Aula 13- Física Geral e Experimental I, Teorema Torque-Momento Angular, professor Rafael, nesta quarta, 6

 

O professor Rafael Rodrigues está recebendo os relatórios e as listas de exercícios dos estudantes dos cursos de matemática e química da disciplina de Física Geral e Experimental I da UFCG, campus Cuité-PB. Os resumos das aulas comdefincições, equações e exemplos,  serão corrigidos na sala de aula.

Torque    

O torque, 𝛕, devido a uma força aplicada paara fazer o sistema rodar,  é definido pelo produto vetorial do vetor posição com uma  força externa. O vetor posição  tem origem no eixo de rotação e a extremidade no ponto de aplicação da força externa.  O módulo do vetor torque 𝛕 é dado por:

|𝛕|=|r||F|sen(𝛉),

com 𝛉 sendo o ângulo entre os vetores r e F.  Ambos os vetores são perpendicaulares ao torque. A direção do torque é dada pela regra da mão direita. Agora, podemos dizer quando o torque assumir um valor máximo(𝛕_max).

Se 𝛉=π/2⇔sen(π/2)=1, então, |𝛕_max|=|r||F|.

Note que se a força externa F for aplicada na mesma direção do vetor posição, o torque será nulo. De fato, da definição, obtemos:

Se 𝛉=0⇔sen(0)=0, então, |𝛕|=|r||F|sen(0)=0.

Isso acontece quando você está tirando a roda de um carro, usando a chave de roda e você aplica uma força externa na direção da chave, o torque será nulo e o parafuso continuará apertando a roda.

Se a força aplicada na particula estiver  no plano xy, o momento torque terá somente uma componente e estará na direção do eixo z.

O torque pode ser escrito em termos do momento de inércia I, ou seja, 

 𝛕=I⍺, 

com ⍺ sendo a aceleração angular, igual a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, isto é, 

⍺=d⍵/dt . 

No ensino médio, escrevemos a aceleração média, em termos da variação: 

⍺=Δ⍵/Δt

  

O momento angular fornece o momento linear, em um movimento de rotação, ou seja, 

p=mv 

é o momento linear. Sendo m a massa e v o vetor velocidade linear. 

O momento angular é o produto vetorial entre o  vetor posição e o vetor momento linear.  Portanto, o módulo do vetor momento angular  L, pode ser escrito como: 

|L|=|r||p|sen(𝛉), 

com 𝛉 sendo o ângulo entre os vetores r e p.  A direção do momento angular é dada pela regra da mão direita.

Agora, podemos dizer quando o momento angular assumir um valor máximo(L_max).

Se 𝛉=π/2⇔sen(π/2)=1, então, |L_max|=|r||P|.

Note que se o momento linear  P estiver  na mesma direção do vetor posição, o momento angular será nulo. De fato, da definição, obtemos:

Se 𝛉=0⇔sen(0)=0, então, |L|=|r||L|sen(0)=0.

Se a particula estiver com o momento linear no plano xy, o momento angular terá somente uma componente e estará na direção do eixo z.

Momento Angular de um Corpo Rígio

Considere um corpo rígido girando em torno do eixo z com uma velocidade angular  𝞈. Agora vamos  calcular o momento angular, dividindo o corpo rígido em pequenos volumes Δv_i com massa Δm_i localizada pelo vetor posição r_i , com o vetor momento linear P_i, neste caso, temos:

|L_i|=|r_i||p_i|sen(𝛉_i).

Com 𝛉_i  sendo o ângulo entre o vetor posição r_i  e o  eixo de rotação e  P_i  é o vetor momento linear da i-ésima  massa Δm_i. Note que 

 𝛉_i= π/2. Como  P_i= Δm_i v_i  é tangente ao movimento circular, por sua vez, ele é perpedicular ao vetor posição r_i . Portanto, 

|L_i|=|r_i||p_i|=|r_i| Δm_i v_i.

 Considerando o caso do  momento angular parleo ao eixo de rotação,  ele pode ser escrito em termos do momento de inércia multiplcado pela velocidade angular 𝞈.

L=I 𝞈.

Estamos consereando o caso em que o momento de inércia é um escalar.

O momento de inércia de uma barra fina com massa M e comprimento L, em relação a um eixo perpendicular a barra, torna-se 

I=ML²/12.

Momento de inércia de um anel de massa M, em relação a um eixo que passa por um certo ponto, I=MR²/2, com R sendo  o raio. 

Se for em relação à um eixo que passa perpendicular ao centro do anel, 

I=MR².

Enquanto a velocidade linear é diferente para diferentes pedaços de um corpo rígido, a velocidade angular é sempre a mesma. 

O teorema do torque e o momento Angular mostra que o torque é uma medida da taxa de variação no tempo do momento angular, ou seja,

𝛕=dL/dt.

Neste caso, se 𝛕=0⇔dL/dt=0, então a condição necessária e suficiente para o momento angular se conservar é o troque ser nulo. Esta é a lei de conservação do momento angular.

Momento angular na prática. Quando você está em uma cadeira giratória, jogando pião ou em uma bicicleta. Quanto maior a velocidade maior o momento angular e mais fácil de você equilibrar em uma bicicleta. 

Segue um vídeo sobre as leis de conservação das grandezas Físicas Vetoriais Torque e momento angular em 3 dimensões. Ambos vetores são devidos ao movimento de rotação em torno de um eixo pou de um porto.  

Veja o vídeo.

https://youtu.be/znV3K_IVwo

Veja mais

Segue uma questão do PSS 2000 da UFPB sobre aplicação do Torque.

Solução.

Iniciamos colocando as forças que atuam na tábua, o peso, as forças de normais, devido ao contato na parede(Força vertical) e no pino (Força horizontal).

Para calcular a força de atrito usaremos a segunda lei de Newton e o torque total nulo, em relação a um eixo que passa pelo pé da escada. Devemos levar em conta o torque da força peso e o torque devido a força horizontal. Veja como determinar o torque total nulo a partir do diagrama de força.

Aceleração da gravidade próxima da superfície da terra.

Como a tábua está em repouso, sua aceleração é nula e, de acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante será nula. No piso tem a força de reação vertical, F_v, no pé da tábua e a força de atrito na direção horizontal, F_a,  apontando no sentido da orientação positiva.

Portanto, considerando as forças na horizontal e vertical, obtemos: F_v-P=0, isto é, F_v=P=mg=16x10N=160N, isto é, F_v=160N. 
F_a -F_h=0, isto é, F_a=F_h. Para encontrar a foça horizontal, F_h, utilizaremos o conceito de torque total em torno de um eixo passando pelo pé da tábua.

Torque nulo, fornece a força horizontal, ou seja, como todas as unidade estão no SI, basta substituir somente os números, na equação do torque total nulo, neste caso, obtemos: 

160x0,6x2-4F_hx0,8=0. 

Portanto, dividindo por 2, obtemos:
160x0,6=2x0,8F_h,
ou,

F_h=(160x0,6)/2x0,8=(160x0,6)/1,6=100x0,6=60, 

colocando a unidade de força no SI, obtemos: 

F_a=F_h=60N.

Blog rafaelrag