O professor Rafael de Lima Rodrigues, do curso de licenciatura em Física da Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), campus Cuité, ministrou um minicurso sobre Técnicas Algébricas de SUSY e Wigner-Heisenberg em Mecânica Quântica, de 25 a 26 de julho durante o II Encontro de Química e Física (FISQUI) da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB), Campus Itapetinga. O II FISQUI terminará amanhã.
Dias: 25 e 26 de Julho de 2018
Hora de ambos dias quarta-feira e quinta-feira:
das 16h às 18h e das 20:30h às 22:30h
Ontem, quarta-feira, 25 de julho, o tema foi o seguinte: SUSY em mecânica quântica e Novos e Potenciais Solúveis Exatamente
Em teoria de campos a supersimetria (SUSY) é uma transformação que relaciona as partículas bosônicas e fermiônicas em um único multipleto. Em mecânica ela relaciona os estados quânticos que descreve as partículas elementares, devido a analogia com a álgebra SUSY em teoria de campos dizemos que existe uma supersimetria em mecânica quântica.
Apresentaremos um minicurso introdutório, divido em duas partes, abordando os aspectos teóricos da mecânica quântica supersimétrica e da técnica algébrica de Wigner-Heisenberg, sem levar em consideração a relatividade de Einstein. Na primeira parte, mostraremos a eficácia da técnica algébrica da SUSY para resolver a equação de Schrödinger, que governa a mecânica quântica não-relativística.
Analisaremos o método engenhoso da aplicação da SUSY (Witten 1981) através de uma hierarquia de hamiltonianos desenvolvido por Sukumar (1985), para potenciais exatamente solúveis em mecânica quântica.
Aplicando a técnica algébrica da supersimetria em mecânica quântica, iniciamos com um Hamiltoniano, construímos o seu companheiro supersimétrico, representado pelo produto de dois operadores de primeira ordem em "p", operador momento linear, mutuamente adjuntos,
A=cW(x)+bp (c e b são constantes complexas)
e o seu adjunto A+ , adicionado da energia do estado fundamental, ou seja,
H-=A+A + E-(0)
e H+ =AA+ + E-(0)
construímos uma hierarquia de hamiltoniano SUSY. A função escalar W(x) é denominado de superpotencial.
Neste caso, se a autofunção do estado fundamental de H_ for normalizável, o Hamiltoniano companheiro supersimétrico, H+, perderá um nível de energia e os demais autovalores serão degenerados. Logo, vemos no mapeamento abaixo, figura (a), a cada par da iteração o companheiro perde um nível de energia. Quando chegar no (n+1)-ésimo membro da hierarquia, ele terá somente um autovalor de energia, que será degenerado com n-ésimo nível de energia do hamiltoniano do sistema em estudo. Este método engenhoso de construção dos autovalores de energia foi desenvolvido por Sukumar, em 1985.
Níveis de Energia
Com n=0, 1, 2, 3, 4, etc, ou seja,
E+(0)=E-(1)
E+(1)=E-(2)
Portanto, os níveis de energia são degenerados com exceção do estado fundamental.
Há também um método da generalização dos operadores de abaixamento e levantamento dos níveis de energia proposta por Balantekin (1998), para potenciais quânticos invariantes de forma.
Veja uma matéria relacionada sobre Supersimetria (SUSY) em Mecânica Quântica
Muitos livros-textos de Mecânica Quântica mostram como alguns problemas podem ser elegantemente resolvidos através de operadores de levantamento e abaixamento(Em teoria quântica de campos eles são análogos aos operadores de criação e destruição, que fazem parte do próprio campo). Esses operadores são encontrados fatorando a equação de Schrödinger independente do tempo.
HYn=EnYn, n=0, 1, 2, 3, ...,
onde Yn são as autofunções de energia e En os autovalores de energia.
Veja mais
O operador Hamiltoniano, H, é a adição do operador energia cinética com o operador energia potencial. O termo de energia potencial em mecânica quântica é denominada simplesmente de potencial, que identifica o sistema quântico em investigação.
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