Projeto do PIBIC do CES/UFCG oferta um Minicurso de Supersimetria em Mecânica Quântica

Nessa sexta-feira, 5, aconteceu agora a pouco, das 19:30h às 21:30h  a segunda aula presencial e online do minicurso  do CES/UFCG,  do projeto do PIBIC, sob a coordenação  professor Rafael...Veja os vídeos. As duas listas de exercícios seguem por email. Quem quiser ainda pode assistir as aulas assíncronas e fazer as listas.

Minicurso de Técnica algébrica de supersimetria de sistemas quânticos unidimensionais. Carga horária de 10h, considerando o tempo de resolução das questões propostas para serem resolvidas em casa.

Local:  UFCG, campus Cuité. Salas G02.

A Mecânica Quântica é uma teoria formidável que estuda os objetos em pequena escala, ela governa o mundo subatômico das moléculas dos átomos e seus constituintes. Nesta disciplina, iremos estudar a MQ não relativística, que é baseada na equação de  Schrödinger, sem levar em conta a relatividade especial de Albert Einstein. A MQ relativística é baseada na equação de Dirac e Klein-Gordon. 

A aula de hoje, 5 de Julho, 

https://youtu.be/T7qP8icvD4g?si=ua2Y96LhlOBPZOg-

Em síntese, os eventos que culminaram com a criação da Mecânica Quântica (MQ) foram os seguintes:

1900-Planck. Hipótese quântica da radiação do corpo negro.
1905- Einstein. Efeito foto-elétrico.
1913-Bohr-Teoria Quântica do espectro do átomo de hidrogênio.
1922- Compton. Espalhamento de fótons ao se chocar com elétrons.
1925- Pauli. Princípio de exclusão para férmions.
1924- Louis De Broglie. Hipótese de ondas de matéria.
1926-Schrödinger. Equação de onda para a partícula de De Broglie.
1927- Heisenberg. Relação de incerteza para os operadores de posição e momento linear.
1927- Davison e Germer. Experimento sobre as propriedades ondulatória de elétrons.
1927- Max Born. Interpretação física da onda de matéria de Louis De Broglie(1925). R. de Lima Rodrigues, Revista Brasileira do Ensino de Física, março de 1997.

No final do século XIX Tompson descobriu os elétrons, mostrando que o átomo era divísivel e o modelo de Dalton do átomo indivisível, de 1803,  foi por água abaixo.  A radiação do corpo Negro(explicado por Planck, em 1900, com a hipótese da quantum de radição com energia E=nh𝛎(n=0,1, 2, 3...), o efeito fotoelétrico(explicado por Einsteim em 1905), não era explcado pela Física clásscia e foi necessário a criação de um nova teoria para descrever os  fenômenos em pequena escala. Essa nova teoria é denominada de mecânica quântica.

A constante de Planck é uma das constante fundamentais da natureza. Na mecância quântica ela é escrita em termos de ħ (h cortado).

^{O operador posição é representado pela própria cooordenada x,  o operador  momento linear p=mv(massa m vezes a velocidade v) é representado por um operador derivada em reação a x, ou seja:} 

^{p=-iħ d/dx}

e ħ (lê-se h cortado) é a contante de Planck dividida por dois pi, isto é, ħ = h/2π.

    Wener Heisenberg  desenvolveu a teoria da mecânica quântica matricial(1927).

A equação de Schrödinger dependente do tempo, tem uma derivada de segunda ordem em relação a x e  uma derivada de primeira ordem em relação ao tempo. A derivada parcial em   relação a x ocorre como se a outra variável fose constante, neste caso o tempo t, como se t fosse constante.

Resolvendo por separação de variável. Escrevendo a função de onda como um produto de duas funções,

𝝍(x,t)=𝝍(x)𝝍(t)

substituindo na  equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos:

Exemplos de sistemas quânticos: O potencial identifica o sistema quâncitoc em estudo.

1) partícula livre, V=0;

2) oscilador harmônico simples, v(x)=kx²/2, com k sendo a constante elástica da mola. 

 Muitos livros-textos de Mecânica Quântica mostram como alguns problemas podem ser elegantemente resolvidos através de operadores de levantamento e abaixamento(Em teoria quântica de campos eles são análogos aos operadores de criação e destruição, que fazem parte do próprio campo). 

Veja também. 

A segunda aula está disponível aqui neste link do blog ciências e educação.

Parte II

Parte III

SUSY e o Método de Fatoração em Mecânica quântica, para  o oscilador harmônico simples.  O operador hamiltoniano H é escrito em termos dos operadores escada de levantamento e abaixamento dos níveis de energia, resultando no operador de número N=ꭤ⁺ꭤ, adicionado do autovalor de energia do estado fundamental, E⁽⁰⁾, ou seja: 

H =(1/2m)p²+V(x)=ꭤ⁺ꭤ+ E⁽⁰⁾ =N+E⁽⁰⁾

Note que o operador Hamiltoniano, H, é a adição do operador energia cinética com o operador energia potencial. O termo de energia potencial V(x) em mecânica quântica é denominada simplesmente de potencial, que identifica o sistema quântico em investigação.

Equação de autovalor para o operador de número N:

NΨ⁽ⁿ⁾=nΨ⁽ⁿ⁾

Com, n=0, 1 , 2, ...

O potencial do oscilador harmônico simples é dado por uma função do segundo grau, na coordenada de posição:

V(x)=(1/2)mω²x²

Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-nésimos estados excitados:

HΨ⁽ⁿ⁾=E⁽ⁿ⁾Ψ⁽ⁿ⁾   

 

Mecânica quântica na descrição de Schrödinger é uma teoria ondulatória para as partículas, cuja linguagem incide sobre espaço vetorial. Por isso, sugerimos a você revisar a teoria clássica da onda, álgebra linear e o cálculo diferencial.

Apresentamos alguns aspectos teóricos da mecânica quântica, sem levar em consideração a relatividade de Einstein. No próximo encontro, mostraremos a eficácia da técnica algébrica da SUSY para construir novos potenciais com soluçõs exatas da equação de Schrödinger, que governa a mecânica quântica não-relativística.

Número Complexo

Na próxima aula explicaremos o que é uma função de onda complexa, neste caso, é preciso saber o que é um número complexo: é todo número escrito na forma algébrica ou forma cartesiana

z=x+iy, i²=-1,

com x sendo denominado de parte real Re(z)=X e Im(z)=y, a parte imaginária. O complexo conjugado de z representado por z*, é só trocar o i por -i, ou seja,

z*=x-iy.

Portanto, o módulo quadrado de z, torna-se:

|z|²=z*. z= x² +y²

Sabemos que no conjunto de números reais não existe a raiz quadrada de um número negativo. No entanto, no conjunto de número complexo existe. 

Exemplos:

A raiz quadrada de -36 é 6i. Pois, -36= (6i)².

A raiz quadrada de -64 é 8i. Pois, -64= (8i)². 

Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo.

A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polaraes (r, 𝜭). No te qiue na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:

x=rcos(𝜭), cateto adjacente

y=rsen(𝜭), cateto oposto.

Nesta caso, temos:

z=x+iy=rcos(𝜭)+irsen(𝜭)=r(cos(𝜭)+isen(𝜭))=rexp(i𝜭).

Portanto, a forma polar de um número complexo é

 

z=rexp(i𝜭), pois exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).

Exemplo: Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r

⇔ exp(i𝝅)=-1.

pois, 𝝅=180⁰  ⇔ cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0.

Resumo de Número Complexo.

Neste caso do oscilador harmônico, a fatoração do hamiltoniano que aparece no  setor bosônico do hamiltoniano SUSY, o termo cinético torna-se um operador com derivada de segunda ordem:

Veja um vídeo do destaque da 2a. aula remota da disciplina de Mecânica Quântica I.

SUSY e a Hierarquia de Hamiltonianos em mecânica quântica.

Analisaremos o método engenhoso da aplicação da SUSY (Witten 1981) através de uma hierarquia de hamiltonianos desenvolvido por Sukumar (1985), para potenciais exatamente solúveis em mecânica quântica.

Aplicando a técnica algébrica da supersimetria em mecânica quântica, iniciamos com um Hamiltoniano, construímos o seu companheiro supersimétrico, representado pelo produto de dois operadores de primeira ordem em "p", operador  momento linear, mutuamente adjuntos,
   A=cW(x)+bp (c e b são constantes complexas) 
e o seu adjunto A⁺ , adicionado da energia do estado fundamental, ou seja,

H_-=A⁺A + E_-⁽⁰⁾

         _e           H₊ =AA⁺ + E_-⁽⁰⁾

construímos uma hierarquia de hamiltoniano SUSY. A função escalar W(x) é denominado de superpotencial.

Neste caso, se a autofunção do estado fundamental de H_{_} for normalizável, o Hamiltoniano companheiro supersimétrico, H₊, perderá um nível de energia e os demais autovalores serão degenerados. Logo, vemos no mapeamento abaixo, figura (a), a cada par da iteração o companheiro perde um nível de energia. Quando chegar no (n+1)-ésimo membro da hierarquia, ele terá somente um autovalor de energia, que será degenerado com n-ésimo nível de energia do hamiltoniano do sistema em estudo. Este método engenhoso de construção dos autovalores de energia foi desenvolvido por Sukumar, em 1985.

_{Níveis de Energia}

E₊⁽ⁿ⁾=E_-⁽ⁿ⁺¹⁾

Com n=0, 1, 2, 3, 4, etc, ou seja,  

                E₊⁽⁰⁾=E_-⁽¹⁾

  

                E₊⁽¹⁾=E_-⁽²⁾

 Portanto, os níveis de energia são degenerados com exceção do estado fundamental.

Veja os destaques da 2a. aula de SUSY em mecânica quântica, ministrada pelo professor Rafael.

. Para receber o certificado os estudantes deverão responder duas listas de exercícios enviadas para o email registrado na inscrição.

Universidade Federal de Campina Grande-UFCG

Centro de Educação e Saúde

Unidade Acadêmica de Física e Matemática 

Curso de Licenciatura em Física.

 Projeto do PIBIC do CES/UFCG, sob a coordenação do professor Rafael Rodrigues,  oferta um Minicurso Minicurso sob títiulo  Técnica Algébrica de Supersimetria de Sistemas Quânticos Unidimensionais.

Inscrição

Nome:

Curso universitário concluído ou em andamento:

Quantos  períodos cursados:

Email:

Abraços,

Professor  Rafael Rodrigues.

Email: rafael@df.ufcg.edu.br

Whatsapp 83996151111.

Segue os vídeos da Primeira Aula.

Minicurso  Técnica Algébrica de SUSY.

Programação completa do Workshop de Física Teórica do Sudoeste da Bahia, 28 de maio, na UESB, campus de Itapetinga-BA.

 Veja os vídeos da apresentação do professor Rafael da UFCG, campus Cuité sobre supersimetria(SUSY) em mecânica quântica relativística.

https://rafaelrag.blogspot.com/2024/05/comecou-o-i-workshop-de-fisica-teorica.html?m=1

Níveis de energia via Supersimetria em mecânica quântica, 3a. Semana de Física do CFP-UFCG, 12-11-19

https://rafaelrag.blogspot.com/2019/11/professor-rafael-ministra-mini-curso.html

Mini-curso de SUSY em MQ, ministrado pelo professor Rafael Rodrigues, na UESB, em 2018.

https://rafaelrag.blogspot.com/2018/07/professor-da-ufcg-ministra-minicurso.html

Resumo de um trabalho sobre SUSY, na SBPC, em 2005,

http://www.sbpcnet.org.br/livro/57ra/programas/senior/RESUMOS/resumo_3602.html

Veja um vídeo tendo vários aspectos da técnica algébrica de SUSY em MQ.

 

Veja também a monografia resultante de um minicurso sobre o mesmo tema no CBPF, no Rio de Janeiro, ministrado pelo professor Rafael Rodrigues.
http://arxiv.org/pdf/hep-th/0205017.pdf

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