As propriedades de eventos são as mesmas de conjuntos de elementos, sob as operações de união, interseção e complementação.
Na aula de hoje vamos explicar os significados da esperança matemática em estatística de uma variável aleatória discreta Xi.
Uma variável aleatória discreta é aquela em que o seu contra-domínio é representado por um conjunto real enumerável, seja finito ou infinito. Exemplo: Tiro ao alvo, para saber o número de pontos que acertou no alvo.
A probabilidade permite calcularmos a chance de cada resultado possível ao realizarmos um experimento aleatório.
A probabilidade de uma certa propriedade ocorrer tendo como resultado de um evento com uma certa propriedade i, representada por probabilidade Pi , a qual é definida pela seguinte fração,
a) Qual a probabilidade de você pegar um gato aleatoriamente e encontrar o gato de 25 dentes?
Solução.
b) Se todos os gatos dentro da caixa estão vivos, qual a probabilidade de encontrar um gato morto?
Na próxima aula iremos ver a função distribuição de portabilidade, esperança matemática, variância, mediana e desvio padrão.
Função de probabilidade de uma VAD.
p(xi) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
Seja X uma VAD tal que X={x1, x2...., xn.....}.
A função P(xi)=P[X=xi] denomina-se função de
probabilidade no ponto xi, a qual associa a cada valor da variável
aleatória um número real no intervalo [0,1] tal que
p(xi) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
∑i^nP(xi)=1.
(Condição de Normalização)
Distribuição de probabilidade.
A distribuição de probabilidade é o conjunto formado ou
representado pelos valores que a variável aleatória (VA) X pode tomar e suas respectivas probabilidades.
Função de distribuição acumulada para
uma variável aleatória discreta(VAD).
A função de distribuição acumulada para uma VAD é a
função que dá o valor da probabilidade para n valores da
variável aleatória tal que
F(x)=∑i{xi≤ xn}P[X=xi]
ou seja,
F(x1)=P(x1)+P(x2)+....+P(xn) ⇔ 0 ≤ F(x)≤ 1.
Ex 1: Considere o espaço amostral associado ao experimento que consta do
lançamento de três moedas e observações de suas faces.
Seja X a VA que representa o número de caras obtidos. Pede-se:
a) O espaço amostral associado ao experimento;
b) A probabilidade em cada ponto de X;
c) A distribuição de probabilidade;
d) A distribuição de probabilidade acumulada de variável.
Solução
Seja: C-coroa e c-cara.
a) Espaço amostral: S={ccc, ccC,cCc, Ccc, CCc, CcC, cCC, CCC},
ou seja,
S={s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8 };
Com,
s1=ccc, s2=ccC, s3=cCc, s4=Ccc, s5= CCc, s6=CcC, s7=cCC, s8=CCC
b)s4=X(s1)=3,
x3=X(s2)=X(s3)=X(s4)=2,
x2=X(s5)=X(s6)=X(s7)=1,
x1=X(s8)=0.
⇔ X={0,1,2,3}.
As respostas das letras b), c) e d) ficaram para você completar.
Ex 2: Seja X uma VAD definida pela função:
P[X=t]=1/{2^t}, t=1,2,...
a) Construa a distribuição de probabilidade da variável e
verifique se P[X=t] é uma função de probabilidade.
b) Calcule P[X menor do que 3]; P[X ser par]; P[X ser múltiplo de 3].
c) Construa a forma explícita distribuição de probabilidade acumulada F(x).
Na sala de aula foi calculado a probabilidade de em um lançamento encontrar duas caras e uma coroa?
p(cc)=3/8.
A variável aleatória contínua, será estudado na próxima aula.
Uma VA será contínua se todos os possíveis resultados que ela
possa assumir for um intervalo ou um conjunto determinado em que o
contra-domínio da VA for sempre não enumerável.
Valor esperado de VAD é o somatório de x_i multiplicado pela probabilidade P(x_i).
E[x]=∑i xi P(xi),
com i=1, 2, 3, ..., n
Obs: O valor esperado é igual a um número real, que fica em torno do
valor mais comum.
Ex 1: Em um certo jogo a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar 100 mil
reais é 80%. Em média quanto se espera ganhar quando se arrisca
nesse jogo, se a pessoa tem 20% de chance de perder 30.000,00.
Solução.
Dados:
xi = 100.000 e P(xi)= 0.8
Como a pessoa tem 20% de chance de perder 30.000,00, neste caso temos:
P(x1)= 20%=0,2 e x2=-30.000.
⇨ E[x]=∑i xi P(xi)=x1 P(x1)+x2 P(x2)=100.000x0,8-30.000x0,2=74.000.
⇨ E[x]=74.000.
Portanto, em média se pode ganhar 74.000,00 reais.
Algumas propriedades de valor esperado de uma VA
a) A esperança matemática de uma constante é a própria
constante: E[K]=K.
b) Multiplicando-se cada um dos valores de uma VA por uma constante sua
média também ficará multiplicada pela mesma constante.
E[KX]=KE[X].
c) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores de uma VA,
sua média ficará também somada ou subtraída da própria
constante.
E[X\pm K]=E[X]\pm K.
d) A média dos desvios com relação a um valor médio
centrado é igual a zero.
e) A esperança matemática da soma ou diferença de duas VA
é igual a soma ou diferença de cada VA.
E[X +Y]=E[X] + E[Y], E[X-Y]=E[X] - E[Y].
f) A EM do produto de duas variáveis aleatórias independentes (XY)
é igual ao produto das duas EM associadas às respectivas
variáveis. (VAs mutuamente exclusivas. Se nenhuma VA
possui a mesma propriedade).
E[XY]=E[X]E[Y].
Obs: Para a VAD ou VAC se verificam as mesmas propriedades vista acima.
Na próxima aula veremos uma introdução ao cálculo diferencial e integral para podermos compreender Variância e o desvio padrão de uma VA contínua.
Função de probabilidade de uma VAD, usando o comando do Latex.
p(xi) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
\sumi^nP(xi)=1.
Seja X uma VAD tal que X={x_1,x_{2,}....,x_{n,}.....}.
A função P(x_i)=P[X=x_i] denomina-se função de
probabilidade no ponto x_i, a qual associa a cada valor da variável
aleatória um número real no intervalo [0,1] tal que
p(x_i) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
\sum_{i=1}^nP(x_i)=1.
(Condição de Normalização)
Distribuição de probabilidade.
A distribuição de probabilidade é o conjunto formado ou
representado pelos valores que a VA X pode tomar e suas respectivas
probabilidades.
Função de distribuição acumulada para
uma VAD.
A função de distribuição acumulada para uma VAD é a
função que dá o valor da probabilidade para n valores da
variável aleatória tal que
$$
F(x)=\sum_{x_i\leq x_n}P[X=x_i]
$$
ou seja,
$$
F(x_1)=P(x_1)+P(x_2)+....+P(x_n) \Rightarrow 0\leq F(x)\leq 1.
$$
Ex 1: Considere o espaço amostral associado ao experimento que consta do
lançamento de três moedas e observações de suas faces.
Seja X a VA que representa o número de caras obtidos. Pede-se:
a) O espaço amostral associado ao experimento;
b) A probabilidade em cada ponto de X;
c) A distribuição de probabilidade;
d) A distribuição de probabilidade acumulada de variável.
Solução
Seja: C-coroa e c-cara.
a) Espaço amostral: S={ccc, ccC,cCc, Ccc, CCc, CcC, cCC, CCC},
ou seja,
S={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6,s_7,s_8};
Com,
s_1=ccc, s_2=ccC, s_3=cCc, s_4=Ccc, s_5=CCc, s_6=CcC, s_7=cCC, s_8=CCC
b)x_4=X(s_1)=3,
x_3=X(s_2)=X(s_3)=X(s_4)=2,
x_2=X(s_5)=X(s_6)=X(s_7)=1,
x_1=X(s_8)=0.
⇔ X={0,1,2,3}.
As respostas das letras b), c) e d) ficaram para você completar.
Ex 2: Seja X uma VAD definida pela função:
P[X=t]=1/{2^t}, t=1,2,...
a) Construa a distribuição de probabilidade da variável e
verifique se P[X=t] é uma função de probabilidade.
b) Calcule P[X menor do que 3]; P[X ser par]; P[X ser múltiplo de 3].
c) Construa a forma explícita da distribuição de probabilidade acumulada F(x).
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