Aula 03-Minicurso SUSY em Mecânica Quântica do XII FUI de Cuité-PB, ministrado pelo professor Rafael, nesta sexta, 15

 

Professor Rafael Rodrigues, na sala de aula 5 do bloco i, na UFCG, campus Cuité, nesta sexta-feira, 15. 

Nas duas primeira aulas foi visto a introdução a Mecânica  Quântica na descrição de  Schrödinger.

Graça a mecânica quântica temos um avanço da tecnologia com aplicações em diversas áreas, como em  medicina, metrologia quântica,  computação,   informação via satélites,  entre outras. A mecânica  quântica(MQ)  possibilitou a explicação do funcionamento do laser, ressonância magnética, as lâmpadas de LED, smartphones,  entre outras tecnologias do mundo contemporâneo.

O pai da Física moderna, Albert Einstein, apesar de ter ganho o prêmio Nobel da Física em 1921, devido ao seu modelo quântico da luz, proposto em 1905, como sendo composta de partícula(fóton de massa nula e spin, s=1) para explicar o efeito fotoelétrico,  não aceitou essa interpretação probabilística da MQ.

Bohr conseguiu apoio do governo dinamarquês para construir o primeiro instituto de pesquisa de Física quântica, inaugurado em 1922, recebendo nesse ano  o prêmio Nobel da Física.

Louis De Broglie(1924), em sua tese de doutorado fez a seguinte hipótese: assim como existe a dualidade da Luz é possível uma partícula se comportar como uma onda, tendo o comprimento de onda

𝛌=h/p,

com p=mv, (massa multiplicada pela velocidade) sendo o momento linear da partícula.

  Devido a interpretação probabilística da MQ, por Max Born(1927), Einstein, apesar de ser muito amigo e admirador de Bohr,  passou a ser um opositor ao grupo de pesquisadores de Copenhague, na Dinamarca, que frequentava o instituto de pesquisa construído por Bohr, tendo participado de diversos debates durante as palestras apresentadas pelos cientistas convidados por Bohr. 

Resolvendo a  equação de  Schrödinger obtemos os níveis de energia do modelo determinístico proposto por Bohr em 1913 para o átomo de hidrogênio, baseado na quantização do momento angular e a diferença da energia entre dois níveis de energia do elétron, sendo igual a constante de Planck multiplicado pela frequência, quando ele passava de um nível para o outro. Quando absorve energia o elétron passará para um nível superior. Quando ele decai para um nível inferior emite um fóton e por isso a gente diz que o átomo emite uma radiação na emissão espontânea.

Interpretação probabilística da MQ(Max Born/1927)

∫ | ѱ|²dx=probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx

Portanto, iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞ a +∞ é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade. Esta é a condição de normalização. 

- Função de Onda: considerando o caso  unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de  Schrödinger fisicamente aceitável de quadrado integrável.  A Função de Onda é única e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de  Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.

                                  Autríaco, Erwin Schrödinger.

- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela  função dependente da coordenada de posição.

ѱ(x,t)=ѱ(x)ѱ(t).

Como visto na 1a. aula, substituindo na equação de Schrödinger, obemos:

ѱ(x,t)=ѱ(x)exp(-iEt/ħ).

A equação de Schrödinger independente do tempo:

Em mecânica quântica(MQ), em geral, os operadores não comutam.    O comutador de dois operadores A e B é definido por:

[A, B]= AB-BA.

A relação de comutação canônica da MQ é o comutador entre os operadores de posição x e momento linear p=-iħd/dx,

[x, p] =iħ.

Neste caso, vemos que em MQ,  x e p não comuta, ou seja,

xp=px+iħ.

Como passar da MQ para a mecânica clássica(MC)?

Note que no limite com ħ tendendo a zero, passamos da MQ para a mecânica clássica, isto é, quando   ħ estiver tendendo zero, obtém -se: 

 px=xp.

Princípio de incerteza de Heisenberg.

Uma consequência da não comutatividade dos operadores  de posição x e momento linear é o princípio de incerteza de Heisenberg, é impossível medir simultaneamente a velocidade e posição de uma partícula subatômica.

Lembre-se que o momento Linear p é dado por:

P=mv.

Relação de incerteza de Heisenberg proposta em 1927 

Considerando Δx-incerteza na posição e Δp- a incerteza no momento linear, o produto de ambas  incertezas é uma constante.

A relação de incerteza mínima de Heisenberg, ocorre na igualdade,
ΔxΔp=ħ/2,
então, supondo que medimos a posição da partícula, a incerteza no momento linear torna-se indefinida. Pois, Δp=ħ/2Δx, e como estamos supondo que temos certeza da posição, Δx=0,  que aparece no  denominador da relação de incerteza, resulta que Δp será indefinido.

Na foto abaixo vemos a equação de Schrödinger, em 3 dimensões, que não será analisada neste mini-curso.

 

_{Níveis de Energia via Mecânica Quântica Supersimétrica}

No próximo vídeo veremos o método engenhoso de Sukumar, para obter as autofunções e autovalores de energia de um sistema quântico para qualquer potencial unidimensional.

A álgebra da SUSY em MQ é uma álgebra graduada de Lie. Mas, nem toda álgebra Lie é uma álgebra SUSY.

 Mostramos a representação das supercargas, geradora Q da  álgebra SUSY, em termos de operadores diferencial de primeira ordem, mutuamente adjuntos,   propostos por Witten(1981), para obter o operador hamiltoniano da mecânica quântica não-relativística. O superpotencial f é uma função da coordenada de posição, f= f(x) e, em homenagem a Witten, escrevemos f=W(x).

 

Parte I. Equação de Schrödinger (1926) independente do tempo e a interpretação probabilística de Max Born(1927).

Veja mais

Representação das supercargas, geradora da  álgebra SUSY. 

Parte II. Construímos uma hierarquia de hamiltoniano SUSY. 

Parte III

SUSY e o Método de Fatoração em Mecânica quântica, para  o oscilador harmônico simples.

  

O destaque será para os postulados da MQ: representação de estado quântico, princípio da superposição e valores esperados de operadores hermitianos. Consideraremos  as variáveis dinâmicas sendo representadas por operadores Hermitianos. Estes possuem autovalores reais.

Será introduzido a notação de Bra < a| e  Ket |a> de Dirac.

Equação de Autovalor para o operador Hermitiano A.

A|a>=a|a>

Com "a" sendo os autovalores.

 A função de onda na descrição de Schrödinger da MQ: 

ѱ_n(x) =<n|x>

Notação: ѱ_n, significa que a letra n é um índice inferior. 

Será resolvido a equação de Schrödinger independente do tempo

Hѱ_n(x)=E_nѱ_n(x),

com H sendo o operador do oscilador harmônico simples, deduzindo os n-ésimos estado excitados, usando o método de fatoração em MQ.

EDO do oscilador harmônico simples  clássico

Veja a aula do professor Rafael Rodrigues, demonstrando a equação horária do  oscilador harmônico unidimensional do sistema massa-mola, executando oscilações harmônicas simples (OHS).

Veja como determinar o período do OHS e medir o mesmo experimentalmente  desprezando o atrito.  

O sistema OHS é caracterizado pela seguinte equação da aceleração:

a_x = -ωx^{2 ,}

ω é a frequência angular. Resolvendo esta EDO, obtemos a equação horária do OHS:

x(t) =Acos(ωt+𝞅),

com 𝞅 sendo a constante de fase e A a amplitude de oscilação. No vídeo tem a explicação da resolução da EDO.

Lei de Hooke: força restauradora da mola

F=kx
com ω sendo a frequência angular.

Veja neste vídeo, vemos os estudantes da disciplina de Física II, UFCG-Cuité, fazendo demonstração de alguns Kits construído por eles com a ajuda do professor Rafael Rodrigues. O conteúdo desta disciplina do curso de Física do Centro de Educação e Saúde (CES) da UFCG, campus Cuité, é comum para os cursos de Física, Química, Matemática e Engenharia. Solução da equação diferencial ordinária (EDO) do Oscilador Harmônico Simples.

  

Esta parte de uma aula sobre o  sistema massa-mola, do ponto de vista clássico, más útil também, para a disciplina de mecânica quântica. 

Link para ver o vídeo e a lista de exercícios sobre o oscilador harmônico forçado. 

https://rafaelrag.blogspot.com/2018/05/edo-para-o-oscilador-harmonico-forcado.html

SUSY em Mecânica Quântica

Gravada no IQUANTA da UFCG, campus sede: as partículas fermiônicas tem spin fracionário e as partículas bosônicas tem spin inteiro.

O vídeo dessa palestra foi dividido em 3 partes e estão  disponíveis no Youtube, o link  dele será colocado aqui.  Mostramos a representação das supercargas, Q,  geradora da  álgebra SUSY, em termos de operadores diferencial de primeira ordem, mutuamente adjuntos,   propostos por Witten(1981), para obter o operador hamiltoniano da mecânica quântica não-relativística. O superpotencial é uma função da coordenada de posição, f(x) e, em homenagem a Witten, escrevemos f=W(x).

 

Parte I  Equação de Schrödinger (1926) independente do tempo e a interpretação probabilística de Max Born(1927).

Veja os vídeos

Parte II

Parte III

SUSY e o Método de Fatoração em Mecânica quântica, para  o oscilador harmônico simples.  O operador hamiltoniano H é escrito em termos dos operadores escada de levantamento e abaixamento dos níveis de energia, resultando no operador de número N, adicionado do autovalor de energia do estado fundamental, E⁽⁰⁾, ou seja: 

H =(1/2m)p²+V(x)=N+E⁽⁰⁾ 

NΨ⁽ⁿ⁾=nΨ⁽ⁿ⁾

Com, n=0, 1 , 2, ...

O potencial do oscilador harmônico simples é dado por uma função do segundo grau, na coordenada de posição:

V(x)=(1/2)mω²x²

Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-nésimos estados excitados:

HΨ⁽ⁿ⁾=E⁽ⁿ⁾Ψ⁽ⁿ⁾   

Neste caso do oscilador harmônico, a fatoração do hamiltoniano que aparece no  setor bosônico do hamiltoniano SUSY, o termo cinético torna-se um operador com derivada de segunda ordem:

W(x) é denominado de superpotencial porque no Hamiltoniano supersimétrico, na forma matricial, aparece dois termos de interação (W²) de bóson (W)  com bóson e bóson (W) com férmion (matriz diagonal de Pauli 𝞂_3). Veja a última linha da foto da aula de hoje.

 

SUSY e o Método de Fatoração em Mecânica quântica. Sukumar(1985) demonstrou que operador hamiltoniano H para o potencial V(x) é escrito em termos do produto de  dois operadores diferenciais de 1a. ordem mutuamente adjuntos, A^{(+) e} A^(-) adicionado do autovalor de energia do estado fundamental, E⁽⁰⁾, ou seja: 

H =(1/2m)p²+V(x)=A⁽⁺⁾A^(-)+E⁽⁰⁾ ,

com o adjunto de A⁽⁺⁾  é  igual a A^(-) e vice-versa.

O operador momento linear é hermiteano, isto é, o adjunto dele é ele mesmo. O adjunto de um operador é indicado por uma cruz, em cima da letra.  Portanto, o adjunto da derivada é a derivada negativa. Veja também que a condição de aniquilação 

A^(-)Ψ⁽⁰⁾=0 

fornece a aultofunção do estado fundamental para qualquer potencial V(x), em termos do superpotencial W(x), ou seja,

Ψ⁽⁰⁾=Cexp(∫W(x)dx).

Neste caso, vemos que a equação de  Schrödinger independente do tempo, 

HΨ⁽⁰⁾=E⁽⁰⁾Ψ⁽⁰⁾   

sendo uma  EDO de 2a. ordem foi reduzida a uma EDO de 1a. ordem, que é exatamente a condição de aniquilação. Veja a foto da aula de hoje, com o professor Rafael fazendo a demonstração do teorema de Sukumar (1985). 

OSCILADOR SUPERSIMÉTRICO

SUSY e o Método de Fatoração em Mecânica quântica, para  o oscilador harmônico simples.  O operador hamiltoniano H é escrito em termos dos operadores escada de levantamento e abaixamento dos níveis de energia, resultando no operador de número N, adicionado do autovalor de energia do estado fundamental, 

E⁽⁰⁾ = ħω/2, 

ou seja: 

H =(1/2m)p²+V(x)=ħωa⁽⁺⁾a^(-)+ħω/2 

NΨ⁽ⁿ⁾=nΨ⁽ⁿ⁾

Com, N=a⁽⁺⁾a^(-)    e n=0, 1 , 2, ...

O potencial do oscilador harmônico simples é dado por uma função do segundo grau, na coordenada de posição:

V(x)=(1/2)mω²x²

Álgebra de Heisenberg 

Na  álgebra de Heisenberg, o operador Hamiltoniano é definido como um anti-comutador dos operadores escadas do OHS e dois comutadores:

H={ a⁽⁺⁾, a^(-)}/2=(  a⁽⁺⁾a^(-) + a^(-)a⁽⁺⁾)/2

[H, a^(-)]= - ħωa^(-)

[H, a⁽⁺⁾]=  ħ ω a⁽⁺⁾ 

Notação: comutador é [A, B]=AB-BA e o anticomutador é {A, B}=AB+BA.

Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-nésimos estados excitados:

HΨ⁽ⁿ⁾=E⁽ⁿ⁾Ψ⁽ⁿ⁾   

No caso do oscilador harmônico, a fatoração do hamiltoniano que aparece no  setor bosônico do hamiltoniano SUSY, torna-se:

Usando a álgebra de Heisenberg, obtemos os autovalores de energia:

[H, a^(-)n]= - nħ ωa^(-)

[H, a⁽⁺⁾ⁿ]=  nħ ω a⁽⁺⁾ 

Isso garante que os operadores escadas fornecem as autofunções e os autovalores de energia do OHS.

Ψ⁽ⁿ⁾  =C a⁽⁺⁾ⁿ Ψ^(o)

e a energia quantizada(discretizada),  

E⁽ⁿ⁾=(n+1/2)ħ ω.

Com n=0, 1 , 2, ...

Isso significa que não existem valores permitidos para a energia entre um nível e outro.

1o. estado excitado: n=1, então,  

E⁽¹⁾=(1+1/2)ħω = 3ħ  ω/2

2o. estado excitado: n=2, então,

  E⁽²⁾=(2+1/2)ħω = 5ħω/2

3o. estado excitado: n=3, então,  

E⁽³⁾=(3+1/2)ħ.ω   = 7ħ.ω /2

Neste caso do oscilador harmônico, a fatoração do hamiltoniano que aparece no  setor bosônico do hamiltoniano SUSY,  as autofunções e os autovalores de energia são construídos elegantemente, através da cinemática dos operadores, sem termos que resolver a EDO de segunda ordem.

O superpotencial do  oscilador harmônico simples, que satisfaz a equação diferencial de primeira ordem não-linear, denominada de equação de Ricatti, é dado por

W(x)=-⍵x.

Ψ⁽⁰⁾=Cexp(-∫⍵xdx)=Cexp(-⍵∫xdx)=Cexp(-⍵x²/2)

Estou usando a seguinte notação para a exponencial de x:

 

exp(x)=e^x

Novos Potenciais em MQ via SUSY

UAFM-CES-UFCG-CUITE-  SUSY em Mecânica Quântica-Lista de Exercícios 

 Professor: Rafael de Lima Rodrigues. 

Aluno(a): __________________________________________15-09-2023. 

Período 2023.1                                                                             Boa Sorte. 

1) Vimos nas aulas remotas os operadores escadas do espectro de energia do oscilador harmônico bosônico, definidos como sendo uma combinação linear dos operadores de posição que satisfazem relação de comutação canônica

[x, p]=i. ħ ,         ħ=h/2𝜋. 

Com h sendo a constante de Planck.

Mostre que os operadores de levantamento e abaixamento satisfazem a  álgebra de Heisenberg: devemos mostrar que os operadores escadas 

2) Usando o operador de Número e a equação de Schrödinger independente do tempo, deduza os autovalores de energia do oscilador bosônico:

3) Mostre que os autovalores do hamiltoniano fermiônico são zero ou um.

4) Aplciação para o ocilador supersimétrico unidimentioal. Usando a álgebra SUSY mostre que o hamiltonioano do oscilador supersimétrico torna-se o seguinte operador hamiltoniano matricial 2x2 tipo Schrödinger:

5) Mostre que o operador Hamiltoniano SUSY do oscilador harmônico é a soma dos hamiltonianos bosônico e fermiônico .

7) Métodos SUSY em termos do superpotencial W(x). Dados os operadores diferenciais de primeira ordem, mutuamente adjuntos,

Mostre as seguintes relações entrelaçadas das autofunções dos companheiros spersimétricos  H_ e H+:

8) Aplicando a álgebra de Heisenberg, obtemos:

Deduza as funções de onda para o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador bosônico.

9) Deduzir os níveis de energia do oscilador SUSY.

10) Escrever uma representação das supercargas da álgebra SUSY e deduzir o operador Hamiltoniano supersimétrico em termos do superpotencial.

Matérias relacionadas.

Divulgação da SBF

http://www1.fisica.org.br/anuncios/index.php/anuncios/eventos/5031-mini-curso-sobre-supersimetria-em-meanica-quantica

Novos potenciais isoespectrais via a supersimetria em mecânica quântica, ministrado pelo professor Rafael em uma escola de inverno do CBPF. 

 http://cbpfindex.cbpf.br/publication_pdfs/mo00204.2011_01_19_11_23_13.pdf

Veja a explicação dessa monografia, na semana de Física do CFP, em Cajazeiras,

https://rafaelrag.blogspot.com/2019/11/professor-rafael-ministra-mini-curso.html

THE QUANTUM MECHANICS SUSY ALGEBRA: AN INTRODUCTORY REVIEW por  R. de Lima Rodrigues, 

https://arxiv.org/pdf/hep-th/0205017.pdf

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