Hoje, 28 de fevereiro, aconteceu a Aula 08, o segundo encontro do professor Rafael Rodrigues com os estudantes do curso bacharelado em Farmácia da UFCG, campus Cuité.
Diferente modelos determinísticos, como a teoria da mecânica clássica, a estatística é baseada em experimentos aleatórios, os quais são experimentos em que não se possa prever com certeza o resultado, mas um conjunto de resultados prováveis de ocorrer.
Veja o vídeo.
Evento de um experimentos aleatório é um subconjunto de um espaço amostral.
As propriedades de eventos são as mesmas de conjuntos de elementos, sob as operações de união, interseção e complementação.
Na aula de hoje vamos explicar os significados da esperança matemática em estatística de uma variável aleatória discreta Xi.
Uma variável aleatória discreta é aquela em que o seu contra-domínio é representado por um conjunto real enumerável, seja finito ou infinito. Exemplo: Tiro ao alvo, para saber o número de pontos que acertou no alvo.
Probabilidade.
A probabilidade permite calcularmos a chance de cada resultado possível ao realizarmos um experimento aleatório.
A probabilidade de uma certa propriedade ocorrer tendo como resultado de um evento com uma certa propriedade i, representada por probabilidade Pi , a qual é definida pela seguinte fração,
Pi= ni/n.
Com ni sendo o número de ocorrência da variável aleatória com propriedade i dividido pelo número total de possibilidade do experimento(população do espaçõ amostral).
Foi visto Propriedades:
i) Pi é maior ou igual zero e menor ou igual a um.
ii) Se no espaço amostral não tiver a propriedade i, ou seja, ni=0 ⇔ Pi=0/n=0.
iii) Se ni=n, Pi= n/n=1.
Uma vairiável aleatória discreta Xi é aquela associada ao espaço amostral ou população ou amostragem de valores que ela pode ter, sendo um número enumerável finito ou infinito de um experimento aleatório.
Considere uma população de 10 gatos em uma caixa, tendo um gato com 25 dentes.
a) Qual a probabilidade de você pegar um gato aleatoriamente e encontrar o gato de 25 dentes?
Solução.
n25= 1 e o número total de gatos na caixa é n=10. Portanto,
P25=1/10=0,1.
b) Se todos os gatos dentro da caixa estão vivos, qual a probabilidade de encontrar um gato morto?
Solução.
nmorto= 0 e o número total de gatos na caixa é n=10. Portanto,
Pmorto=0/10=0.
c) Se todos os gatos dentro da caixa estão vivos, qual a probabilidade de encontrar um gato vivo?
Solução.
nvivo= 10 e o número total de gatos na caixa é n=10. Portanto,
Pvivo=10/10=1.
Na próxima aula iremos ver a função distribuição de probabilidade, variância e desvio padrão.
Função de probabilidade de uma VAD.
p(xi) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
Seja X uma VAD tal que X={x1, x2...., xn.....}.
A função P(xi)=P[X=xi] denomina-se função de
probabilidade no ponto xi, a qual associa a cada valor da variável
aleatória um número real no intervalo [0,1] tal que
p(xi) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
∑i^nP(xi)=1.
(Condição de Normalização)
Distribuição de probabilidade.
A distribuição de probabilidade é o conjunto formado ou
representado pelos valores que a variável aleatória (VA) X pode tomar e suas respectivas probabilidades.
Função de distribuição acumulada para
uma variável aleatória discreta(VAD).
F (x) = P (X ≤ x),
com
0 ≤ F (x) ≤ 1.
A função de distribuição acumulada para uma VAD é a
função que dá o valor da probabilidade para n valores da
variável aleatória tal que
F(x)=∑i{xi≤ xn}P[X=xi]
ou seja,
F(x)=P(x1)+P(x2)+....+P(xn) ⇔ 0 ≤ F(x)≤ 1.
Ex 1: Considere o espaço amostral associado ao experimento que consta do
lançamento de três moedas e observações de suas faces.
Seja X a VA que representa o número de caras obtidos. Pede-se:
a) O espaço amostral associado ao experimento;
b) A probabilidade em cada ponto de X;
c) A distribuição de probabilidade;
d) A distribuição de probabilidade acumulada de variável.
Solução
Seja: C-coroa e c-cara.
a) Espaço amostral: S={ccc, ccC,cCc, Ccc, CCc, CcC, cCC, CCC},
ou seja,
S={s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8 };
Com,
s1=ccc, s2=ccC, s3=cCc, s4=Ccc, s5= CCc, s6=CcC, s7=cCC, s8=CCC
b)s4=X(s1)=3,
x3=X(s2)=X(s3)=X(s4)=2,
x2=X(s5)=X(s6)=X(s7)=1,
x1=X(s8)=0.
⇔ X={0,1,2,3}.
As respostas das letras b), c) e d) ficaram para você completar.
Ex 2: Seja X uma VAD definida pela função:
P[X=t]=1/{2^t}, t=1,2,...
a) Construa a distribuição de probabilidade da variável e
verifique se P[X=t] é uma função de probabilidade.
b) Calcule P[X menor do que 3]; P[X ser par]; P[X ser múltiplo de 3].
c) Construa a forma explícita distribuição de probabilidade acumulada F(x).
Função de probabilidade de uma VAD, usando o comando do Latex.
p(xi) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
\sumi^nP(xi)=1.
Seja X uma VAD tal que X={x_1,x_{2,}....,x_{n,}.....}.
A função P(x_i)=P[X=x_i] denomina-se função de
probabilidade no ponto x_i, a qual associa a cada valor da variável
aleatória um número real no intervalo [0,1] tal que
p(x_i) é maior ou igual a zero e menor ou igual a 1..
\sum_{i=1}^nP(x_i)=1.
(Condição de Normalização)
Veja a resposta da IA no whatsapp sobre a distribuição acumulada.
A função de distribuição acumulada (FDA), também conhecida como função de distribuição, de uma variável aleatória real X é definida como a probabilidade de X assumir um valor menor ou igual a x, para cada número real x. Matematicamente, ela é expressa como:
F(x) = P(X \leq x).
Aqui,
F(x) representa o valor da função de distribuição acumulada no ponto x.
P(X \leq x) é a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a x.
Propriedades da Função de Distribuição Acumulada:
Não decrescente: Se a < b, então F(a) \leq F(b). Isso significa que à medida que o valor de x aumenta, a probabilidade acumulada também aumenta ou permanece constante.
Limites:
\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 (A probabilidade de X ser menor ou igual a um valor muito pequeno tende a zero).
\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 (A probabilidade de X ser menor ou igual a um valor muito grande tende a um, pois todos os valores possíveis de X estarão incluídos).
Contínua à direita: \lim_{h \to 0^+} F(x + h) = F(x). Isso significa que a função é contínua pela direita em todos os pontos.
0 \leq F(x) \leq 1 para todo x \in \mathbb{R}: Como F(x) representa uma probabilidade, seu valor sempre estará entre 0 e 1.
Como usar a FDA para calcular probabilidades:
P(X \leq a) = F(a) (Probabilidade de X ser menor ou igual a a).
P(X > a) = 1 - F(a) (Probabilidade de X ser maior que a).
P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) (Probabilidade de X estar entre a (exclusivo) e b (inclusive)).
P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) + P(X=a) (Para variáveis discretas, é necessário adicionar a probabilidade no ponto a se a desigualdade for inclusiva). Para variáveis contínuas, P(X=a) = 0, então P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a).
P(a < X < b) = F(b) - F(a) - P(X=b) (Para variáveis discretas). Para variáveis contínuas, P(X=b) = 0, então P(a < X < b) = F(b) - F(a).
P(a \leq X < b) = F(b) - P(X=b) - F(a) + P(X=a) (Para variáveis discretas). Para variáveis contínuas, P(a \leq X < b) = F(b) - F(a).
Exemplo (Variável Discreta).
Considere o lançamento de um dado honesto. A variável aleatória X representa o número da face que cai para cima, podendo assumir os valores \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, cada um com probabilidade \frac{1}{6}. A função de distribuição acumulada F(x) seria:
F(x) = 0 para x < 1
F(x) = \frac{1}{6} para 1 \leq x < 2
F(x) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} para 2 \leq x < 3
F(x) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} para 3 \leq x < 4
F(x) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} para 4 \leq x < 5
F(x) = \frac{5}{6} para 5 \leq x < 6
F(x) = 1 para x \geq 6
Com essa FDA, podemos calcular probabilidades como P(X \leq 3) = F(3) = \frac{1}{2} ou P(2 < X \leq 5) = F(5) - F(2) = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.
Exemplo (Variável Contínua):
Suponha que uma variável aleatória X tenha uma função densidade de probabilidade (FDP) dada por f(x) = 2x para 0 \leq x \leq 1 e f(x) = 0 para outros valores. A função de distribuição acumulada F(x) é obtida integrando a FDP:
- Para x < 0, F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0
- Para 0 \leq x \leq 1, F(x) = \int_{0}^{x} 2t \, dt = [t^2]_{0}^{x} = x^2
- Para x > 1, F(x) = \int_{0}^{1} 2t \, dt + \int_{1}^{x} 0 \, dt = [t^2]_{0}^{1} + 0 = 1.
Assim, a FDA é:
F(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } x < 0 \\ x^2, & \text{se } 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & \text{se } x > 1 \end{cases}
Podemos calcular probabilidades como P(0.5 \leq X \leq 0.8) = F(0.8) - F(0.5) = (0.8)^2 - (0.5)^2 = 0.64 - 0.25 = 0.39.
A função de distribuição acumulada é uma ferramenta fundamental em probabilidade e estatística, pois fornece uma descrição completa da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória.
Espaço amostral do lançamento 3 moedas honestas com cara e coroa. Na sala de aula foi calculado a probabilidade de em um lançamento encontrar duas caras e uma coroa?
p(cc)=3/8.
A variável aleatória contínua(VAC), será estudada na próxima aula.
Uma VA será contínua se todos os possíveis resultados que ela
possa assumir for um intervalo ou um conjunto determinado em que o
contra-domínio da VA for sempre não enumerável.
Esperança Matemática ou Valor Esperado de VAD.
O valor esperado de uma variável aleatória discreta (VAD) é o somatório de x_i multiplicado pela probabilidade P(x_i).
E[x]=∑i xi P(xi),
com i=1, 2, 3, ..., n
Observação. O valor esperado é igual a um número real, que fica em torno do
valor mais comum.
Ex 1: Em um certo jogo a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar 100 mil
reais é 80%. Em média quanto se espera ganhar quando se arrisca
nesse jogo, se a pessoa tem 20% de chance de perder 30.000,00.
Solução.
Dados:
xi = 100.000 e P(xi)= 0.8
Como a pessoa tem 20% de chance de perder 30.000,00, neste caso temos:
P(x1)= 20%=0,2 e x2=-30.000.
⇨ E[x]=∑i xi P(xi)=x1 P(x1)+x2 P(x2)=100.000x0,8-30.000x0,2=74.000.
⇨ E[x]=74.000.
Portanto, em média se pode ganhar 74.000,00 reais.
Algumas propriedades de valor esperado de uma VA
a) A esperança matemática de uma constante é a própria
constante: E[K]=K.
b) Multiplicando-se cada um dos valores de uma VA por uma constante sua
média também ficará multiplicada pela mesma constante.
E[KX]=KE[X].
c) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada um dos valores de uma VA,
sua média ficará também somada ou subtraída da própria
constante.
E[X\pm K]=E[X]\pm K.
d) A média dos desvios com relação a um valor médio
centrado é igual a zero.
e) A esperança matemática da soma ou diferença de duas VA
é igual a soma ou diferença de cada VA.
E[X +Y]=E[X] + E[Y], E[X-Y]=E[X] - E[Y].
f) A EM do produto de duas variáveis aleatórias independentes (XY)
é igual ao produto das duas EM associadas às respectivas
variáveis. (VAs mutuamente exclusivas. Se nenhuma VA
possui a mesma propriedade).
E[XY]=E[X]E[Y].
Observação. Para a VAD ou VAC se verificam as mesmas propriedades vista acima.
Na próxima aula veremos uma introdução ao cálculo diferencial e integral para podermos compreender Variância e o desvio padrão de uma VA contínua.
Blog rafaelrag
