Na segunda aula foi demonstrado a relação de comutação canônica da mecânica quântica, para as componentes dos operadores de posição e momento linear. O professor Rafael apresentou o método de fatoração em mecânica quântica generalizado, escrevendo o operador Hamiltoniano em termos de dois operadores diferenciais de primeira ordem mutuamente adjuntos.
Iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞ a +∞ é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade, 100%. Esta é a condição de normalização.
- Função de Onda: considerando o caso unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de Schrödinger fisicamente aceitável se for de quadrado integrável. A Função de Onda é unívoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela sendo contínua admite a existência da derivada de primeira ordem na coordenada de posição. 𝝍(x,t) é continua porque a densidade de probabilidade precisa ser bem definida em todos os pontos.
(d/dx)𝝍(x) existe, ou seja, a operação derivada (d/dx) atuando em uma função contínua resulta em outra função contínua.
A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender a -∞ ou +∞. Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.
𝝍(x)→0, quando x→ +∞ ou x→ -∞.
- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela função dependente da coordenada de posição.
𝝍(x,t) =𝝍(x) 𝝍(t).
- Método de fatoração em MQ para um potencial unidimensional V(x), transforma a equação de Schrödinger em uma equação de Ricatti. Esta equação diferencial de primeira ordem e não-linear fornece o estado fundamental para o sistema quântico que queremos resolver.
Equação de Ricatti.
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