MQ II- Teoria de Perturbação dependente do tempo-UFCG-2021.2-Lista VI-Principais notícias de alguns jornais brasileiros, nesta sexta, 17

Mecânica Quântica II-Teoria de Perturbação dependente do tempo, para os sistemas em que o operador hamiltoniano seja dependente do tempo. Até o momento, estudamos os sistemas quânticos descritos por funções de onda de estados estacionários.       Agora iremos considerar a sua evolução temporal.                17-6-22

Professor Dr. Rafael Rodrigues

Tratamento de Rayleigh-Schrödinger.

Considere as seguintes equações de Schrödinger dependente do tempo

(iħ∂/∂t )|Ψ(t)>=H|Ψ(t)>,

com 

∂/∂t |Ψ(t)> 

sendo a derivada parcial do ket |Ψ(t)> em relação ao tempo. 

 Supomos que o sistema é descrito pelo seguinte operador hamiltoniano dependente do tempo,

H=H_o + λV(t)

Com H_o sendo o operador hamiltoniano do sistema não-perturbado, cujas autofunções e os autovalores de energia são conhecidos. 

H_o|n>=E_n n|n>

λV(t) é a parte do operador hamiltoniano dependente do tempo, correspondente ao sistema perturbado.

O método é aplicado somente quando a perturbação introduzida for pequena.

De acordo com o terema de expansão, a solução geral será dada por:

|Ψ(t)>=∑c_n(t)exp(-íE_nt/ħ)| n>

Ψ(r, t)  =< 𝞍_n  |Ψ(t)>,    𝞍_n=<r|n> .

A constante dependente do tempo, c_n(t), torna-se:

c_n(t)=< n |Ψ(t)>

Substituindo essa expansão, na equação de Schrödinder  dependente do tempo, obtemos:

iħ(dc_m/dt) exp(-íE_nt/ħ)=λV∑c_n(t)exp(-íE_nt/ħ)

Fazendo o produto escalar com a autofunção 𝞍_m e usando o delta de Krocker, (𝞍_m,𝞍_n)=ẟ_mn,

obtemos:  

iħdc_m/dt =∑c_n(t)exp[-í(E_m-E_nt/ħ)](λV)_mn

(Somatório com n variando de  n=1 a n=infinito.)

Com o elemento de matriz

(λV)_mn=<𝞍_m|λV|𝞍_n>

Levando a um sistema de equações diferencias, que, em geral, é difícil de resolvermos.

Fazendo a expansão da constante c_m em série de potência em  λ

c_n=c_n^{0}+c_n^{1}λ^{1}+c_n^{2}λ^{2}+...=∑c_n^{\ell}(t)

\ell=0, 1, ,2, ...

Com a mudança de notação

E_m-E_nt/ħ=ω_{mn},

comparando os coeficientes de λ, obtemos:

iħdc_m^{0}/dt =0. 

Neste caso, c_m^{0} é uma constante. 

Em geral, temos

iħdc_m^{\ell}/dt =∑c_n^{\ell}(t)exp(-íω_{mn})(λV)_mn, 

com \ell diferente de zero.

Condição incial: em t=0, 

Ψ(r, 0)  = 𝞍_k,

a perturbação não foi ligada, isto é, λV=0. Todos os coeficentes são nulos exeto um certo valor c_k. Portanto, em t=0,  c_m^{0}=ẟ_mk, sendo c_m^{\ell}=0, para \ell não nulo. 

MQ II-LVI-Lista de Exercícios sobre teoria de perturbação dependente do tempo.

Principais notícias de alguns jornais brasileiros, nesta sexta, 17-6-22

- A União: Consórcio Nordeste volta a alertar para perdas do ICMS e crise fiscal
- Folha: Apuração de mortes no AM ainda não vê um mandante
- Globo: PF investiga participação de 5 pessoas no assassinato de Bruno e Dom
- O Dia (RJ)
Rio vai quitar dívida com aposentados da Educação
- O Estado de S. Paulo
Petrobras tem sinal verde do Conselho para elevar preços
- Valor Econômico (SP)
Petrobras deve anunciar hoje novo reajuste de combustíveis
- Correio Braziliense
Suspense pelos exames e caçada a mais 3 suspeitos
- Estado de Minas
PF tem cinco suspeitos. Sobe pressão por respostas
- Zero Hora (RS)
Cai percentual de vagas com carteira; informais e por conta própria crescem
- Diário de Pernambuco
Governadores se unem contra redução do ICMS
- Jornal do Commercio (PE)
Morte no interior
- Diário do Nordeste (CE)
O drama dos usuários de planos de saúde

- A Tarde (BA)
Instituições lutam contra cortes federais na Educação