Clique no link da Rádio PiemonteFM. Ultrapassamos a marca de 2 milhões e MEIO de acessos. Obrigado pela divulgação de nosso portal de notícia. Contato por email rafael@df.ufcg.edu.br. Agradecemos a todos pela participação, tendo como o único editor o professor Rafael Rodrigues da UFCG, Cuité-PB. Programa informativo GEMAG, aos domingos, 12:30h às 14h, na rádio PiemonteFM, transmitido por este blog. .
83-996151111-tim e WhatsApp ou 83-991838699-claro. Rádio PiemonteFM 993808301.
Páginas
▼
quarta-feira, 18 de junho de 2025
III FISMAT da UFCG. Segunda Aula do Minicurso do professor Rafael sobre SUSY Grupos em mecânica quântica
Quem quiser o certificado pode deixar o ok nas aulas de hoje e ontem. O link da aula de ontem está no final dessa postagem.
Foto registrada no primeiro dia de aula do mini-curso de mecânica quântica do III FISMAT.
Segue um resumo da primeira aula do minicurso sobre tópicos de Física: estados coerentes, supersimetria e teoria de grupo aplicado a mecânica quântica. Em seguida teremos a segunda aula, ministrada hoje.
A mecânica quântica é a teoria que defende que a energia é discretizada (Quantizada) existe concentrada em pacotes denominados por "quanta" não sendo, portanto, contínua. Por exemplo, Os quanta na energia eletromagnética é transportada através de fótons (partículas de luz mediadora das interações elétrica e magnética). Cada "quantum" (fóton ou outro bóson qualquer) tem uma quantidade de energia que será tanto maior quanto mais alta seja a freqüência das ondas.
Graça a mecânica quântica temos um avanço da tecnologia com aplicações em diversas áreas, como em medicina, metrologia quântica, computação quântica ou, informação via satélites, entre outras. A MQ possibilitou a explicação do funcionamento do laser, ressonância magnética, as lâmpadas de LED, smartphones, entre outras tecnologias do mundo contemporâneo.
O pai da Física moderna, Albert Einstein, apesar de ter ganho o prêmio Nobel da Física em 1921, com o seu trabalho sobre o modelo quântico da luz, proposto em 1905, como sendo composta de partícula(fóton de massa nula e spin, s=1) para explicar o efeito fotoelétrico, não aceitou a interpretação probabilística da MQ.
Bohr conseguiu apoio do governo dinamarquês para construir o primeiro instituto de pesquisa de Física quântica, inaugurado em 1922, recebendo nesse ano o prêmio Nobel da Física, pela sua contribuição no entendimento do mundo quântico em 1913.
Energia em Mecânica Quântica
Resolvendo a equação de Schrödinger independente do tempo,
HΨ(X)=E(n)Ψ(x),
obtemos os níveis de energia do modelo determinístico proposto por Bohr em 1913 para o átomo de hidrogênio, baseado na quantização do momento angular e a diferença da energia entre dois níveis de energia do elétron, sendo igual a constante de Planck multiplicado pela frequência, quando ele passava de um nível para o outro. Quando absorve energia o elétron passará para um nível superior. Quando ele decai para um nível inferior emite um fóton e por isso a gente diz que o átomo emite uma radiação na emissão espontânea.
Leia mais.
Portanto, iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞(menos o infinito) a +∞(mais o infinito) é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade. Esta é a condição de normalização.
Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo z.
z=x+iy, i2=-1.
A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polaraes (r, 𝜭). No te qiue na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:
z=rexp(i𝜭), pois a exponencial de i𝜭) é definida por exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).
Exemplo: como cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0, então,
Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r
⇔ exp(i𝝅)=-1.
pois, 𝝅=1800 ⇔ cos(1800)=-1 e sen(1800)=0.
Interpretação probabilística Mecânica Quântica
Substituindo,
𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x),
na equação de Schrödinger dependente do tempo, para potenciais V=V(x), obtemos
iħd𝝍(t)/𝝍(t)=(1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante
Portanto,
iħ(1/𝝍(t))d𝝍(t)/dt=E,
integrando obtemos,
∫d𝝍/𝝍=-iħE∫dt
⇔ln𝝍(t)=-iħEt,
Considerando a exponencial de ambos lados, lembre-se da propriedade de logaritmo, exponencial do neperiano de x é igual a x, isto é,
exp(ln(x))=x, ln(x)=logₑ(x)
⇔ 𝝍(t)=exp(-iEt/ħ).
Esta é a parte oscilatória da função de onda. pois, a fórmula de euler de um número completo é escrita em termos das funções trigonométricas cosseno e seno, ou seja,
exp(-iEt/ħ).= cos(iEt/ħ) - isen(-Et/ħ).
A partir de (1/𝝍(x)) H𝝍(x)=E=constante. obtemos a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-ésimos estados excitados:
HΨ(n)=E(n)Ψ(n)
Com, 𝝍(x)→0, quando x→ +∞ ou x→ -∞ eΨ(x)=Ψ(n)=Ψ(n)(x)
Muitos livros-textos de Mecânica Quântica mostram como alguns problemas podem ser elegantemente resolvidos através de operadores de levantamento e abaixamento(Em teoria quântica de campos eles são análogos aos operadores de criação e destruição, que fazem parte do próprio campo). Esses operadores são encontrados fatorando a equação de Schrödinger independente do tempo.
Segue o vídeo gravado em sala de aula, no dia 25 de agosto. Iniciamos explicando o que é uma equação de autovalor, visto na discilina de álgebra linear, em matemática.
A equação de Schrödinger é mais geral, ela pode ser aplicada para átomo com mais de um elétron. Sendo que ele e o seu amigo Einstein não aceitavam a interpretação da solução ser uma amplitude de probabilidade. Há outras interpretações da MQ, que não será discutida aqui. Iremos adotar a interpretação da MQ do grupo de pesquisadores de Copenhague.
- Interpretação Probabilística de Max Born(1927, físico Alemão), um dos defensores da interpretação de Copenhague: proposta ortodoxo da MQ em resposta a pergunta ao se fazer uma medida de onde está a partícula? A solução da equação de Schrödinger (1926), 𝝍(x,t), representa a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula, o seu módulo quadrado é a densidade de probabilidade, ou seja,
|𝝍(x,t)|2=𝝍(x,t)*𝝍(x,t)=𝝍(x)*𝝍(x)=|𝝍(x)|2 ↭ densidade de probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx.
Como a densidade de probabilidade não depende do tempo, |𝝍(x,t)|2=|𝝍(x)|2
dizemos que o estado quântico é estacionário.
𝝍(x,t)- função de onda complexa, solução da equação de Schrödinger. Neste caso, é preciso saber o que é um número complexo.
- Função de Onda: considerando o caso unidimensional, a função de onda 𝝍(x,t) é a solução da equação de Schrödinger fisicamente aceitável, isto é, ela é de quadrado integrável,
∫|Ψ(x)|2 dx<∞
(Integral menor do que infinito, significa que a integral resulta em um número.).
A função de onda é unívoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.
- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela função dependente da coordenada de posição. Como já encontramos a dependência no tempo, a solução da equação de Schrödinger, torna-se,
𝝍(x,t)=𝝍(t)𝝍(x)=exp(-iEt/ħ)𝝍(x).
Como o complexo conjugado 𝝍*(t), é somente trocar i por -i, obtemos:
a densidade de probabilidade de encontrar a partícula emum estado quântico é independente do tempo. Esses estados são denominados de estados estacionários da mecânica quântica.
A partir daqui os tópicos de Física serão considerados como sendo a segunda aula do mini-curso do III FISMAT da UFCG, campus Cuité.
Parte I. Equação de Schrödinger (1926) independente do tempo e a interpretação probabilística de Max Born(1927).
A álgebra da SUSY em MQ é uma álgebra graduada de Lie. Mas, nem toda álgebra Lie é uma álgebra SUSY.
Mostramos a representação das supercargas, geradora Q da álgebra SUSY, em termos de operadores diferencial de primeira ordem, mutuamente adjuntos, propostos por Witten(1981), para obter o operador hamiltoniano da mecânica quântica não-relativística. O superpotencial f é uma função da coordenada de posição, f= f(x) e, em homenagem a Witten, escrevemos f=W(x).
No próximo vídeo veremos o método engenhoso de Sukumar, para obter as autofunções e autovalores de energia de um sistema quântico para qualquer potencial unidimensional.
Veja mais
Veja um vídeo do destaque da 2a. aula remota de Mecânica Quântica I.
SUSY em MQ para Potenciais unidimensionais.
Palestrante: Professor Rafael Rodrigues(UAFM-UFCG, campus Cuité)
Equação de Ricatti, é uma equação diferencial de primeira ordem com incógnita W(x), não linear. O superpotencial W(x) em termos da função de onda do estado fundamental Ψ(0).
A função de onda do estado fundamental Ψ(0) do oscilador quântico unidimensional é uma Gaussiana.
Para calcular as probabilidades de encontrar o oscilador harmônico simples no estado fundamental, a função de onda é uma gaussiana.
Devido a interpretação probabilística da MQ, Einstein, apesar de ser muito amigo e admirador de Bohr, passou a ser um opositor ao grupo de pesquisadores de Copenhague, na Dinamarca, que frequentava o instituto de pesquisa construído por Bohr, tendo participado para fazer perguntas, nos diversos debates durante as palestras apresentadas pelos cientistas convidados por Bohr.
Em estatística de uma variável aleatória com uma distribuição estatística Normal ou gaussiana podemos usar a tabela Z.
Tabela Z, para o cálculo da probabilidade da distribuição Normal ou gaussiana. Anexo do livro do Paulo Mayer.
O spin é a primeira grandeza física sendo exclusivamente um efeito quântico, não existe análogo clássico.
Por analogia ao momento angular orbital associado a rotação em torno de um eixo, há quem diga que o spin é uma rotação em torno de um eixo, tendo spin up ou spin down, está errado.
Na verdade, o spin não tem nada a ver com o mundo macroscópico, ele está associado a simetria interna das partículas elementares, como o elétron. No caso dos elétrons, em constante movimento vibratório em torno do núcleo do átomo, a interação do spin com o momento angular orbital é responsável pelas características magnéticas da matéria.
Grupo Contínuo
Os geradores de um grupo continuo satisfazem a álgebra de Lie, a qual é caracterizada pelas possíveis relações de comutação.
Exemplo: o grupo de rotação em 3 dimensões O(3).
Note que, os operadores de Spin(S) e Momento angular orbital(L) satisfazem as mesmas álgebras de Lie do grupo de rotação em 3 dimensões O(3).
[ Ju, Jj ]= iħϵujkJk, i2=-1.
Co Com os índices inferiores variando de um a três, isto é, (u, j, k=1,2,3), J1=Jx, J2=Jy e J3=Jz
O tensor de Levi-Civita ϵujk tem as seguintes propriedades:
ϵujk=1, u=1, j=2, k=3 ou ϵujk= 0, com dois ou mais índices repetidos. Ele é anticomutativo, ou seja,
ϵujk=-ϵukj
O operador momento angular orbital L, em 3 dimensões.
O operador momento angular orbital obedece a permutação cíclica e satisfaz a seguinte álgebra de Lie, associada a rotação, tendo como geradores os operadores momento angular orbital em 3 dimensões.
L=rxp,
em três dimensões, o operador momento linear, p=mv, representado em termos do operador Nabla 𝝯:
p=-iħ𝝯,
𝝯= (𝛛/𝛛x, 𝛛/𝛛y, 𝛛/𝛛z)
O operador momento linear em termos das componentes cartesianas, torna-se:
px=-iħ𝛛/𝛛x , py= -iħ𝛛/𝛛y, pz= -iħ𝛛/𝛛z,
O operadores momento angular orbital tendo as seguintes componentes cartesianas, geradores do grupo de rotação O(3):
Lx =ypz - zpy , Ly = zpx - xpz
Lz= xpy - ypx
Álgebra de Lie.
A álgebra de Lie são as possíveis relações de comutação dos geradores do grupo. Portanto, no caso do grupo O(3) são 3:
A álgebra SUSY aqui é uma álgebra graduada de Lie, graduando dois subespaços. A função de onda da SUSY em MQ tem duas componentes. Porém, nem todas as álgebras graduadas de Lie é uma álgebra SUSY.
III FISMAT. Primeira aula do mini-curso sobre mecânica quântica com o professor Rafael, aconteceu na terça-feira, 17.
›
III encontro de Física e matemática (III FISMAT). Quem quiser o certificado deixe o OK no blog da aula de hoje e ontem.
Thales Yan Vieira Pinheiro, Ok!
ResponderExcluirOk
ResponderExcluir