CES-UAFM
Professor Rafael Rodrigues
Lista de Exercícios 2
1) Considere a seguinte função horária de uma moto em movimento, tendo seus valores de tempo e de distância percorrida medidos no sistema internacional de medida(SI), dada por:
s(t) = 5t3 + 0,5t2 - 2t + 1 (SI)
Determine a velocidade instantânea.
a) Usando o conceito de limite, qual a velocidade do móvel no instante após 8 segundos?.
b) Usando a regra de derivação, determine v(8).
2) a) Dizer quais são as principais contribuições de Galileu para a cinemática. b) Como era a pesquisa em Física antes de Galileu?
3) Considere um carro se movendo em linha reta com aceleração constante 6m/s² e velocidade inicial 40 km/h. Qual a função horária do deslocamento ΔX?.
ΔX= variação da posição, sendo a distância total percorrida, igual a posição final menos a posição inicial.
Lembre-se: ΔX=
4) Qual o tempo que um carro em movimento leva até parar, tendo partido com uma velocidade inicial de 60Km/h e tenha sofrido uma desaceleração de 4m/s²?
5) Enem de 2012 (Questão 66, Caderno amarelo, prova de Ciências da Natureza e suas Tecnologias).
Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve possível. Para tanto, a equipe de logística analisa o trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela verifica que o trajeto apresenta dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade máxima permitida é 120 km/h.
Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande continuamente na velocidade máxima permitida, qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega?
6) ENEM 2021. Nas estradas brasileiras existem vários aparelhos com a finalidade de medir a velocidade dos veículos. Em uma rodovia, cuja velocidade máxima permitida é de 80 km h−1, um carro percorre a distância de 50 cm entre os dois sensores no tempo de 20 ms. De acordo com a Resolução n. 396, do Conselho Nacional de Trânsito, para vias com velocidade de até 100 km h−1, a velocidade medida pelo aparelho tem a tolerância de +7 km h−1 além da velocidade máxima permitida na via. Considere que a velocidade final registrada do carro é o valor medido descontado o valor da tolerância do aparelho.
Nesse caso, qual foi a velocidade final registrada pelo aparelho?
7) ENEM 2021. Os acidentes de trânsito são causados geralmente por excesso de velocidade. Em zonas urbanas no Brasil, o limite de velocidade normalmente adotado é de 60 km h−1. Uma alternativa para diminuir o número de acidentes seria reduzir esse limite de velocidade. Considere uma pista seca em bom estado, onde um carro é capaz de frear com uma desaceleração constante de 5 m s−2 e que o limite de velocidade reduza de 60 km h−1 para 50 km h−1.
Nessas condições, a distância necessária para a frenagem desde a velocidade limite até a parada completa do veículo será reduzida em um valor mais próximo de8) ENEM 2018. Um piloto testa um carro em uma reta longa de um autódromo. A posição do carro nessa reta, em função do tempo, está representada no gráfico.
Quais são os pontos em que a velocidade do carro é menor e maior?
9) ENEM 2013. Conta-se que um curioso incidente aconteceu durante a Primeira Guerra Mundial. Quando voava a uma altitude de dois mil metros, um piloto francês viu o que acreditava ser uma mosca parada perto de sua face. Apanhando-a rapidamente, ficou surpreso ao verificar que se tratava de um projétil alemão.
PERELMAN, J. Aprenda física brincando. São Paulo: Hemus, 1970.
O piloto consegue apanhar o projétil, pois
a) ele foi disparado em direção ao avião francês, freado pelo ar e parou justamente na frente do piloto.
b) o avião se movia no mesmo sentido que o dele, com velocidade visivelmente superior.
c) ele foi disparado para cima com velocidade constante, no instante em que o avião francês passou.
d) o avião se movia no sentido oposto ao dele, com velocidade de mesmo valor.
e) o avião se movia no mesmo sentido que o dele, com velocidade de mesmo valor.
10) ENEM 2013. Antes das lombadas eletrônicas, eram pintadas faixas nas ruas para controle da velocidade dos automóveis. A velocidade era estimada com o uso de binóculos e cronômetros. O policial utilizava a relação entre a distância percorrida e o tempo gasto, para determinar a velocidade de um veículo. Cronometrava-se o tempo que um veículo levava para percorrer a distância entre duas faixas fixas, cuja distância era conhecida. A lombada eletrônica é um sistema muito preciso, porque a tecnologia elimina erros do operador. A distância entre os sensores é de 2 metros, e o tempo é medido por um circuito eletrônico.
Qual o tempo mínimo, em segundos, que o motorista deve gastar para passar pela lombada eletrônica, cujo limite é de 40 km/h, sem receber uma multa?
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Segue a Lista 1 na versão a ser impressa e em Latex, para você aprender um pouco dos comando do processador de texto Latex.
UFCG-CES-UAFM
Professor Rafael.
Lista de Exercícios 1
1) Considerando que você viajou pela BR104, de Cuité até Campina Grande, percorrendo uma distância de 113km e o tempo gasto pelo carro foi 80 minutos. Qual a velocidade média em km/h?
2) Qual a velocidade de um carro, para chegar no trevo da BR230, saindo de Alagoa Grande e passando por Juarez Távora, durante 15 minutos. Lembre-se que a distância de Alagoa Grande a este trevo é 23km. Esta é a mesma distância do trevo da BR104 ao campus Cuité da UFCG. Determine a) em km/h e b) No SI.
3) Considerando que tenha sido feito a manutenção da estrada de acesso ao quilombo Caiana dos Crioulos, se um carro viaja a velocidade média de 50km/h, partido do centro da cidade de Alagoa Grande, passando pelos sítios Paturi e Sapé de Julião percorrendo 13km, qual o tempo gasto, em minuto? Lembre-se que a distância de Alagoa Grande a este quilombo é 13km.
4) Partindo do km88 da BR104, no centro da cidade de Remígio, e chegando no município de Barra de Santa Rosa, no km131, durante 14 minutos. Qual a velocidade média, a) em km/h e b)no SI?
5) Considere que uma partícula se deslocou com uma equação
horária conforme a curva da função quadrática x(t)=2t2, no SI. Considere as escalas iguais nos eixos da vertical e horizontal, desenhe o
gráfico com a posição no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal.
a) Determine a velocidade instantânea, em t=1s.
b) Qual a velocidade média de 0,5s até 2s?
6) Você dirige um automóvel por 9,3km em uma rodovia reta com velocidade de 80km/h e ao final desse trecho para por falta de gasolina. Você caminha 2,0km durante 30 minutos, até encontrar um posto. Qual sua velocidade média desde o instante em que o carro começou a se mover até chegar ao posto de gasolina?
7) Você dirige um automóvel por 9, 3km em uma rodovia reta com velocidade de 80km/h e ao final desse trecho para por falta de gasolina. Você então caminha 2, 0km durante 30 minutos, até encontrar um posto. Qual sua velocidade média desde o instante em que o carro começou a se mover até chegar ao posto de gasolina?
9) Questão 125 do ENEM 2017
10) (OBF2005, 1a. fase.) Deixa-se cair livremente de uma altura de 200 metros, um objeto pesado. Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de maneira que os tempos percorridos sejam iguais e considerando a aceleração da gravidade igual a 10m/s2 teremos, de cima para baixo:
a) 40m e 160m
b) 50m e 150m
c) 75m e 125m
d) 100m e 100m
e) 160 e 40m
Versão da Lista 1 em Latex
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\pagestyle{myheadings} \pagenumbering{roman} \setcounter{figure}{0}
\setcounter{footnote}{0} \setcounter{equation}{0}
\setcounter{section}{0} \baselineskip=14pt
\addcontentsline{toc}{section}{\sc Introdu\c{c}\~ao \`a F\'\i sica.
Prof. Rafael de Lima Rodrigues} \markboth{\footnotesize{{\sl Dr.
Rafael de Lima Rodrigues}}} {\footnotesize{{\sl Introdu\c{c}\~ao \`a
F\'\i sica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues}}}
\centerline{ \bf Instrumenta\c{c}\~ao I -UAFM-CES-UFCG- Lista 1}
\noindent{Pofessor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill PER\'IODO 2020.2}
\noindent {Aluno(a): \hrulefill {\bf Boa Sorte.} 29-06-2021.}
\centerline{\bf Segunda Lista de Exerc\'\i cios Propostos
I}
\vspace{0.5cm}
\noindent 1) Considerando que voc\^e viajou pela BR104, de Cuit\'e at\'e Campina Grande, percorrendo uma dist\^ancia de $113km$ e o tempo gasto pelo carro foi 80 minutos. Qual a velocidade m\'edia em $km/h?$
\vspace{0.5cm}
\noindent 2) Qual a velocidade de um carro, para chegar no trevo da BR230, saindo de Alagoa Grande e passando por Juarez T\'avora, durante 15 minutos. Lembre-se que a dist\^ancia de Alagoa Grande a este trevo \'e $23km.$ Esta \'e a mesma dist\^ancia do trevo da BR104 ao campus Cuit\'e da UFCG. Determine a) em $km/h$ e b) No SI.
\vspace{0.5cm}
\noindent 3) Considerando que tenha sido feito a manuten\c{c}\~ao da estrada de acesso ao quilombo Caiana dos Crioulos, se um carro viaja a velocidade m\'edia de $50km/h,$ partido do centro da cidade de Alagoa Grande, passando pelos s\'itios Paturi e Sap\'e de Juli\~ao percorrendo $13km.$
\vspace{0.5cm}
\noindent a) Qual o tempo gasto, em minuto? Lembre-se que a dist\^ancia de Alagoa Grande a este quilombo \'e $13km.$
\vspace{0.5cm}
\noindent b) Partindo do km88 da BR104, no centro da cidade de Rem\'\i gio, e chegando no munic\'\i pio de Barra de Santa Rosa, no km131, durante 14 minutos. Qual a velocidade m\'edia, a) em km/h e b)no SI?
\vspace{0.5cm}
\noindent 4) Em Cuit\'e, no Curimata\'u paraibano, est\'a sem \'agua pot\'avel
da
CAGEPA, desde 2014. Muitos moradores est\~ao usando a \'agua de cisterna ou
po\c{c}o artesiano. Voc\^e poder\'a usar o conhecimento de cinem\'atica para medir
a profundidade de uma cisterna. Suponha que um morador deixou cair uma pedra
e ap\'os 6 segundos, ele ouviu o barulho quando ela tocou no fundo
da cisterna. Lembrando que a velocidade do som no ar \'e aproximadamente
$340c\frac ms,$ determine a profunidade da cisterna, desprezando a viscosidade
da \'agua(ou seja, sem considerar o efeito do atrito).
\vspace{0.5cm}
\noindent 5) Considere que uma part\'\i cula se deslocou com uma equa\c{c}\~ao
hor\'aria conforme a curva da fun\c{c}\~ao quadr\'atica $x(t)=2t^2$, no SI. Considere as escalas iguais nos eixos da vertical e horizontal, desenhe o
gr\'afico com a posi\c{c}\~ao no eixo vertical e o tempo no eixo horizontal.
\noindent a) Determine a velocidade instant\^anea, em t=1s.(Neste item
voc\^e pode usar a regra de deriva\c{c}\~ao $v(t)=\frac{x}{dt}.$
\noindent b) Qual a velocidade m\'edia de 0,5s at\'e 2s(Ou desenhe o gr\'afico
e calcule a \'area abaixo da curva, entre este intervalo de tempo)?
\vspace{0.5cm}
\noindent 6) Voc\^e dirige um autom\'ovel por 9,3km em uma rodovia reta com velocidade de 80km/h
e ao final desse trecho para por falta de gasolina. Voc\^e caminha $2,0km$ durante 30
minutos, at\'e encontrar um posto. Qual sua velocidade m\'edia desde o instante em que o carro
come\c{c}ou a se mover at\'e chegar ao posto de gasolina?
\vspace{0.5cm}
\noindent 7) MRUV. Como medir a acelera\c{c}\~ao da gravidade de um planeta distante
da Terra? O c\'alculo \'e an\'alogo ao que \'e feito aqui na Terra. Este movimento de queda de um corpo em outro planeta ou na Lua obedece tamb\'em
as equa\c{c}~oes da cinem\'atica de Galileu Galilei(faleceu em 1642, ano em
que nasceu Isaac Newton). Considere que um astronauta
chegou na Lua e jogou um objeto para cima com a velocidade de $8\frac ms$
e gastou 5 segundos. Qual o valor da acelera\c{c}\~ao da gravidade na Lua?
Qual o valor da altura m\'axima atingida pelo objeto?
\vspace{0.5cm}
\noindent 8) No gr\'afico da velocidade $v_x$ versus $t$, o deslocamento $\Delta x$ \'e igual a \'area
abaixo da curva. Considere o gr\'afico abaixo e calcule o deslocamento
$\Delta x$ percorrido por um m\'ovel durante o intervalo de tempo
registrado, sabendo-se que o deslocamento \'e calculado
utilizando-se a \'area abaixo da curva, neste caso a \'area de um
trap\'ezio que \'e dada por: $\frac{\hbox{(base maior + base menor)}
\cdot \hbox{altura}}{2}.$
\begin{figure}[h]
\centering\epsfig{file=f11-mec-c.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}
\end{figure}
\vspace{0.5cm}
\noindent 9) Quest\~ao 125 do ENEM 2017. Um motorista que atende uma chamada no celular \'e levado \`a desaten\c{c}\~ao, aumentando a possibilidade de
acidentes ocorrerem em raz\~ao do aumento do seu tempo de rea\c{c}\~ao.
Considere dois motoristas o primeiro atento e o segundo utilizando o celular
enquanto dirige. Eles aceleram seus carros inicialmente a 1,0$\frac{m}{s^2}$.
Em resposta a um emerg\^encia freiam com uma desacelera\c{c}\~ao igual a
5,$\frac{m}{s^2}$. O motorista atento aciona o freio a velocidade de 14$\frac{m}{s}$,
enquanto o desatento, em situa\c{c}\~ao an\'aloga, leva um segundo a mais
para iniciar a frenagem.
Que dist\^ancia o motorista desatento percorre a mais do que o motorista atento, at\'e a parada total dos carros?
Fazer os c\'alculos expl\'\i citos, para chegar na resposta.
$a) 2,90m \quad b) 14,00mm \quad c) 14,05m \quad d) 15,00 \quad e) 17,04m.$
\vspace{0.5cm}
\noindent 10) (OBF2005, 1a. fase.) Deixa-se cair livremente de uma altura de 200 metros, um objeto
pesado. Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de maneira
que os tempos percorridos sejam iguais e considerando a
acelara\c{c}\~ao da gravidade igual a $10\frac{m}{s^2}$ teremos, de cima
para baixo:
\noindent a) 40m e 160m
\noindent b) 50m e 150m
\noindent c) 75m e 125m
\noindent d) 100m e 100m
\noindent e) 160 e 40m
\vspace{0.5cm}
\end{document}
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