Aula 01- Minicurso do XII FUI-Novos Potenciais Isoespectrais em Mecânica Quântica via SUSY, na UFCG, campus Cuité, nesta quarta, 13

 

  

O professor Rafael de Lima Rodrigues do curso de licenciatura em Física da Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), campus Cuité, ministrou a primeira aula 560 minicurso sobre Novos Potenciais tridimensionais isoespectrais em Mecânica Quântica  via SUSY, no XII FUI da UFCG, campus Cuité. Veremos a seguir  uma revisão de número complexo.

Ele começou falando dos cinco trabalhos de Albert Einstein, o pai da Física moderna, em 1905, realizou 5 trabalhos que revolucionou o mundo: 1) relatividade especial, 2) o movimento Browniano, 3) energia igual a massa multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz, 4) a sua tese de doutorado sobre o tamanho das moléculas e 5) o efeito fotoelétrico. Este deu o prêmio Nobel da Física de 1921, para Einstein. 

Será apresentado  um minicurso introdutório, divido em 3 partes, abordando os aspectos teóricos da mecânica quântica, sem levar em consideração a relatividade de Einstein.  Mostraremos a eficácia da técnica algébrica da SUSY para construir novos potenciais com soluções exatas da equação de Schrödinger, que governa a mecânica quântica não-relativística.

- Novos potenciais  unidimensionais Isoespectrais em Mecânica Quântica via  SUSY.
Dias: 13(das 20:10h às 22h)-Sala i5, 14(das 20:10h às 22h) e 15(das 18:10h às 20h) de setembro

Loca: Bloco i, sala 5.

 Supersimetria (SUSY) em Mecânica Quântica

A SUSY será introduzida amanhã, na segunda aula aula. 

Número Complexo

Na próxima aula explicaremos o que é uma função de onda complexa, neste caso, é preciso saber o que é um número complexo: é todo número escrito na forma algébrica ou forma cartesiana

z=x+iy, i²=-1,

com x sendo denominado de parte real Re(z)=X e Im(z)=y, a parte imaginária. O complexo conjugado de z representado por z*, é só trocar o i por -i, ou seja,

z*=x-iy.

Portanto, o módulo quadrado de z, torna-se:

|z|²=z*. z= x² +y²

Sabemos que no conjunto de números reais não existe a raiz quadrada de um número negativo. No entanto, no conjunto de número complexo existe. 

Exemplos:

A raiz quadrada de -36 é 6i. Pois, -36= (6i)².

A raiz quadrada de -64 é 8i. Pois, -64= (8i)². 

Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo.

A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polaraes (r, 𝜭). No te qiue na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:

x=rcos(𝜭), cateto adjacente

y=rsen(𝜭), cateto oposto.

Nesta caso, temos:

z=x+iy=rcos(𝜭)+irsen(𝜭)=r(cos(𝜭)+isen(𝜭))=rexp(i𝜭).

Portanto, a forma polar de um número complexo é

 

z=rexp(i𝜭), pois exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).

Exemplo: Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r

⇔ exp(i𝝅)=-1.

pois, 𝝅=180⁰  ⇔ cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0.

Resumo de Número Complexo.

Em teoria de campos a supersimetria (SUSY) é uma transformação que relaciona as partículas bosônicas e fermiônicas em um único multipleto. Em mecânica ela relaciona os estados quânticos que descreve as partículas elementares, devido a analogia com a álgebra SUSY em teoria de campos dizemos que existe uma supersimetria em mecânica quântica.

Primeira aula de MQ, 13-9-23: aspectos históricos de Dalton a Erwin Schrödinger. Revisão de Cálculo diferencial. A equação de Schrödinger dependente do tempo. A supercoordenada será visto na terceira aula.

No final do século XIX Tompson descobriu os elétrons, mostrando que o átomo era divísivel e o modelo de Dalton do átomo indivisível, de 1803,  foi por água abaixo.  A radiação do corpo Negro(explicado por Planck, em 1900, com a hipótese da quantum de radição com energia E=nh𝛎(n=0,1, 2, 3...), o efeito fotoelétrico(explicado por Einsteim em 1905), não era explcado pela Física clásscia e foi necessário a criação de um nova teoria para descrever os  fenômenos em pequena escala. Essa nova teoria é denominada de mecânica quântica.

A equação de Schrödinger dependente do tempo, tem uma derivada de segunda ordem em relação a x e  uma derivada de primeira ordem em relação ao tempo. A derivada parcial em   relação a x ocorre como a outra variável, neste caso o tempo t, como se t fosse constante.

 

 

Muitos livros-textos de Mecânica Quântica mostram como alguns problemas podem ser elegantemente resolvidos através de operadores de levantamento e abaixamento(Em teoria quântica de campos eles são análogos aos operadores de criação e destruição, que fazem parte do próprio campo). Esses operadores são encontrados fatorando a equação de Schrödinger independente do tempo, a qual é uma equação de autovalor.

H 𝝍_n=E_n 𝝍_n,                                                 n=0, 1, 2, 3, ..., 

Com 𝝍_n sendo as autofunções de energia dependendo somene da coordenada de posição𝝍=𝝍(x) e E_n os autovalores de energia.

O operador Hamiltoniano, H, é a adição do operador energia cinética com o operador energia potencial. O termo de energia potencial em mecânica quântica é denominada simplesmente de potencial, que identifica o sistema quântico em investigação.

Veja mais

Revisão de Derivada de uma função Real. 

A  energia cinética pode ser escrita em termos a velocidade v ou do momento linear p. Em MQ ela é escrita em termos de p=mv, que é representado por um operador derivada.

A mecânica quântica ondulatória não-relativística é baseada  na descrição de Schrödinger(1926).

O objetivo de Schrödinger era obter uma equação para a função de onda de matéria proposta por Louis De Broglie, em 1924,  uma função sujeita a força.  Uma proposta muito estranha para os físicos da época, pois a onda se espalha em todo o espaço e nessa formulação da  mecânica quântica ondulatória, a partícula não pode ser localizada. 

 A mecânica quântica(MQ) ondulatória baseada  na descrição de Schrödinger(1926) é não-relativística porque ele usou o conceito clássico para a energia total, como sendo a adição da energia cinética com a energia potencial. 

Schrödinger nasceu na Austria, em 1847, dominava duas línguas: alemão e inglês. Ele serviu na primeira guerra mundial depois foi trabalhar na Alemanha, em Berlin. Ele abandonou a Alemanha em 1933, devido a perseguição de Hitler aos Judeus. O seu amigo Einstein fugiu com medo das perseguições de Hitler.

A dinâmica de uma partícula no mundo microscópio não é descrita pelas Leis de Newton, que foram formuladas para sistemas físicos macroscópico, em 1667. Newton nasceu no ano em que Galileu morreu, em 1642.

Postulado No. 01 da Mecânica Quântica.

 O átomo, por exemplo, é um sistema microscópico, sendo  governado pela equação de Schrödinger(formulada em 1925 e publicada em 1926): o postulado número 1 da mecânica quântica diz que a função de onda que representa o estado quântico é solução da equação de Schrödinger.

Escrevendo a função de onda como um produto de duas funções,

𝝍(x,t)=𝝍(x)𝝍(t)

substituindo na  equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos:

A  equação de Schrödinger independente do tempo é equação de autovalor,

H𝝍(x)=E𝝍(x)

Com, 𝝍 sendo uma função de x, isto é, 𝝍=𝝍(x).

Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem na coordenada de posição.

 

H-operador Hamiltoniano definido como sendo a adição da energia cinética e a energia potencial

E-os autovaloures de energia

𝝍(x)-parte da função de onda que depende somente da coordenada de posição x. Na linguagem da álgebra linear ela é chamada de autofunção de energia, ou seja, 𝝍(x) está associada ao autovalor de energia.

Como demonstrar a equação de Schrödinger dependente do tempo? Resposta. Não existe demonstração ,atemática para uma equação fundamental.

Segue o vídeo gravado em sala de aula, no dia  25 de agosto de 2023. Iniciamos explicando o que é uma equação de autovalor, visto na disciplina de álgebra linear, em matemática.

Com o modelo atômico da equipe de Rutherford, proposto em 1911, do elétron na eletrosfera e a partícula com carga positiva  no núcleo do átomo de hidrogênio, a Física quântica  não conseguia avançar porque o elétron ao radiar iria perder energia e colapsar no núcleo, devido a atração eletromagnética.  Em 1911, ainda não er conhecido que a partícula com carga positiva  no núcleo do átomo de hidrogênio era o próton.

Em 1913, Bohr resolveu esta questão, propondo um modelo atômico  dizendo que o elétron girava em torno do núcleo em órbitas estacionárias, tendo níveis de energia bem definido e o momento angular quantizado. Esse modelo servia muito bem para o  átomo de hidrogênio, que possui somente um próton e um elétron. 

Em 1919, Rutherford descobriu o  próton. O nêutron foi descoberto em 1932 por Chadwick.

A equação de Schrödinger é mais geral do que as equções de Bhor e Einstein, ela pode ser aplicada para átomo com mais de um elétron. Mas,  Bohr  e o seu amigo Einstein não aceitavam a  interpretação da solução ser uma amplitude de probabilidade. Há outras interpretações da MQ, que não será discutida aqui. Iremos adotar a interpretação da MQ do grupo de pesquisadores de Copenhague, que é estudado em mais detalhes na disciplina de mecânica quântica I do curso de Licenciatura em Física.

- Interpretação Probabilística de Max Born(1927, físico Alemão), um dos defensores da interpretação de Copenhague: proposta ortodoxo da MQ em resposta a pergunta  ao se fazer uma medida de onde está a partícula? A  solução da equação de  Schrödinger (1926), 𝝍(x,t),  representa a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula, o seu módulo quadrado é a densidade de probabilidade em torno de um ponto. No caso unidimensional, temos: 

|𝝍(x,t)|²=𝝍(x,t)*𝝍(x,t)=𝝍(x)*𝝍(x).=|𝝍(x)|² ↭ densidade de probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx.

A MQ é um modelo propbalbilístico. A gente ao eftuar uma medida  encontra os valores prováveis da energia, da posição, velocidade, momento linear(p=mv), etc.

P(x)dx= |𝝍(x,t)|²dx 

Como a  densidade de probabilidade não depende do tempo, |𝝍(x,t)|²=|𝝍(x)|²

dizemos que o estado quântico é estacionário.

𝝍(x,t)- função de onda complexa.

Nessa interpretação do grupo de pesquisadores de Copenhague não intessa saber onde estava a pratícula antes de ser efetuado uma medida de sua posição.

Pincípio da superposição em MQ

Como todas esquações diferenciais lineares de segunda ordem admite duas soluções linearmente independentes e uma combinação linear de ambas é também solução. Então, podemos afirmar que se 

     𝝍₁ e 𝝍₂   são soluções da equação de  Schrödinger, então uma combinação linear das duas  soluções     𝝍 = c₁ 𝝍₁ +  c₂𝝍₂   

é também outra solução, representando outro estado quântico.

Toda informação a cerca de uma partícula microscópica está na função de onda, solução da equação de  Schrödinger.

 

Sabemos que em estatística de uma variável aleatória continua,  a integral da densidade de probabilidade é a probabilidade. Portanto, em MQ, ao se fazer uma medida,  a probabilidade  de encontrar a partícula em torno de um ponto é dada pela integral do módulo quadrado da solução da equação de  Schrödinger.  

Existe outras interpretações da MQ, mas esta do grupo de pesquisadores de Copenhague continua sendo a mais adotada nos livros-textos de MQ porque ela continua fornecendo resultados compatíveis com as experiências. Graça a mecânica quântica temos um avanço da tecnologia com aplicações em diversas áreas, como em  medicina, metrologia quântica,  computação,   informação via satélites,  entre outras. A MQ  possibilitou a explicação do funcionamento do laser, ressonância magnética, as lâmpadas de LED, smartphones,  entre outras tecnologias do mundo contemporâneo.

O pai da Física moderna, Albert Einstein, apesar de ter ganho o prêmio Nobel da Física em 1921, devido ao seu modelo quântico da luz, proposto em 1905,  como sendo composta de partícula(fóton de massa nula e spin, s=1) para explicar o efeito fotoelétrico,  não aceitou essa interpretação probabilística da MQ. O spin do elétron, próton e o nêutron é s=1/2.

Bohr conseguiu apoio do governo dinamarquês para construir o primeiro instituto de pesquisa de Física quântica, inaugurado em 1922, recebendo nesse ano  o prêmio Nobel da Física.

  Devido a interpretação probabilística da MQ, Einstein, apesar de ser muito amigo e admirador de Bohr,  passou a ser um opositor ao grupo de pesquisadores de Copenhague, na Dinamarca, que frequentava no instituto de pesquisa construído por Bohr, tendo participado de diversos debates durante as palestras apresentadas pelos cientistas convidados por Bohr. Ele registrou uma frase célebre: Deus não joga dados, querendo dizer que a Natureza não aceita modelo probabilístico. O jornal New York times dos EUA divulgou na capa, que Einstein  estava atacando a MQ.

Resolvendo a  equação de  Schrödinger, obtemos os níveis de energia do modelo determinístico proposto por Bohr, em 1913, para o átomo de hidrogênio, baseado na quantização do momento angular(L=nħ, n=1, 2, 3, ...) Aqui h cortado é definido por ħ=h/2π, sendo a constante de Planck, ou seja, 

h=6,626x10^-27erg.s(unidade de energia (erg) multiplicada pela unidade de tempo (s). A diferença da energia entre dois níveis de energia do elétron, sendo igual a constante de Planck multiplicado pela frequência, quando ele passava de um nível para o outro. Quando absorve energia o elétron passará para um nível superior. Quando ele decai para um nível inferior emite um fóton e por isso a gente diz que o átomo emite uma radiação na emissão espontânea.

Portanto, iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞ a +∞ é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade. Esta é a condição de normalização. 

- Função de Onda: considerando o caso  unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de  Schrödinger fisicamente aceitável de quadrado integrável.  A Função de Onda é univoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de  Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.

- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela  função dependente da coordenada de posição.

Veja o vídeo da live do professor Rafael, durante a aula da disciplina de mecânica quântica I, período 2023.1, sendo que a internet caiu e ficou somente a introdução.

O monitor Davi Santos colhendo as assinaturas.

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