Aula 08-Mecânica Quântica I-Delta de Dirac e o Teorema da Expansão-Professor Rafael-RAE-UFCG, nesta sexta, 26. Lista 2.

Alô pessoal, estamos ministrando a aula de Mecânica quântica I, Aula 08-Professor Rafael-RAE-UFCG, nesta sexta-feira, 25 de setembro.


 

Hoje, sexta-feira, 25 de setembro, teremos a 8a. aula da disciplina de Mecânica Quântica I do curso de Licenciatura em Física, das 20:10h às 22h. A partir da próxima semana as aulas remotas desta disciplina serão nos dias terça-feira e sexta-feira, no mesmo horário. As aulas remotas serão transmitidas pelo nosso blog rafaelrag, ciências e educação.

Entrando no blog nesse horário você poderá acompanhar a aula ao vivo. Após o término da aula ela ficará disponível no blog e somente no dia seguinte aparecerá no YouTube.

Iniciaremos  a aula de hoje, fazendo uma revisão do cálculo das autofunções e autovalores de energia do potencial do poço de quadrado finito.

Em seguida, explicaremos o teorema da expansão em mecânica quântica para o caso de um operador hermitiano com autovalores discreto e contínuo. Qualquer função pode ser expandida em termos das autofunções ortonormais de um operador hermitiano. Na aula 07, demonstramos que os autovalores do operador hermitiano são reais e suas autofunções são ortogonais.  Por isso em mecânica quântica, os observáveis são representado por operadores lineares hermitianos.  Um operador hermitiano é autoadjunto, ou seja, é aquele cujo adjunto é ele mesmo.

Introduziremos a função Delta de Dirac, 𝛿(a-b), que assume valores infinito e zero. Veremos suas propriedades em uma dimensão.  Utilizaremos também a notação de Bra-Ket de Dirac, |a> sendo um autovetor ket do operador A e o Bra <a| sendo o complexo conjugado do ket |a>. O produto escalar de dois autokets do observável a torna-se: 

<a|b>=𝛿(a-b)=0, se a for diferente b e será ∞ (infinito) se a for igual a b.

Neste caso, o  valor esperado do operador A torna-se: 

<A>=<a|A|a>

A autofunção na descrição de Schrödinger é dada por

 𝝍_a(x,t)=<x|a>, 

com 𝝍_a sendo a letra grega psi com um índice inferior a.  

Portanto o valor esperado do observável A no estado quântico

 | 𝝍 >=∑c_a|a>, 

com o somatório ∑ no índice inferior a, variando de a=1 até  a=∞,  torna-se:

<A>=∑|c_a|²a.

Com a constante sendo calculada através do produto escalar  do bra 𝝍 e ket a:  

ca=<𝝍|a >. 

Interpretação probabilística. A medida de um observável em mecânica quântica resulta sempre nos seus autovalores reais.  Portanto,  |c_a|²  é a probabilidade de ao ser efetuado uma medida do observável no estado quântico   | 𝝍 > encontrarmos o autovalor a. Não é a probabilidade de encontrarmos o estado quântico | 𝝍 >.

UFCG-RAE-Período 2020.3

Disciplina: Mecânica quântica I

Curso de Licenciatura em Física

Professor Rafael Rodrigues

Lista II de Exercícios

Problemas  do livro texto de Mecânica quântica do Griffiths, 2a. edição em português.

1) 1.17 Dado a função de onda em t=0. encontrar valores esperados.

2) 2.43. Pacote de onda Gaussiano. 

3) 2.44. Equação de Schrödinger para o potencial de uma função delta.

4) 2.51. Potencial de funções hiperbólicas.

5) 2.52. Matriz de espalhamento. 

6) 3.21. Operador de paridade.

7) Problema 3.22. Base ortonormal de 3 autokets.

8 )Problema 3.37. Sistema quântico de 3 níveis e autoestado evoluindo no tempo.

9) Problema 3. 38. Sistema quântico de 3 níveis e teoria da medida.

10) Problema 3.39. Gerador das translações no espaço.

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