Mecânica Quântica II-Teoria de Perturbação independente do tempo, para os estados estacionários. 10-6-22
Professor Dr. Rafael Rodrigues
Tratamento de Rayleigh-Schrödinger.
Considere as seguintes equações de Schrödinger independente do tempo
Hv=wv,
com w sendo os autovalores de energia. O sitema é descrito pelo seguinte operador hamiltoniano,
H=H_o + λȞ
Com H_o sendo o operador hamiltoniano do sistema não-perturbado, cujas autofunções e os autovalores de energia são conhecidos.
λȞ é a parte do operador hamiltoniano do sistema perturbado.
O método é aplicado somente quando a perturbação introduzida for pequena. Vamos analisar os dois casos possíveis: (i) caso não-degenerado e (ii) caso degenerado.
Por degenerescência, entendemos que os níveis de energia é degenerado e as autofunções não.
Seja u_m as autofunções conhecidas, isto é,
H_o(u_m)=E_m(u_m)
Com as autofunções u_m sendo ortonornais, ou seja, o produto escalar
(u_m, u_m)= 1, se m=n ou zero se m≭n.
Em seguida consideramos uma expnsão em séri de potência das autofunções v e dos autovalores de nergia w em termos de ለ, a constante do sistema perturbado. O métpdo só é aplicaod par sistema com pertrubação pequena. Portanto, as potências de ordem maiores de ለ têm contribuições pequenas.
Vamos supor
w^(0)=E_m.
Caso (i): Se E_m é não-degenerado, v^(0)=u_m(autofunção de ordem zero).
Caso (i): Se E_m é degenerado, digamos com um grau de degenerescência r, então, a aultofunção v^(0) será uma combinação linear das aultofunções u_m, ou seja,
v^(0)=c_1u_(m,1)+c_2u_(m,2)+ c_1u_(m,1) + ...+c_ru_(m,r)=∑c_nu_(m,n).
Somatório com o índice n variando de n=1 a n=r, o grau de degenerescência.
Vejamos agora o caso não-degenerado
(Aqui temos a condição de validade da teoria de perturbação.)
Aplicação da teoria de perturbação independente do tempo para o oscilador anarmônico quântico, tendo uma perturbção de quarta ordem
Exemplo: o oscilador anarmônico de quarta ordem. Determine em primeria aproximação as autofunções e os autovalores de energia para o oscilado harmônico com uma perturbação de quarta ordem.
Usaremos o Método de Fatoração em Mecânica quântica, para o oscilador harmônico simples, tendo o operador hamiltoniano H escrito em termos dos operadores escada de levantamento e abaixamento dos níveis de energia, resultando no operador de número N, adicionado do autovalor de energia do estado fundamental, E(0), ou seja:
H_0 =(1/2m)p2+V(x)=N+E(0)
A equação de autovalor para o operador de número é dada por
NΨ(n)=nΨ(n)
Com, n=0, 1 , 2, ...
O potencial do oscilador harmônico simples é dado por uma função do segundo grau, na coordenada de posição:
V(x)=(1/2)mω2x2
Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-nésimos estados excitados:
HΨ(n)=E(n)Ψ(n)
Com
H= (1/2m)p2+(1/2)mω2x2 + λx4
O termo de perturbação do operador hamiltoniano é
λȞ=λx4
Principais notícias de alguns jornais brasileiros, nesta sexta-feira, 10-6-22
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