UFCG-2021.1-Aula 16- Mecânica Quântica I. Lista de Exercícios IV, professor Rafael, nesta sexta, 25

Na aula 16 de hoje, 25 de fevereiro, das 20:10h às 22h, da disciplina de Mecânica Quântica I, os estudantas da disciplina deverão fazer um resumo da palestra do III Encontro de Física-Matemática da UFCG,  sobre Supersimetria (SUSY) em Mecânica Quântica  gravada no IQUANTA da UFCG, campus sede, na quarta-feira, 23 de fevereiro.

SUSY em Mecânica Quântica

Gravada no IQUANTA da UFCG, campus sede: as partículas fermiônicas tem spin fracionário e as partículas bosônicas tem spin inteiro.

O vídeo dessa palestra foi dividido em 3 partes e estão  disponíveis no Youtube, o link  dele será colocado aqui.  Mostramos a representação das supercargas, geradora da  álgebra SUSY, em termos de operadores diferencial de primeira ordem, mutuamente adjuntos,   propostos por Witten(1981), para obter o operador hamiltoniano da mecânica quântica não-relativística. O superpotencial é uma função da coordenada de posição, f(x) e, em homenagem a Witten, escrevemos f=W(x).

 

Parte I  Equação de Schrödinger (1926) independtendente do tempo e a interpretação probabilística de Max Born(1927).

Veja os vídeos

Parte II

Parte III

SUSY e o Método de Fatoração em Mecânica quântica, para  o oscilador harmônico simples.  O operador hamiltoniano H é escrito em termos dos operadores escada de levantamento e abaixamento dos níveis de energia, resultando no operador de número N, adicionado do autovalor de energia do estado fundamental, E⁽⁰⁾, ou seja: 

H =(1/2m)p²+V(x)=N+E⁽⁰⁾ 

NΨ⁽ⁿ⁾=nΨ⁽ⁿ⁾

Com, n=0, 1 , 2, ...

O potencial do oscilador harmônico simples é dado por uma função do segundo grau, na coordenada de posição:

V(x)=(1/2)mω²x²

Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fornece os autovalores discretos para os n-nésimos estados excitados:

HΨ⁽ⁿ⁾=E⁽ⁿ⁾Ψ⁽ⁿ⁾   

Neste caso do oscilador harmônico, a fatoração do hamiltoniano que aparece no  setor bosônico do hamiltoniano SUSY, o termo cinético torna-se um operador com derivada de segunda ordem:

No caso do oscilador harmônico unidimensional supessimétrico(SUSY), colocando um bóson e retirando um férmion e vice-versa, o valor da energia do hamiltoniano SUSY não é alterada.

Segue a Lista IV

UAFM-CES-UFCG-CUITE-  Mecânica Quântica I -Lista IV 

 Professor: Rafael de Lima Rodrigues. 

Aluno(a): __________________________________________25-02-2022. 

Período 2021.1                                                                             Boa Sorte. 

1) Vimos nas aulas remotas os operadores escadas do espectro de energia do oscilador hamôncio bosônico, definidos como sendo uma combinação linear dos operadores de posição que satisfazem relação de comutação canônica

[x, p]=ih/2𝜋. 

Com h sendo a constante de Planck.

Mostre que os operadores de levantamento e abaixamento satisfazem a  álgebra de Heisenberg: devemos mostrar que os operadores escadas 

2) Usando o operador de Número e a equação de Schrödinger independente do tempo, deduza os autovalores de energia do oscilador bosônico:

3) Mostre que os autovalores do hamiltoniano fermiônico são zero ou um.

4) Aplciação para o ocilador supersimétrico unidimentioal. Usando a álgebra SUSY mostre que o hamiltonioano do oscilador supersimétrico torna-se o seguinte operador hamiltoniano matricial 2x2 tipo Schrödinger:

5) Mostre que o operador Hamiltoniano SUSY do oscilador harmôncio é a soma dos hamiltonianos bosônico e fermiôncio e deduza os níveis de energia do oscilador SUSY:

7) Métodos SUSY em termos do superpotencial W(x). Dados os operedores diferenciais de primeira ordem, mutuamente adjuntos,

Mostre as seguintes relações entrelaçadas das autofunções dos companheiros spersimétricos  H_ e H+:

8) Aplicando a álgebra de Heisenberg, obtemos:

Deduza as funções de onda para o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador bosôncio.

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