Função de probabilidade de uma VAD.
Seja X uma VAD tal que X={x_1,x_{2,}....,x_{n,}.....}.
A função P(x_i)=P[X=x_i] denomina-se função de
probalidade no ponto x_i, a qual associa a cada valor da variável
aleatória um número real no intervalo [0,1] tal que
p(x_i) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
\sum_{i=1}^nP(x_i)=1.
(Condição de Normalização)
Distribução de probabilidade.
A distribuição de probabilidade é o conjunto formado ou
representado pelos valores que a VA X pode tomar e suas respectivas
probabilidades.
Função de distribuição acumulada para
uma VAD.
A função de distribuição acumulada para uma VAD é a
função que dá o valor da probabilidade para n valores da
variável aleatória tal que F(x)=\sum_{x_i\leq x_n}P[X=$ $x_i]$ ou
seja: $F(x_1)=P(x_1)+P(x_2)+....+P(x_n) ⇔ 0\leq F(x)\leq 1.
Ex 1: Considere o espaço amostral associado ao experimento que consta do
lançamento de três moedas e observações de suas faces.
Seja X a VA que representa o número de caras obtidos. Pede-se:
a) O espao amçostral associado ao experimento;
b) A probabilidade em cada ponto de X;
c) A distribuição de probabilidade;
d)\ A distribuição de probabilidade acumulada de variável.
Solução
Seja: C-coroa e c-cara.
a) Espaço amostral: S={ccc, ccC,cCc, Ccc, CCc, CcC, cCC, CCC},
ou seja,
S={s_1,s_2,s_3,s_4,s_5,s_6,s_7,s_8};
Com,
s_1=ccc, s_2=ccC, s_3=cCc, s_4=Ccc, s_5=CCc, s_6=CcC, s_7=cCC, s_8=CCC
b)x_4=X(s_1)=3,
x_3=X(s_2)=X(s_3)=X(s_4)=2,
x_2=X(s_5)=X(s_6)=X(s_7)=1,
x_1=X(s_8)=0.
⇔ X={0,1,2,3}.
As respostas das letras b), c) e d) ficaram para você completar.
Ex 2: Seja X uma VAD definida pela função:
P[X=t]=1/{2^t}, t=1,2,...
a) Construa a distribuição de probablidade da variável e
verifique se P[X=t] é uma função de probabilidade.
b) Calcule P[X menor do que 3]; P[X ser par]; P[X ser multiplo de 3].
c) Construa a forma explícita de f(x).
Na sala de aula foi calculado a probabilidade de em um lançamento encontrar duas caras e uma coroa?
p(cc)=3/8.
Variável aleatória contínua, será estudado na próxima aula.
Uma VA será contínua se todos os possíveis resultados que ela
possa assumir for um intervalo ou um conjunto determinado em que o
contra-domínio da VA for sempre não enumerável.
Valor esperado de VAD é o somatório de x_i multiplicado pela probabilidade P(x_i).
E[X}=sum_ix_iP(x_i)
Obs: O valor esperado é igual a um número real, que fica em torno do
valor mais comum.
Ex 1: Em um certo jogo a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar 100 mil
reais é 80\%. Em média quanto se espera ganhar quando se arrisca
nesse jogo, se a pessoa tem 20% de chance de perder 30.000,00.
Solução.
E[x]=100.000x0,8-30.000x0,2=74.000.
Portanto, em média se pode ganhar 74.000,00 reais.
Algumas propriedades de valor esperado de uma VA
a) A esperança matemática de uma constante é a própria
constante: E[K]=K.
b) Multiplicando-se cada um dos valores de uma VA por uma constante sua
média também ficará multiplicada pela mesma contante.
E[KX]=KE[X].
c) Somando-se ou subtraindo-se uma contante a cada um dos valores de uma VA,
sua média ficará também somada ou subtraida á própria
constante.
E[X\pm K]=E[X]\pm K.
d) A média dos desvios com relação a um valor médio
centrado é igual a zero.
e) A esperança matemática da soma ou diferença de duas VA
é igual a soma ou diferença de cada VA.
E[X +Y]=E[X] + E[Y], E[X-Y]=E[X] - E[Y].
f) A EM do produto de duas variáveis aleatórias independentes (XY)
é igual ao produto das duas EM associadas às respectivas
variáveis. (VAs mutuamente exclusivas. Se nenhuma VA
possui a mesma propriedade).
E[XY]=E[X]E[Y].
Obs: Para a VAD ou VAC se verificam as mesmas propriedades vista acima.
Na próxima aula veremos exemplos de Variânça e desvio padrão de uma VA.
A variânça é uma medida estatística de dipersão que mede o
grau de variação entre os valores da VA e sua respectivas EM. A
variança é definido como:
𝝈^2[X]=E[(X-E[X])^2]
Uma maneira mais prática de calcular a variança é a seguinte:
𝝈^2[X]=E[(X-E[X])^2]=E[X^2-2XE[X]+(E[X])^2]
=E[X^2]-E[2XE[X]]+E[E[X]]
=E[X^2]-(E[X])^2,E[2XE[X]]=2(E[X])^2.
Portanto, a variança é a diferença entre o valor esperado do quadrado de X e o valor esperado ao quadrado.
V[X]= 𝝈^2[X]=E[X^2]-(E[X])^2.
Se a VA é discreta, a variança torna-se:
𝝈^2[X]=sum_ix_i^2P(x_i)-( sum_ix_iP(x_i)) ^2.
O desvio padrão é definido como a raiz quadrada positiva da
variança e representa o desvio (independente da unidade de medida)
entre os valores da variável aleatória e sua média.
Algumas propriedades sobre a Variânça.
1) A variânça de uma constante é nula:
V[K]=0, para K=constante.
2) Multiplicando cada valor de uma variável por uma constante, sua
variânça fica multiplicada pelo quadrado desta constante.
3) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores de uma
variável sua variânça não se altera.
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