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sexta-feira, 5 de julho de 2024

Aula 02.-2024.1- Instrumentação I, Experiência II-Lançamento Horizontal, ministrada pelo professor Rafael, Listas de exercícios 1 e 2, nesta sexta, 5

 


Veja os tópicos analisados, no primeiro dia de aula: como ensinar tendo a teoria e prática fazendo parte de um todo, de acordo com os parâmetros curriculares nacionais (PCN+).

No final desta postagem, segue a  Lista de exercícios sobre cinemática, digitada usando o processador de Texto em Latex, com questões do ENEM e Olimpíada brasileira de Física. 

Veja os vídeos sobre a experiência II: lançamento horizontal e as listas de exercícios 1 e 2.  As duas listas e os dois relatórios dos dois experimentos, usando materiais de baixo custo, são partes da Nota 1.

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Um dos objetivos dos tópicos de mecânica é construir kits sobre os temas visto em Física do primeiro ano do ensino médio: cinemática, dinâmica, trabalho, energia e momento linear. Nesta disciplina de Instrumentação I do curso de Licenciatura em Física da UFCG, campus Cuité, veremos também alguns tópicos de Física do segundo ano do ensino médio: oscilações, ondas e Física térmica.

Foi visto no primeiro vídeo desta disciplina de Instrumentação em Ciência da Natureza e suas Tecnologias I (Instrumentação I), o projeto para determinar a aceleração de uma esfera de aço(ou vidro) rolando em trilho de cortina, usando o artifício do coeficiente angular da reta. Na aula de hoje, explicaremos melhor. 
O estudante poderá usar a criatividade e imaginar outro kit.  O experimento No. 2 será sobre cinemátia vetorial: o lançamento horizontal.


No final desta postagem sobre a aula 02, nesta sexta-feira, 5, é visto também a lista de exerc\'\i cios 1, em Latex, o acento na letra i. Nas demais letras, temos: voc\^e, \'agua, etc.








                                Renan, filho do professor Rafael na assessoria, dia 1 de setembro de 2020, no RAE-UFCG.
Veja as listas de exercícios. 

O primeiro projeto discutido foi sobre a verificação experimental do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
Estudantes da disciplina de instrumentação I: mecânica, do período 2019.1, do curso de Licenciatura Plena em Física, noturno.
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Um exemplo simples de movimento com velocidade variável é a queda livre de um corpo abandonado de uma certa altura; cuja velocidade inicial é nula. Este foi um dos problemas analisados por Galileu em seus trabalhos, que deram início à era da pesquisa científica na área da Física. Na verdade, na época de Galileu Galilei não era possível fazer o vácuo, ele usou um experimento hipotético.
As experiências de Galileu e muitas outras posteriores, acabaram estabelecendo como fator experimental que o movimento de queda livre de um corpo solto ou lançado verticalmente, na medida em que a resistência do ar possa ser desprezada, é um movimento retilíneo uniformemente acelerado, em que a aceleração é a mesma para todos os corpos (embora sofra pequenas variações de ponto a ponto da terra). Esta aceleração da gravidade é indicada pela letra (g) e seu valor aproximado é: g = 978cm/ ou no SI, torna-se
g=9,8 m/.=980cm/
Nesta aula, abordamos uma experiência acessível ao ensino médio e ao último ano do ensino fundamental, no intuito de investigar o movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Estudamos esse tipo de movimento utilizando um trilho de zinco ou uma calha de plástico, e, com a ajuda de um bloco de madeira ou uma esfera de aço, impomos uma rápida inclinação.

A seguir, escolhemos um ponto de referência (o ponto na eminência do movimento da esfera) sobre o plano inclinado, e registramos, a partir desse, pontos de 18 em 18 ou de 20 em 20 centímetros. Abandonamos a esfera metálica(vidro) na origem (posição inicial, isto é, X_o = 0=V_o-velocidade inicial), acionamos o cronômetro no instante em que a esfera começa a rolar. Em seguida, calculamos o tempo de percurso para cada dezoito centímetros, procedemos assim quatro vezes para ser possível a obtenção de uma média aritmética. Anotamos todos os dados obtidos em uma tabela, contendo também os valores calculados para o quadrado da média aritmética.
A partir dos resultados anotados na tabela, esboçamos os gráficos da posição em função do tempo, posição em função do tempo ao quadrado em papel milimetrado. Analisando as curvas obtidas chegamos a determinar a aceleração escalar e as velocidades ao fim de cada intervalo. Esboçamos também o gráfico da velocidade em função do tempo. Vale salientar que, de acordo com a necessidade de arredondamento das medidas utilizadas, adotamos o critério de proximidade para os algarismos significativos corretos.
A aceleração é calculada experimentalmente através do coeficiente angular da reta no gráfico da posição versus o tempo ao quadrado. O primeiro passo é escolher uma inclinação constante arbitrária para realizarmos os lançamentos. A melhorar precisão do valor obtido para a aceleração foi obtida quando se utilizou uma pequena inclinação do trilho, evitando grandes inclinações que acarretariam grandes velocidades e pequenos intervalos de tempo e, assim, dificultando as medidas para o instrumental utilizado.


O coeficiente angular da reta, no gráfico de x versus  t² no (MRUV), tem dimensão de comprimento dividido pela dimensão de tempo ao quadrado, que corresponde exatamente à dimensão de aceleração. Logo, para calculá-la devemos escolher dois pontos que estejam sobre a reta e considerar seus respectivos valores nos eixos vertical e horizontal.





Matérias relacionadas,

Aula 01 do Professor Rafael Rodrigues. Instrumentação e Ciência da Natureza e suas Tecnologia I(Instrumentação I) Período-2024.1, na  sexta-feira, 05 de Julho. No final da postagem tem o primeiro kit sobre a aceleração experimental no MRUV. https://rafaelrag.blogspot.com/2024/07/aula-01-20241-instrumentacao-em-ciencia_5.html?m=1



Segue a Lista 1, em Latex.


\centerline{ \bf Instrumenta\c{c}\~ao I- Licenciatura em  F\'\i sica-UAFM-CES-UFCG - Lista 1}

\noindent{Pofessor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill  PER\'IODO 2041.1}


\noindent {Aluno(a): \hrulefill {\bf Boa Sorte.} 05-07-24.}


\centerline{\bf Primeira Lista de Exerc\'\i cios Propostos e Experi\^encia
I: MRUV}


%\vspace{0.5cm}

\noindent 1)  Considerando que voc\^e viajou pela BR104, de Cuit\'e at\'e Campina Grande, percorrendo uma dist\^ancia de $113km$ e o tempo gasto pelo carro foi 90  minutos. Qual a velocidade m\'edia em $km/h?$ e no SI?
\vspace{0.5cm}

\noindent 2)  Qual a velocidade de um carro, para chegar no trevo da BR230, saindo de Alagoa Grande e passando por Juarez T\'avora, durante 16 minutos. Lembre-se que a dist\^ancia de Alagoa Grande a este trevo \'e $23km.$ Esta \'e a mesma dist\^ancia do trevo da BR104 ao campus Cuit\'e da UFCG. Determine a) em $km/h$ e b) No SI.

\vspace{0.5cm}

\noindent 3)  Considerando que tenha sido feito a manuten\c{c}\~ao da estrada de acesso ao quilombo Caiana dos Crioulos do munic\'\i pio de Alagoa Grande-PB, se um carro viaja a velocidade m\'edia de $50km/h,$ partindo  do centro da cidade de Alagoa Grande, passando pelos s\'itios Paturi e Sap\'e de Juli\~ao percorrendo $13km.$ 

%\vspace{0.5cm} 

\noindent a) Qual o tempo gasto, em  segundo? Lembre-se que a dist\^ancia de Alagoa Grande a este quilombo \'e $13km$, em uma estrada de barro. 

%\vspace{0.5cm}

\noindent b) Partindo do km88 da BR104, no centro da cidade  de Rem\'\i gio, e chegando no munic\'\i pio de Barra de Santa Rosa, no km131, durante 14 minutos. Qual a velocidade m\'edia, a) em km/h e b)no SI?   

\vspace{0.5cm}

\noindent 4) Em Cuit\'e, no Curimata\'u paraibano, est\'a sem \'agua pot\'avel
da
CAGEPA, desde 2014. Muitos moradores est\~ao usando a \'agua de cisterna ou
po\c{c}o artesiano.  Voc\^e poder\'a usar o conhecimento de cinem\'atica para medir
a profundidade de uma cisterna. Suponha que um morador deixou cair uma pedra
e ap\'os 6 segundos, ele ouviu o barulho quando ela tocou no fundo
da cisterna. Lembrando que a velocidade do som no ar \'e aproximadamente
$340c\frac ms,$ determine a profunidade da cisterna, desprezando a viscosidade
da \'agua(ou seja, sem considerar o efeito do atrito).  


%\vspace{0.5cm}

\noindent 5) Considere que uma part\'\i cula se deslocou com uma equa\c{c}\~ao
hor\'aria conforme a curva $x(t)=2t^2$ +20t, no SI. Considere as escalas iguais nos eixos da vertical e horizontal, complete os valores da posi\c{c}\~ao no eixo vertical.

\noindent a) Determine a velocidade instant\^anea, em t=1s.(Neste item
voc\^e pode usar a regra de deriva\c{c}\~ao $v(t)=\frac{dx}{dt}$, ou seja, no MRUV, temos: $v(t)=v_0+at.$ 

\noindent b) Qual a velocidade m\'edia de 0,5s  at\'e 2s(Ou desenhe o gr\'afico
e calcule o coeficiente angular, entre este intervalo de tempo)? Sugest\~ao:
Em $t_1=0,5s,$ obtemos: $x(0,5)=...$  e  $x(2),$ em $t_2=2s.$  

\noindent c) Qual a dist\^ancia m\'\i nima percorrida? 

Sugest\~ao, an\'alise dos v\'ertices de uma fun\c{c}\~ao  quadr\'atica $y=f(x)$. Voc\^e calcula o valor de x no v\'ertice, $x_v=-\frac{b}{2a}$ e depois calcula $f(x_v)$ ou pode calcular direto o valor do v\'ertice, no eixo vertical,  $y_v=-\frac{\Delta}{4a}$.
Lembre-se que a fun\c{c}\~ao mais geral do segundo grau \'e dada por:
$y(x)=atx^2+bx+c$, se $a>0$ a concavidade da par\'abola \'e voltada para cima, se $a<0,$ a concavidade da par\'abola \'e para baixo, sendo o v\'ertice um ponto de m\'aximo. Lembre-se $\Delta=b^2-4ac$. Ent\~ao as ra\'\i zes de $ax^2+bx+c=0$ tornam-se: 

$$
 x^\prime=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x^{\prime\prime}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.
 $$
 
%\vspace{0.5cm}


\noindent 6) Voc\^e dirige um autom\'ovel por $9,3km$ em uma rodovia reta com velocidade de 80km/h e ao final desse trecho para por falta de gasolina. Você então caminha 2, 0km durante 30 minutos, até encontrar um posto. Qual sua velocidade m\'edia desde o instante em que o carro come\c{c}ou a se mover at\'e chegar ao posto de gasolina?

\vspace{0.5cm}

\noindent 7) MRUV. Como medir a acelera\c{c}\~ao da gravidade de um planeta distante
da Terra? O c\'alculo \'e an\'alogo ao que \'e feito aqui na Terra.  Este movimento de queda de um corpo em outro planeta ou na Lua obedece tamb\'em
as equa\c{c}~oes da cinem\'atica de Galileu Galilei(faleceu em 1642, ano em
que
nasceu Isaac Newton). Considere que um astronauta
chegou na Lua e jogou um objeto para cima com a velocidade de $8\frac ms$
e gastou 5 segundos.  Qual o valor da acelera\c{c}\~ao da gravidade na Lua?
Qual o valor da altura m\'axima atingida pelo objeto?

\vspace{0.5cm}
   
\noindent 8) MRUV. a)  No gr\'afico da velocidade  $v_x$ versus $t$, o deslocamento $\Delta x$ \'e igual a \'area
abaixo da curva. Considere o gr\'afico abaixo da velocidade vari\'avel  e calcule o deslocamento
$\Delta x$, em $km,$  percorrido por um m\'ovel durante o intervalo de tempo
registrado, sabendo-se que o deslocamento \'e calculado
utilizando-se a \'area abaixo da curva, neste caso a \'area de um
trap\'ezio que \'e dada por: $\frac{\hbox{(base maior + base menor)}
\cdot \hbox{altura}}{2}.$
(Considerando a acelera\c{c}\~ao constante e positiva.)
\begin{figure}[h]
\centering\epsfig{file=f11-mec-c.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}
\end{figure}   

\noindent b) Qual a equa\c{c}\~ao hor\'aria $x(t)$? 

%\vspace{0.5cm}

\noindent 9) Quest\~ao 125 do ENEM 2017. Um motorista que atende uma chamada no celular \'e levado \`a desaten\c{c}\~ao, aumentando a possibilidade de
acidentes ocorrerem em raz\~ao do aumento do seu tempo de rea\c{c}\~ao. 
Considere dois motoristas o primeiro atento e o segundo utilizando o celular
enquanto dirige. Eles aceleram seus carros inicialmente a 1,0$\frac{m}{s^2}$.
Em resposta a um emerg\^encia freiam com uma desacelera\c{c}\~ao igual a
5,$\frac{m}{s^2}$. O motorista atento aciona o freio a velocidade de 14$\frac{m}{s}$,
enquanto o desatento, em situa\c{c}\~ao an\'aloga, leva um segundo a mais
para iniciar a frenagem. 
Que dist\^ancia o motorista desatento percorre a mais do que o motorista atento, at\'e a parada total dos carros?

Fazer os c\'alculos expl\'\i citos, para chegar na resposta.  

$a) 2,90m \quad b) 14,00mm \quad c) 14,05m \quad d) 15,00 \quad e) 17,04m.$

\vspace{0.5cm}

\noindent 10) (OBF2005, 1a. fase.) Deixa-se cair livremente de uma altura de 200 metros, um objeto
pesado. Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de maneira
que os tempos percorridos sejam iguais e considerando a
acelara\c{c}\~ao da gravidade igual a $10\frac{m}{s^2}$ teremos, de cima
para baixo:

\noindent a) 40m e 160m

\noindent b) 50m e 150m

\noindent c) 75m e 125m

\noindent d) 100m e 100m

\noindent e) 160 e 40m
\end{document}

Cinemática Vetorial

Nesta sexta-feira, 5, teremos o assunto da segunda aula de  Instrumentação I, gravada ao vivo, direto do -Instituto de Informação Quântica da UFCG-IQUANTA, dando destaque as aplicações da cinemática vetorial. 

Veremos o  professor Rafael explicando como calcular o coeficiente angular da reta, no gráfico y versus x ao quadrado, no projeto II sobre o Lançamento horizontal, usando o referencial com orientação positiva para baixo.

Lançamento horizontal no XII Simpósio Nacional de ensino de Física,


O Professor Rafael  resolve questões de cinemática vetorial com aceleração constante e explica como fazer a medida da velocidade no lançamento de projétil. 
Na próxima sesta-feira, 12, das 18:10h às 22h,  estudaremos as leis de Newton com ênfase ao  principio fundamental da dinâmica.

Professor Rafael tirando dúvidas  do experimento para medir a velocidade de lançamento horizontal para o seu filho Renan, no IQUANTA. Segue no final desta postagem a terceira lista de exercícios dessa disciplina.

Veja os vídeos.

 Devido a uma queda de energia o vídeo foi encerrado antes do final da aula e dividido em 3 partes.

Parte 1

   

Veja a Parte 2.

 


 Veja mais imagens













Veja a Lista 2, usando os comandos em latex, a versão em PDF será enviada para o gurpo do whatsapp da disciplina.

\documentclass[preprint,aps]{revtex4}
\begin{document}
{\bf CES-UFCG-CUIT\'E- Instrumentação  I-Lista 2}

\vspace{0.5cm}

\noindent{Professor: Rafael de Lima Rodrigues. \hrulefill  {\bf Boa Sorte.}}

\noindent{ Aluno(a):\hrulefill  2024.1.}

\vspace{0.5cm}

\noindent 1) Um bombardeiro, mergulhando em um \^angulo de $30^0$ com a vertical,
lan\c{c}a uma bomba de uma altitude de $600m$. A bomba atinge o solo $5,0s$
ap\'os ser lan\c{c}ada. (a) Qual a velocidade do bombardeiro? (b) Qual a
dist\^ancia que a bomba percorre horizontal durante seu trajeto? (c) Qual
a intensidade da velocidade exatamente momento
antes de atingir o solo? (Lembre-se que neste momento o vetor velocidade
possui as componentes horizontal e vertical.)

\vspace{0.5cm}

\noindent 2) Uma pedra \'e arremessada horizontalmente, no v\'acuo, do topo de uma escada,
e atinge o solo \`a dist\^ancia de $40cm$ medida da base da escada.

\noindent a) Achar a velocidade com que a pedra foi arremessada, sabendo que a escada tem $60cm$ de
altura.

\noindent b) Calcular a velocidade da pedra ao atingir o solo.

\vspace{0.5cm}

\noindent 3) Um proj\'etil \' e lan\c{c}ado a um \^angulo $\alpha$
de um penhasco de altura $H$ acima do n\'\i vel do mar. Se ele cair no mar
a uma dist\^ncia $D$ da base do penhasco, prove   que sua altura m\'axima
$y$ acima do n\'\i vel do mar \'e dada por: $y=H+\frac{D^2tg^2\alpha}{4(H+Dtg\alpha)}.$
\vspace{0.5cm}

4) Em um lançamento horizontal de uma altura h=30m, a  velocidade de lançamento foi de v=20m/s. Considere a aceleração da gravidade como sendo 10 metros por segundo ao quadrado. Determine: a) a trajetória após a esfera sair da base de lançamento até chegar no solo. b) Quanto tempo gasta até chegar no solo? c) Qual a distância alcançada? Qual a velocidade quem chegada ao solo?(Lembre-se de que o vetor velocidade chegando no solo tem duas componentes.)

\noindent 5) Fazer os c\'alculos das demonstra\c{c}\~oes contidas
no artigo sobre o alcance m\'aximo do lan\c{c}amento de um proj\'etil, na Revista Brasileira de Ensino de F\'\i sica, vol. 2, p\'agina 260, 1997, voc\^e pode encontrar em www.sbfisica.org.br).

\vspace{0.5cm}


\noindent {\bf Experi\^encia II}

Parte I. Como voc\^e faria uma experi\^encia para medir a velocidade
de lan\c{c}amento de um proj\'etil? Voc\^e deve escrever o roteiro do experimento
e os materiais utilizados. Pode ser uma calha de madeira na forma de uma bota, como apresentada pelo professor Rafael ou uma mangueira 

Parte II.  Podemos considerar algumas quest\~oes: Um observador em movimento em
uma bicicleta com a mesma velocidade de um cavalo, ambos na mesma
dire\c{c}\~ao e sentido, veriam uma trajet\'oria retil\'\i nea de um
objeto que caiu da sela do cavalo. Desenhar a trajet\'oria do objeto
para um observador fixo na Terra e outro no cavalo, quando:
(i) a
velocidade do cavalo for constante;
(ii) a velocidade do cavalo
estiver diminuindo e (iii) a velocidade do cavalo estiver aumentando.
\end{document}


Questão do livro de Antônio Máximo e Beatriz Alvarenga. Física. Volume 1. Em um lançamento horizontal de uma altura h=20m, a  velocidade de lançamento foi de v=6m/s. Considere a aceleração da gravidade como sendo 10 metros por segundo ao quadrado. Determine: a) a trajetória após a esfera sair da base de lançamento até chegar no solo. b) Quanto tempo gasta até chegar no solo? c) Qual a distância alcançada?

Solução.


Resposta do item a). A trajetória é uma semi-parábola. 


EXPERIENCIA II EM LATEX
Compare com a verdão em PDF enviada para o grupo da disciplina.

%\documentclass[preprint,aps]{revtex4}
%\usepackage{epsfig}
%\documentstyle[preprint,aps]{revtex}
\documentclass[12pt]{article}
\begin{document}
\centerline{\bf INSTRUMENTAÇÃO I - UAFM-CES-UFCG}

\centerline{\bf EXPERIENCIA II: Lan\c{c}amento Horizontal}

\noindent Professor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill  PER\'IODo 2024.1

\noindent Aluno(a): \hrulefill Boa Sorte! 

\vspace{0.5cm}

\centerline{\bf Introdu\c{c}\~ao Te\'orica}

A acelera\c{c}\~ao da gravidade $g,$
cuja intensidade \'e aproximadamente $978cm/s^2.$ Escolhendo o
referencial com a orienta\c{c}\~ao positiva apontando para cima,
obt\'em-se: $a_y=-g$.  

Um dos objetivos espec\'\i ficos \'e a an\'alise
dos lan\c{c}amentos horizontais usando a mesma esfera, medindo o
alcance seis vezes, embora a velocidade inicial permanecendo sempre
constante na ordem dos lan\c{c}amentos. Atuando unicamente sobre o
corpo a for\c{c}a peso que possui intensidade, dire\c{c}\~ao e
sentido constante. De acordo com as nossas condi\c{c}\~oes iniciais
as equa\c{c}\~oes do lan\c{c}amento horizontal, tornam-se:

\begin{equation}
x= v_{0x} t, \quad  v_{0y}=0, \quad  v_{0x}= v_{0}cos0^o= v_0, \quad
y_0= 0 \Rightarrow y=\frac{-(gt^2)}{2}, \quad v_y=-gt,
\end{equation}
onde $t$ \'e o tempo de perman\^encia no ar. Eliminando o tempo nas
equa\c{c}\~oes para $x$ e $y$, obtemos a seguinte equa\c{c}\~ao para
a trajet\'oria, ou seja, substituindo $t= \frac{x}{v_0}$ em
$y=\frac{-(gt^2)}{2},$ obtemos:

\begin{equation}
y=-\frac{g x^2}{(2v_0^2)}.
\end{equation}

Como o coeficiente do termo quadr\'atico \'e constante vemos que o
gr\'afico de $y$x$x$ \'e uma curva parab\'olica com a concavidade
voltada para baixo, o que est\'a de acordo com a observa\c{c}\~ao
cotidiana de um corpo sendo lan\c{c}ado pr\'oximo da superf\'\i cie
da Terra.


\centerline{\bf Roteiro da Experi\^encia}

\centerline{\bf Uma experi\^encia sobre o Lan\c{c}amento Horizontal}

\vspace{0.5cm}

Esta experi\^encia foi realizada com material de baixo custo. Os
materiais utilizados foram os seguintes: uma esfera met\'alica, uma
escala graduada em cent\'\i metros, papel carbono sulfite e uma
pe\c{c}a de madeira com uma calha curvil\'\i nea do ponto de partida
at\'e a base horizontal.  A pe\c{c}a de madeira foi colocada
inicialmente a uma altura de oito cent\'\i metros fixa em uma haste
que possui uma escala graduada em mil\'\i metros, a qual \'e
denominada de eixo $y$. Efetuamos seis lan\c{c}amentos com um corpo
de determinada massa e mantendo a velocidade inicial constante em
todos os lan\c{c}amentos. Para uma melhor precis\~ao dos resultados
obtidos em nosso experimento, nivelamos o trecho final da pista de
lan\c{c}amento e fixamos um ponto na parte inclinada, que utilizamos
como ponto de refer\^encia e de onde a esfera \'e abandonada em
todos os lan\c{c}amentos. Realizamos os lan\c{c}amentos para seis
posi\c{c}\~oes diferentes, variando a altura de lan\c{c}amento em
rela\c{c}\~ao ao solo de oito em oito cent\'\i metros. Para
encontrarmos o ponto em que a esfera atinge o solo utilizamos um
papel carbono sulfite, presos na superf\'\i cie com fita adesiva.
Preenchemos na tabela abaixo os valores para a altura ($y$) e o
alcance ($x$) do proj\'etil, que nos fornece o gr\'afico da
trajet\'oria parab\'olica, conforme a equa\c{c}\~ao da trajet\'oria.

  \begin{center}
\begin{tabular}{||lll||lr||} \hline
OL\vline  $y(cm)$\vline & $x(cm)$\vline & $x^2(cm^2)$\\
\hline
$1^{\underline 0}$  \vline  & {}\vline & {}\vline \\
\hline
$2^{\underline 0}$  \vline  & {}\vline  & {}\vline \\
\hline
$3^{\underline 0}$  \vline  & {}\vline  & {}\vline \\
\hline
$4^{\underline 0}$  \vline  & {}\vline  & {}\vline \\
\hline
$5^{\underline 0}$  \vline  & {}\vline  & {}\vline \\
\hline
$6^{\underline 0}$  \vline  & {}\vline  & {}\vline \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Conven\c{c}\~ao: OL \'e a ordem dos lan\c{c}amentos, $y$ \'e a
altura em rela\c{c}\~ao ao solo e $x$ \'e o alcance.

A velocidade inicial \'e calculada experimentalmente atrav\'es do
coeficiente angular da reta formada pelo gr\'afico de $y$ x $x^2$ e
o coeficiente da equa\c{c}\~ao da trajet\'oria. Finalmente para duas
posi\c{c}\~oes quaisquer de lan\c{c}amento, obtemos a velocidade da
esfera ao tocar o solo, o \^angulo que forma com a horizontal e o
tempo de queda em cada caso. As equa\c{c}\~oes obtidas n\~ao seriam
v\'alidas se a resist\^encia do ar n\~ao fosse desprez\'\i vel.
Podemos considerar algumas quest\~oes: Um observador em movimento em
uma bicicleta com a mesma velocidade de um cavalo, ambos na mesma
dire\c{c}\~ao e sentido, veriam uma trajet\'oria retil\'\i nea de um
objeto que caiu da sela do cavalo. Desenhar a trajet\'oria do objeto
para um observador fixo na Terra e outro no cavalo, quando: (a) a
velocidade do cavalo for constante; (b) a velocidade do cavalo
estiver diminuindo e (c) a velocidade do cavalo estiver aumentando.
Lembre-se que a pedra ao cair ela tem a mesma velocidade do cavalo
e, portanto, devido a atra\c{c}\~ao gravitacional do nosso planeta
um observador na Terra ver\'a uma trajet\'oria parab\'olica.

\end{document}

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