Aula 18- Física Geral e Experimental I-Projeto VII: período do oscilador massa-mola, ministrada por professor Rafael

Nesta quarta-feira, 27, às 20h, dando continuidade as aulas de Física do professor Rafael, teremos a aula 18 da disciplina de Física Geral e Experimental I  e instrumentação I(28-9-23), sobre a determinação do período do oscilador harmônico simples e energia mecânica elástica, disponíveis no portal de notícias rafaelrag, blog ciências e educação. Professor Rafael Rodrigues(UFCG, campus Cuité). Veremos mais detalhes sobre os dois sistemas periódicos executando pequenas oscilações: o pêndulo simples e o oscilador massa-mola.

Segue, em Latex,  no final desta aula a Lista VII e o  projeto VII para construir um kit do oscilador massa-mola e medir o perído de oscilação.

Veja mais 

Você utilizará 4 massas diferentes para obter 4 constantes elásticas diferentes. A massa m que entra na equação do período pode ser qualquer uma que você escolher, podendo ser qualquer uma que deve ser colocada no porta-massa.

Coordenada de posição, velocidade e aceleração:

Exercícios

1) Usando  a equação da energia potencial elástica de um oscilador massa-mola, determine a massa m de um bloco  preso na extremidade de uma mola, tendo uma constante elástica de 40N/m, oscilando em uma mesa lisa (sem atrito).   A velocidade máxima  do movimento é de 1m/s e a amplitude sendo  8cm.

Solução

Massa: m=?  Constante elástica: k=40N/m. Velocidade máxima v=1m/s. A=8cm=(8/100)m.

Usando a lei de conservação da energia mecânica, quando o carrinho estiver em x=4cm=0,04m temos somente a energia potencial elástica (E_pe) e a energia cinética máxima (E_c) ocorre em x=0. Portanto,   E_c=1/2(mv²)=E_pe =1/2(kA²), ou seja,  mv² = kA²  

   mx1² = 40 x0,08^{2          ------------}          m=40 x(8/100)²      

Logo, obtemos m= 8x32/1000=256/1000, ou seja, m=0, 256kgkg.

Segue a lista de exercícios propostos.  Lista VIIB

\documentclass[preprint,aps]{revtex4}

\begin{document}

\centerline{  \bf    Física Geral e Experimental  I-UAFM-CES-UFCG-Lista VIIB VIIB-Oscila\c{c}\~oes}

\noindent{Professor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill  PER\'IODO 2023.1}

\noindent{Aluno(a): \hrulefill Aten\c{c}\~ao!

{\bf Boa Sorte.} 27-09-23

}

\vspace{0,5cm}

\noindent 1) Lei de Hooke. As for\c{c}as deformantes s\~ao proporcionais \`as deforma\c{c}\~oes

el\'asticas produzidas.

Voc\^es j\'a viram na aula remota da disciplina de intro\c{c}\~ao F\'\i ca

 como medir o  per\'\i odo do oscilador

massa-mola, para uma mola com uma extremidade fixa na vertical e uma massa

$m$ na outra extremidade. Um segundo sistema com

duas molas, sendo o sistema anteriror com a outra extremidade ligado

na massa uma outra mola 

em uma base na mesa. a) H\'a diferen\c{c}a na equa\c{c}\~ao do per\'\i odo de oscila\c{c}\~ao

dos respectivos osciladores? Justifique a sua resposta. 

b) Qual dos dois osciladores se aproxima do movimento harm\^onico simples?

Justifique a sua resposta.

\vspace{0.5cm}

\noindent 2) Uma mola ideal sem massa, com constante el\'astica $k,$ pode ser comprimida

$1,0m$ por uma for\c{c}a de $100N.$ Esta mola \'e colocada na base

de um plano inclinado sem atrito, que forma um \^angulo $\theta=

30^o$ com a horizontal. Um corpo de massa $M=10kg$ \'e liberada do alto

do plano e p\'ara momentaneamente ap\'os comprimir a mola $2,0m.$

(a) Qual a dist\^ancia percorrida pelo corpo? (b) Qual a velocidade

do corpo no momento em que atinge a mola?

\vspace{0.5cm}

\centerline{Solu\c{c}\~ao}

%\begin{figure}[h]

%\centering\epsfig{file=fte1-mec.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}

%\end{figure}

Calculando a constante el\'astica, $k,$ temos:

$$

F= kx \Rightarrow 100N= k(1,0m) \Rightarrow k= 10N/m.

$$

A energia potencial gravitacional, $E_{pg}= mgy$ \'e nula em $y=0$ (ponto

de refer\~encia).

A energia potencial el\'astica, isto \'e, a energia potencial da mola,

$E_{pe}= \frac 12 kx^2.$

\noindent a) Usando o conceito de conserva\c{c}\~ao da energia mec\^anica em

$y=0$ e $y= h,$ obtemos:

$$

E_{Mi}=E_{Mi}\Rightarrow E_{pgi}+E_{pei}+E_{ci}= E_{pf} + E_{pef}+E_{cf}.

$$

De acordo com os dados, temos: $E_{pei}=E_{ci}=E_{pf}=E_{cf}= 0.$

$$

\Rightarrow mgh + 0 + 0= 0 + \frac 12 kx^2 + 0 \Rightarrow h=...

$$

Note que o comprimento do deslocamento $D$ \'e dado por:

$$

D= \frac{h}{cos30^o}= 2,04\hbox{x}\frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow D=...

$$

\noindent b) Usando novamente a lei de conserva\c{c}\~ao da energia mec\^anica

em $y=0$ e $z= h-xsen\theta= 2,04-2\frac 12\Rightarrow z= 1,04m,$

obtemos: $mgz= \frac 12 mv^2 \Rightarrow v=...$

\noindent c) No movimento harm\^onciao simples do oscilador massa-mola as

fun\c{c}\~oes cinem\'aticas s\~ao fun\c{c}\~oes trigronom\'etricas seno e

cosseno, justificando o termo harm\^onico. Escolhendo a fase inicial nula,

$\phi=0,$ desenhe as representa\c{c}\~oes

gr\'aficas da deforma\c{c}\~ao, velociadade e acelera\c{c}\~ao.   

\noindent 3) Um corpo de $2kg$ est\'a comprimindo de $20cm$ uma mola,

 cuja constante el\'astica da molaa \'e de $500N/m.$ O corpo \'e

liberado e a mola o projeta sobre uma superf\'\i cie horizontal sem

atrito e sobre um plano inclinado, de $45^o,$ tamb\'em sem atrito.

At\'e que altura o corpo sobe no plano inclinado e fica

momentaneamente em repouso, antes de retornar plano abaixo?

\vspace{0.5cm}

\centerline{Solu\c{c}\~ao}

A express\~ao da energia mec\^anica inicial ($E_{Mi}$) em termos da

compress\~ao da mola $x$ \'e: $E_{Mi}= \frac 12 kx^2$

e para a express\~ao da energia mec\^anica final em termos da altura

$h$ atingida pelo corpo temos? $E_{Mf}= mgh.$

Aplicando a conserva\c{c}\~ao da energia mec\^anica e resolvendo a

equa\c{c}\~ao em termos de $h,$ ou seja, 

$$

E_{Mi}=E_{Mf} \Rightarrow mgh= \frac 12 kx^2 \Rightarrow h=...

$$

\vspace{0.5 cm}

\noindent 4) { \bf Duplo Cilindro.} Considere um  duplo cilindro que executa oscila\c{c}\~oes, em MHS angular em torno do eixo, por a\c{c}\~ao de duas molas, respons\'aveis e pelo torque restaurador durante o movimento da pe\c{c}a. 

a) Prever teoricamente o comportamento do sistema durante as oscila\c{c}\~oes, ou seja, deduzir a express\~ao do per\'\i odo $T$, em fun\c{c}\~ao dos par\^ametros do sistema: momento de in\'ercia  do s\'olido, em rela\c{c}\~ao a seu eixo, $I_D$; constantes de elasticidade, $k_1$ e $k_2$, das molas; raio da circunfer\^encia do cilindro maior, por onde passa o fio que liga as molas, etc.

\noindent 5) a) O que acontece com o per\'\i odo de um p\^endulo simples,

executa pequenas oscila\c{c}\~oes, se for triplicado o seu comprimento? b)

Para adiantar um rel\'ogio de p\^endulo, um relojoeiro novato aumentou a massa

do p\^endulo. O que aconteceu com o rel\'ogio?

\noindent 6) Tem-se uma mola $M$. Mostram-se diversos sistemas massa-mola,

usando $M$ e sucessivamente v\'arios pesos de massas conhecidas $m_1, m_2, m_3, \cdots $ (em gramas), s\~ao medidas de todos os sistemas, os respectivos

per\'\i odos de oscila\c{c}\~ao vertical $T_1, T_2, T_3, \cdots$(em segundos).

Suponha que se queira determinar a constante de elasticidade $k$ de $M$.

Para tanto, utilizando os dados referidos, prop\~oe-se construir um gr\'afico

linear. Como seria esse gr\'afico? Como seria usado o mesmo gr\'afico para

extra\'\i r-se $k$?

\vspace{0.5cm}

\centerline{  \bf  FGE I e INSTRUMENTA\c{C}\~AO I-UAFM-CES-UFCG- Experi\^encia

VII}

a

\noindent{Professor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill  PER\'IODO 2023.1}

\noindent{Aluno(a): \hrulefill Aten\c{c}\~ao!

{\bf Boa Sorte.}

}

{\bf Experimento do per\'\i odo do oscilador massa-mola}

Fazer o Relat\'orio, contendo as seguintes etapas: capa, objetivos principal e espec\'\i ficos, materiais utilizados, fundamenta\c{c}~ao te\'orica, metodologia, cronograma, or\c{c}amento e refer\^encias.

Reta\'orio contendo as seguintes etapas: capa,  descri\c{c}\~ao do procedimento

experimental,

resultados, tabelas, gr\'aficos e conclus\~ao.

Objetivo principal: medir o per\'\i odo do oscilador massa-mola, executando o movimento

harm\^onico simples na vertical.

A for\c{c}a da mola, com a orienta\c{c}\~ao positiva para baixo, torna-se: $\vec F=-ky\vec j.$ 

Quando se tem o peso $\vec P=m\vec g,$ atado \`a extremidadade da mola, em equil\'\i brio,$

\mid \vec P\mid =\mid \vec F\mid . $

Considerando $y=A,$ a elonga\c{c}\~ao da mola para esse ponto, obtemos:

$

k=\frac{\mid \vec F\mid}{A}=\frac{\mid \vec P\mid}{A}.

$

Para determinar o valor da constante el\'astica da mola podemos usar o coeficiente

angular do gr\'afico de $\mid \vec P\mid$ versus $A$. Outra maneira seria

calcular 4 vezes os valores de $k_i$

$$

k_i=\frac{\mid \vec F_i\mid}{A_i}=\frac{\mid \vec P_i\mid}{A_i}=\frac{m_i}{A_i}g, \quad (i=1,

2, 3, 4).

$$

Colocando na equa\c{c}\~ao do per\'\i odo o valor da m\'edia aritm\'etica da constante el\'astica e escolher uma das massas $m=m_1$ ou $m_2$

ou $m_3$ ou $m_4$ para compor o sistema massa-mola,

$T=2\pi\sqrt{\frac mk}$, com $k=\frac{k_1+K_2+k_3+k_4}{4}.$

Usando um cron\^ometro, calcule o per\'\i odo experimental, escolhendo um

tempo e dividindo pelo n\'umero de oscila\c{c}\~oes.

\end{document}

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