Ciências e Educação. : Aula 21-Mecânica Quântica I, equação de Schrödinger em coordenadas esféricas, professor Rafael, nesta sexta, 18

Professor Rafael Rodrigues na UFCG Campus Cuité.

Analisaremos o operador Momento Angular e a equação de Schrödinger três Dimensões, com a função de onda na descrição de Schrödinger,

𝞧=𝞧(x, y, z, t).

Usando coordenada do centro de massa, obtemos a equação radial formalmente unidimensional que poderá ser aplicada para o potencial do átomo de hidrogênio. Sedo que a variável radial independente r ocorre na semi-reta.

Iniciando com a equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas em 3 dimensões sendo transformadas, em coordenadas esféricas, reduzindo a duas equações difrenciais ordinária (EDO), uma de segunda ordem na coordenda radial r e a outra nas coordenadas polares.

Mostramos também que o operador hamiltoniano comuta com o quadrado do operador momento angular, o que está associado a simetria rotacioanl e ambos operadores podendo serem diagonalizados na mesma base.

Calculamos as 3 possíveis relações de comutação da álgebra de Lie para o grupo das rotações em 3 dimensões, cujo elemento da álgebra são as componentes do operador momento angular, geradores do grupo.

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\begin{document}

\centerline{ \bf MEC\^ANICA QU\^ANTICA I-UAFM-CES-UFCG}

\noindent{Pofessor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill PER\'IODO 2021.1}

\noindent{Aluno(a): \hrulefill \bf Boa Sorte. Março-2021}

\section{Equa\c{c}\~ao de Schr\"odinger em 3D}

A equa\c{c}\~ao de Schr\"odinger em 3 dimens\~oes e independente do tempo, cporresponde a uma equa\c{c}\~ao de autovalor, a saber:

\begin{equation}

H\psi(\vec r, t)=E\psi(\vec r, t)

\end{equation}

Com o operador Hamiltoniano dado por

\begin{equation}

H= \frac{1}{2m}(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)+V(x, y, z) \quad\hbox{ou}\quad

H= \frac{\vec{p}^2}{2m}+V(\mid\vec r\mid)

\end{equation}

com $\vec{p}^2= \vec{p}\cdot\vec{p}, \quad \vec{p}= \frac{\hbar}{i}\vec\nabla$

Note que o operador Hamiltoniano \'e a soma de um operador energia cin\'etica com o potencial. Por isso, essa teoria \'e denominada de mec\^anica qu\^antica n\~ao-relativ\'\i stica.

\begin{equation}

H= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mid\vec r\mid)

\end{equation}

Solu\c{c}\~ao geral para o caso do espectro discreto:

\begin{equation}

\psi(\vec r, t)=\sum_nc_n\psi_n(\vec r)e^{-\frac {iE_nt}{\hbar}}.

\end{equation}

No caso do espectro cont\'\i nuo subistituimos a soma por uma integral, $\sum\rightarrow\int $.

Para 2 part\'\i culas em 3D, temos:

\begin{equation}

H= -\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla^2_1 - \frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla^2_2

+ V(r_1, r_2)