Como a turma do mni-curso é mista, tendo estudantes do básico e o profissional do curso de graduação em Física, faremos uma introdução aos números complexos.
Os estudantes interessado no certificado com a carga horária, devem deixar um ok, nos comentários no final dessa postagem.
Em mecânica quântica não-relativística, o operador Hamiltoniano é o operador energia mecânica, sendo a adição do operador energia cinética com a energia potencial, que é denominado simplesmente de potencial.
É preciso o estudante estudar antes o conceito e as propriedade de onda em mecânica clássica. O que distingue uma partícula de uma onda são as propriedades de difração e interferência que não acontece com partículas. Ambas propriedades ocorrem somente com ondas.
A mecânica quântica na descrição de Schrödinger é uma teoria ondulatória para as partículas, cuja linguagem incide sobre espaço vetorial. Por isso, sugerimos a você revisar a teoria clássica da onda, álgebra linear e o cálculo diferencial e integral.
Não se preocupe com as equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem nas coordenadas de posição, resultante da aplicação da equação de Schrödinger porque iremos explicar durante as aulas vindouras.
- Aspectos Históricos da Virada do Século XIX para o século XX: as leis de Newton foram substituídas por outras teorias quando aplicadas no mundo invisíveis.
Devido a comunidade científica ser muito pequena, naquela época, não foi fácil aceitar que a teoria clássica da Física, baseada nas leis de Newton não conseguia explicar os novos fenômenos no mundo quântico dos átomos, elétrons, prótons, surgidos na vidada do século XIX para o século XX.
- Equação de Schrödinger(1926): postulado número 1 da Mecânica Quântica(MQ), isto é, a equação de Schrödinger foi imposta e assim, como a 2a. lei de Newton, ela não pode ser demonstrada matematicamente.
A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polares (r, 𝜭). Note que na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:
x=rcos(𝜭), cateto adjacente
y=rsen(𝜭), cateto oposto.
Neste caso, temos:
z=x+iy=rcos(𝜭)+irsen(𝜭)=r(cos(𝜭)+isen(𝜭))=rexp(i𝜭).
Portanto, a forma polar de um número complexo é
z=rexp(i𝜭), pois a exponencial de i𝜭) é definida por exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).
Exemplo: como cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0, então,
Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r
⇔ exp(i𝝅)=-1.
pois, 𝝅=1800 ⇔ cos(1800)=-1 e sen(1800)=0.
iħd𝝍(t)/𝝍(t)=(1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante
Portanto,
iħ(1/𝝍(t)) d𝝍(t)/dt=E,
integrando obtemos,
∫d𝝍/𝝍=-iħE∫dt
⇔ln𝝍(t)=-iħEt,Considerando a exponencial de ambos lados, lembre-se da propriedade de logarítmo, exponencial do neperiano de x é igual a x, isto é, exp(ln(x))=x, ⇔ 𝝍(t)=exp(-iEt/ħ).
A partir de (1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante. obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-ésimos estados excitados:
HΨ(n)=E(n)Ψ(n)
Com, 𝝍(x)→0, quando x→ +∞ ou x→ -∞ e Ψ(x)=Ψ(n)
- Função de Onda: considerando o caso unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de Schrödinger fisicamente aceitável de quadrado integrável. A Função de onda é unívoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.
- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela função dependente da coordenada de posição.
𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x)=exp(-iEt/ħ)𝝍(x).
Como o complexo conjugado
𝝍*(t)=exp(iEt/ħ).
Então,
𝝍(x,t)𝝍*(x,t)=𝝍(x)𝝍*(x), como está na figura acima, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula é independente do tempo.
Blog rafaelrag
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