Separei a lei de Gauss, em duas partes. Ela corresponde a primeira equação de Maxwell, das quatro equações do eletromagnetismo. Isso não é visto no ensino médio. Nessa disciplina de instrumentação e ciência da Natureza e suas Tecnologias II, do curso de Licenciatura em Física da UFCG, campus Cuité, período 2021, faremos as adaptações também das outras 3 equações de Maxwell no nível do ensino médio.
Segue uma lista de exercícios, tendo como a questão 10 sobre o Campo elétrico em um tubo de televisão, que existia nas Tv's antigas.
Veja a parte da Live da Aula 05 da disciplina de Instrumentação II, sobre a Lei de Gauss, que corresponde a primeira equação de Maxwell do Eletromagnetismo, ministrada pelo professor Rafael Rodrigues, UFCG, campus Cuité.
Considere as linhas de força atravessando um superfície plana de área A. Verifica-se que o Fluxo elétrico é proporcional
(i) a intensidade do campo elétrico
(ii) a carga líquida dentro de uma superfície
(iii) ao cosseno do ângulo θ(theta) formado entre o vetor unitário perpendicular a superfície de área A e a direção do campo elétrico E.
Neste caso o fluxo elétrico torna-se:
𝜙=EAcos(θ)
Agora, considere uma superfície fechada, denominada de superfície gaussiana S. Neste caso, dividimos as superfícies fechada contínua em superfícies planas de áreas pequenas 𝛥A_i, o fluxo elétrico torna-se:
𝛥𝛟_i=E𝛥A_i cos(θ) (i=1, 2, 3, 4, 5, ....)
Somando(integrando) o fluxo elétrico total torna-se uma integral através da superfície fechada S:
𝜙=∲Ecos(θ) da,
com o elemento infinitesimal de área podem resulta em uma integral dupla, ou seja,
da=dxdy ou da=dxdz ou da=dydz .
O circulo no símbolo da integral significa que a superfície é fechada. Sendo que devido a simetria o campo elétrico é constante, por exemplo, colocando uma superfície gaussiana esférica, teremos uma simetria radial, o campo elétrico sendo constante e saindo do sinal de integração, resultante, na seguinte integral simples.
𝜙=Ecos(θ)∲da=EAcos(θ).
Lei de Gauss
A lei de Gauss estabelece a relação entre o fluxo e o campo elétrico. com a carga elétrica dentro de uma superfície fechada, denominada de superfície gaussiana.
ϕ = ____,
∈0
sendo qint a carga líquida no interior da superfície gaussiana e ∈0 a constante de permissividade elétrica no vácuo, que está relacionada com a constante eletrostática no vácuo,
k0=1/( 4𝛑∈0)=9x109(Nm2)/C2
Aqui iremos considera somente os casos em que a simetria da área da superfície gaussiana for conhecida e o fluxo elétrico é simplesmente:
𝜙=EAcos(θ).
O professor Rafael cobrou do novo Reitor da UFCG, mais apoio aos estudantes que precisam comprar seus equipamentos com materiais de baixo custo. Veja também no vídeo abaixo, como calcular o campo elétrico de uma casca esférica fina.
Leis de Gauss e Coulomb. Calculamos o Campo elétrico de uma partícula com carga elétrica q em um ponto a uma certa distância r, usando a lei de Gauss.
Usando a lei de Gauss é fácil de demonstrar que o campo elétrico no interior de um condutor é nulo. Como os elétrons com cargas elétricas negativas estão na superfície de um condutor, aplicando a lei de Gauss vemos que o campo elétrico no seu interior é zero, ou seja,
qint=0⇔E=0.
\documentclass[preprint,aps]{revtex4}
\usepackage{epsfig}
\begin{document}
\noindent{ \bf INTRDUMENTA\c{C}\~AO E CI\^ENCIA DA NATUREZA E
SUAS TECNOLOGIA-UAFM-CES-UFCG. Lista 3-Eletrost\'atica:
cargas el\'etricas fixas.}
\noindent{Professor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill PER\'IODO 2020.1}
\noindent{Aluno(a): \hrulefill Aten\c{c}\~ao!
{\bf Boa Sorte.} 11-03-21
}
\vspace{0.5cm}
\centerline{CAMPO EL\'ETRICO E A LEI DE GAUSS}
\vspace{0.5cm}
\noindent 1) a) Por que as linhas de for\c{c}a nunca se
cruzam? Como voc\^e faria uma experi\^encia para visualizar as
linhas de for\c{c}a?
\noindent b) A lei de Gauss pode ser aplicada para qualquer problema
da eletrost\'atica? Por que?
\vspace{0.5cm}
\noindent 2) Suponha que temos uma part\'\i cula com carga -X$e$
($e$=carga elementar), negativa, no centro de duas esferas \^ocas,
conc\^entricas, condutoras, sendo X a sua idade.
\noindent a) Qual o campo el\'etrico, no espa\c{c}o entre as esferas?
\noindent b) Calcule, aproximadamente, o n\'umero de Coulombs de
part\'\i culas com cargas positivas existente num copo d\'agua. Escolha o
volume do copo.
\vspace{0.5cm}
\noindent 3) Calcular o campo el\'etrico no ponto $P$ sobre o eixo
de uma casca esf\'erica, de raio $R,$ carregada com densidade
$\sigma$ de cargas el\'etricas uniformemente distribu\'\i das.
\vspace{0.5cm}
\noindent 4) a) Por que a lei de Coulomb n\~ao \'e equivalente a lei
de Gauss na eletrost\'atica?
\noindent b) Utilize a lei de Gauss para calcular o campo el\'etrico
dentro e fora de uma casca esf\'erica n\~ao condutora. Considere que
foi colocado no centro da casca uma part\'\i cula com carga igual a
-4$e$, onde $e$ \'e a carga elementar.
As quest\~oes 5 e 6 devem ser respondidas de acordo com
a
seguinte conven\c{c}\~ao:\\
a) se apenas a afirmativa I \'e verdadeira;\\
b) se apenas a afirmativa II \'e verdadeira;\\
c) se apenas a afirmativa III \'e verdadeira;\\
d) se as alternativas I e III s\~ao verdadeiras;\\
e) se todas as afirmativas s\~ao corretas.
\vspace{0.5cm}
\noindent 5) Uma pequena esfera de corti\c{c}a recoberta com papel
de alum\'\i nio est\'a suspensa por fio de nylon. Aproximamos dela
um bast\~ao de pl\'astico carregado eletricamente com carga
negativa. As seguintes
afirma\c{c}\~oes referem-se a esta situa\c{c}\~ao.\\
I - O bast\~ao de pl\'astico carregado induz cargas el\'etricas de
sinais contr\'arios na esfera. Em virtude da maior proximidade das
cargas positivas induzidas, a esfera \'e atra\'\i da pelo bast\~ao
de pl\'astico e, ao
toc\'a-lo, se carrega negativamente, sendo repelida. \\
II - O bast\~ao de pl\'astico carregado negativamente induz na
esfera cargas
el\'etricas negativas, sendo a esfera repelida. \\
III - O bast\~ao de pl\'astico carregado negativamente induz na
esfera cargas el\'etricas, fazendo com que ela seja atra\'\i da.
Ao tocar o bast\~ao, a esfera se carrega positivamente, sendo repelida. \\
\noindent 6) I - A dire\c{c}\~ao de um campo el\'etrico \'e dada
pela tangente
\`a linha de for\c{c}a, no ponto considerado. \\
II - O fluxo el\'etrico, atrav\'es de uma superf\'\i cie qualquer
\'e dado por: $\phi_{E} = E A \cos \theta$. III - A lei de Gauss
pode ser enunciada: {\it O fluxo el\'etrico total, atrav\'es de uma
superf\'\i cie fechada, \'e
proporcional \`a soma alg\'ebrica das cargas contidas no seu interior}.\\
\noindent 7) Para um condutor esf\'erico carregado de eletricidade
positiva
\'e v\'alida a afirmativa: \\
a) o fluxo el\'etrico atrav\'es de uma superf\'\i cie esf\'erica
envolvendo o
condutor \'e proporcional ao raio desta superf\'\i cie; \\
b) o fluxo el\'etrico, atrav\'es de uma superf\'\i cie esf\'erica
que n\~ao envolve o condutor e est\'a situada no seu exterior
depende do
raio da esfera;\\
c) o fluxo el\'etrico, atrav\'es de uma superf\'\i cie esf\'erica,
no
interior do condutor \'e proporcional \`a carga el\'etrica; \\
d) o fluxo el\'etrico, atrav\'es de qualquer superf\'\i cie fechada
que
envolve o condutor \'e proporcional \`a carga el\'etrica; \\
e) todas afirmativas est\~ao erradas.
\vspace{0.5cm}
\noindent 8) O fluxo el\'etrico atrav\'es de uma superf\'\i cie de
Gauss, esf\'erica, de raio igual a 2,0$m,$ que possui em seu
interior uma carga $q,$ ser\'a: a) $\phi_{E} = \frac{\pi
q}{\varepsilon_{0}}$; b) $\phi_{E} = \frac{2 \pi
q}{\varepsilon_{0}}$; c) $\phi_{E} = \frac{\pi q}{\varepsilon_{0}}$;
d) $\phi_{E} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$; e) $\phi_{E} = 0$.
\vspace{0.5cm}
\noindent 9) Coloca-se uma part\'\i cula com carga $q$ no centro de
uma superf\'\i cie esf\'erica gaussiana. O fluxo el\'etrico,
atrav\'es da superf\'\i cie, varia
nos seguintes casos:\\
I - Substituindo-se a superf\'\i cie esf\'erica por outra c\'ubica.\\
II - Afastando-se a carga do centro da superf\'\i cie de uma
dist\^ancia
$\frac{3r}{2}$.\\
III - Colocando-se mais duas cargas: +q e -q de valores iguais \`a inicial.\\
IV - Colocando-se outra carga -q perto da superf\'\i cie e do lado de fora.\\
V - Colocando-se outra carga -q no interior da superf\'\i cie.\\
Assinale o grupo de afirmativas corretas: a) I e II b) I e III c)
III, IV e V; d)II e V e) NDRA.
\vspace{0.5cm}
\noindent 10) Admita-se que no tubo da figura abaixo tenha sido feito
o v\'acuo e que a dist\^ancia entre A e B seja de 1,0x10$^{-2}$ m,
existindo ali um campo el\'etrico constante de intensidade
2,9x10$^{4} N/C$.
\noindent a) Se um el\'etron ($m_e = 9,1\hbox{x}10^{-31}kg$ e $q_e =-
1,6\hbox{x}10^{-19}C$) abandona a placa negativa, A, com velocidade inicial
pr\'oxima de zero, com que velocidade atravessar\'a o orif\'\i cio
da placa B? Lembre-se que o trabalho realizado sobre o el\'etron
ser\'a igual \`a varia\c{c}\~ao de sua energia cin\'etica.
\begin{figure}[h]
\centering
\epsfig{file=f2l3-fig.eps,width=10cm,height=08cm,angle=-360}
\end{figure}
\noindent b) Qual a ordem de grandeza da acelera\c{c}\~ao horizontal
a que fica submetido o el\'etron da quest\~ao anterior, entre as
placas A e B ?
\noindent c) Se o comprimento das placas em D for 2,0x10$^{-2}m$ e
ali existir um campo el\'etrico constante, de intensidade
1,0x10$^{4}N/C$, com qual velocidade vertical o el\'etron sair\'a
deste segundo campo el\'etrico?
\noindent d) Sendo OD igual a 20 cm, a que dist\^ancia do centro, O,
atingir\'a o el\'etron o eixo vertical, quando submetido aos dois
campos el\'etricos das quest\~oes anteriores?
\end{document}
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