Ciências e Educação. : Professor Rafael apresenta alguns aspectos teóricos da mecânica quântica, na UFCG, campus Cuité, nesta sexta, 8

Parte I.

Veja uma matéria relacionada sobre Supersimetria (SUSY) em Mecânica Quântica

Em teoria de campos a supersimetria (SUSY) é uma transformação que relaciona as partículas bosônicas e fermiônicas em um único multipleto. Em mecânica ela relaciona os estados quânticos que descreve as partículas elementares, devido a analogia com a álgebra SUSY em teoria de campos dizemos que existe uma supersimetria em mecânica quântica.

Parte II

A Mecânica quântica na descrição de Schrödinger é uma teoria ondulatória para as partículas, cuja linguagem incide sobre espaço vetorial. Por isso, sugerimos a você revisar a teoria clássica da onda, álgebra linear e o cálculo diferencial. Não se preocupe com as equações diferenciais de segunda ordem nas coordenadas de posição, resultante da aplicação da equação de Schrödinger porque iremos explicar durante as aulas vindouras.

Mecânica quântica na descrição de Schrödinger é uma teoria ondulatória para as partículas, cuja linguagem incide sobre espaço vetorial. Por isso, sugerimos a você revisar a teoria clássica da onda, álgebra linear e o cálculo diferencial.

Apresentamos alguns aspectos teóricos da mecânica quântica, sem levar em consideração a relatividade de Einstein. No próximo encontro, mostraremos a eficácia da técnica algébrica da SUSY para construir novos potenciais com soluçõs exatas da equação de Schrödinger, que governa a mecânica quântica não-relativística.

Número Complexo

Na próxima aula explicaremos o que é uma função de onda complexa, neste caso, é preciso saber o que é um número complexo: é todo número escrito na forma algébrica ou forma cartesiana

z=x+iy, i²=-1,

com x sendo denominado de parte real Re(z)=X e Im(z)=y, a parte imaginária. O complexo conjugado de z representado por z*, é só trocar o i por -i, ou seja,

z*=x-iy.

Portanto, o módulo quadrado de z, torna-se:

|z|²=z*. z= x²+y²

Sabemos que no conjunto de números reais não existe a raiz quadrada de um número negativo. No entanto, no conjunto de número complexo existe.

Exemplos:

A raiz quadrada de -36 é 6i. Pois, -36= (6i)².

A raiz quadrada de -64 é 8i. Pois, -64= (8i)².

Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo.

A forma Polar de um número complexo, é o número escrito em termos das variáveis polaraes (r, 𝜭). No te qiue na figura abaixo r é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, obtemos:

x=rcos(𝜭), cateto adjacente

y=rsen(𝜭), cateto oposto.

Nesta caso, temos:

z=x+iy=rcos(𝜭)+irsen(𝜭)=r(cos(𝜭)+isen(𝜭))=rexp(i𝜭).

Portanto, a forma polar de um número complexo é

z=rexp(i𝜭), pois exp(i𝜭)=cos(𝜭)+isen(𝜭).

Exemplo: Z=rexp(i𝝅)=r(cos(𝝅)+isen(𝝅))=-r

⇔ exp(i𝝅)=-1.

pois, 𝝅=180⁰ ⇔ cos(𝝅)=-1 e sen(𝝅)=0.

Resumo de Número Complexo.

A equação de Schrödinger independente do tempo.

- Aspectos Históricos da Virada do Século XIX para o século XX: as leis de Newton foram substituídas por outras teorias quando aplicada no mundo invisíveis. Devido a comunidade científica ser muito pequena, não foi fácil aceitar que a teoria clássica da Física não conseguia explicar os novos fenômenos no mundo dos átomos, elétrons, prótons, surgidos na vidada do século XIX para o século XX.

- Equação de Schrödinger: postulado número 1 da Mecânica Quântica(MQ).

Em síntese, os eventos que culminaram com a criação da Mecânica Quântica (MQ) foram os seguintes:

1900-Planck. Hipótese quântica da radiação do corpo negro.
1905- Einstein. Efeito foto-elétrico.
1913-Bohr-Teoria Quântica do espectro do átomo de hidrogênio.
1922- Compton. Espalhamento de fótons ao se chocar com elétrons.
1925- Pauli. Princípio de exclusão para férmions.
1924- Louis De Broglie. Hipótese de ondas de matéria.
1926-Schrödinger. Equação de onda para a partícula de De Broglie.
1927- Heisenberg. Relação de incerteza para os operadores de posição e momento linear.
1927- Davison e Germer. Experimento sobre as propriedades ondulatória de elétrons.
1927- Max Born. Interpretação física da onda de matéria de Louis De Broglie(1925). R. de Lima Rodrigues, Revista Brasileira do Ensino de Física, março de 1997.

No final do século XIX Tompson descobriu os elétrons, mostrando que o átomo era divísivel e o modelo de Dalton do átomo indivisível, de 1803, foi por água abaixo. A radiação do corpo Negro(explicado por Planck, em 1900, com a hipótese da quantum de radição com energia E=nh𝛎(n=0,1, 2, 3...), o efeito fotoelétrico(explicado por Einsteim em 1905), não era explcado pela Física clásscia e foi necessário a criação de um nova teoria para descrever os fenômenos em pequena escala. Essa nova teoria é denominada de mecânica quântica.

A equação de Schrödinger dependente do tempo, tem uma derivada de segunda ordem em relação a x e uma derivada de primeira ordem em relação ao tempo. A derivada parcial em relação a x ocorre como se a outra variável fose constante, neste caso o tempo t, como se t fosse constante.

Resolvendo por separação de variável. Escrevendo a função de onda como um produto de duas funções,

𝝍(x,t)=𝝍(x)𝝍(t)

substituindo na equação de Schrödinger dependente do tempo, obtemos:

Muitos livros-textos de Mecânica Quântica mostram como alguns problemas podem ser elegantemente resolvidos através de operadores de levantamento e abaixamento(Em teoria quântica de campos eles são análogos aos operadores de criação e destruição, que fazem parte do próprio campo). Esses operadores são encontrados fatorando a equação de Schrödinger independente do tempo.

H 𝝍_n=E_n𝝍_n, n=0, 1, 2, 3, ...,

onde 𝝍_n são as autofunções de energia e E_n os autovalores de energia.

O operador Hamiltoniano, H, é a adição do operador energia cinética com o operador energia potencial. O termo de energia potencial em mecânica quântica é denominada simplesmente de potencial, que identifica o sistema quântico em investigação.