RAE-UFCG-Introdução à Física. Primeira Lista de exercício proposto: Velocidade Média e Velocidade Instantânea

Movimento

O estado de Movimento e Repouso depende de um referencial. Se a distância variar em relação ao referencial dizemos que o corpo está em movimento. Se a distância não mudar em relação ao referencial dizemos que o corpo está em repouso. Por exemplo, imagine você dentro de um carro, em movimento, para o observador fora do carro ele verá você em movimento. Se o observador estiver dentro do carro ele verá você em repouso.  

Este é um dos assuntos mais antigo da ciência, sendo que é preciso definir matematicamente  o que é um referencial em Física?

Um   referencial em Física no espaço tridimensional, é um ponto de observação, tendo 3 eixos com orientações positivas e o observador na origem do sistema de coordenadas, com todos os instrumentos de mediada para o fenômeno em estudo. Em um movimento na reta,  basta um eixo com orientação positiva (movimento unidimensional).

Velocidade Média

A  velocidade Média é a distância total percorrida dividida pelo tempo gasto, seguindo o deslocamento de um corpo, em uma curva ou reta. Ela representa um valor hipotético para a velocidade. Por exemplo, se você viajar de Alagoa Grande-PB para Campina Grande  pela BR 230, percorrerá uma distância de 60km com uma velocidade média de 90km/h, chegará em 40 minutos. Note que podemos ter diversas velocidades neste percurso, digamos, menos de 90km/h e acima de 90km/h, mas na média foi  90km/h. Agora, você poderá escrever a equação da velocidade como sendo a distância dividido pelo tempo,  

Nos livros- textos, o deslocamento escalar, em geral, é representado pela letra s da palavra em inglês space, mas você poderá usar a letra d de distância.

Unidades de medidas no SI: distância é m(metro), tempo é s(segundo) e velocidade m/s.  

 👍 Na escola da educação básica, você estudou o conceito de velocidade média, taxa de variação da posição pelo tempo, ou seja, v=Δx/Δt, lê-se delta x por delta t. Com ΔX= variação da posição, sendo a distância total percorrida, igual a posição final menos a posição inicial e Δt=tempo gasto no percurso total. 

Exemplo. Considerando o exemplo acima a distância percorrida é 60km e o tempo gasto pelo carro foi 40 minutos. Qual a velocidade média em km/h?

Solução

 

d=60km e t=40min. Neste caso, devemos antes transformar o minuto para hora. Sabemos que 1h=40min, portanto, 1min=(1/60)h. Resulta que, 40mim=(40/60)h. Ao invés de dividir é melhor simplificar, ou seja, cortando o zero e dividindo o numerador e o denominador por 2, obtemos:

t=  40mim=(40/60)h= (2/3)h. Agora, para calcular a velocidade média, basta dividir e, tendo em mente, que a unidade de velocidade do carro será km/h.

Usando a regra de divisão de fração: (a/b)/(c/d)=(ad)/(bc), isto é, fixamos a fação do numerador e multiplicamos pela inverso da fração do denominador.

v=d/t=(60/40)km/min=(60/1)/(2/3)km/h

Comparando, vemos que: a=60, b=1, c=2 e d=3. Finalmente, obtemos:

v=(60/1)/(2/3)=(60x3)/2=180/2=90, ou seja, v=90km/h.

Observação.

 Note que para transformar de km/min para km/h 

km/min=[1/(1/60)]km/h=60km/h. Neste caso, para transformar de km/min basta multiplicar por 60. Logo,

v=d/t=(60/40)km/min=[(60x60)/40]km/h=[3600/40]km/h=90km/h.

No caso de transformar 1km/h para m/s, multiplicamos ou dividimos por 3,6?

Lembre-se que 1km=1000m e 1h=60min=60x60s=3600s. Portanto, 

1km/h=1000m/3600s=(1 /3,6)m/s, ou  seja, 1m/s=3,6km/h.

Note que existe muita maneiras de transformar as unidades de velocidade, seria melhor você trabalhar com as unidades fundamentais e simplificar as frações, pois você só poderá multiplicar por 3,6 para obter a unidade de velocidade em m/s, somente no caso em que a velocidade for dada em km/h.   

 O procedimento que irá direto sem ter dúvida se multiplica ou divide é fazer o cálculo direto como no exercício 1. 

Velocidade Instantânea 

A velocidade Instantânea representa o valor real em um dado instante de tempo. Ela fornece  o valor absoluto da velocidade em cada instante de tempo, bem próximo um do outro, podendo ser igual a velocidade média. Newton, após estudar an cinemática de Galileu(Morreu em 1642, ano em que nasceu Newton) ao definir a velocidade instantânea, ele introduziu o artifício de limite com a variação do tempo cada vez menor. 

Entendendo o significado físico de Velocidade

Na prática, você poderá ver a velocidade instantânea de um carro, olhando para o velocímetro, quando estiver com a velocidade limite permite pela lei de trânsito brasileira, 110km/h, significa que viajando sempre com essa velocidade, o carro percorrerá 110km em uma hora. Isso é o significado físico de velocidade.

Definição do limite(Lim) da velocidade escalar média com a variação do tempo tendendo a zero é de fato a velocidade instantânea, a saber: 

Lê-se derivada de s em relação a t, que é representada por 

Interpretação geométrica, fazendo s=x, obtemos.

Regra de Derivada de polinômios de terceiro grau.

Leia mais

Vamos calcular a velocidade instantânea usando a definição de derivada, para o caso em que s=t²  vamos calcular a seguinte variação: Δs=s(t+Δt)-s(t). 

Usando o produto notáveis, (a+b)²  = a² + b² + 2ab, obtemos: 

   s=t²   ⇒ s(t+Δt)= (t+Δt)²  = t² + Δt² + 2t . Δt

 ⇒ Δs/Δt=[s(t+Δt)-s(t)]/Δt= (t² + Δt² + 2t . Δt-t²)/Δt =  Δt² /Δt+ 2t . Δt/Δt= Δt+2t.

Portanto, aplicando o limite de Δt tendendo a zero, o  termo Δt tende a zero e restando 2t, 

ou seja,   a velocidade instantânea 

    torna-se: v=dx/dt=dt²/dt =2t.

Generalizando, considerando a coordenada de posição sendo o tempo elevado a n e multiplicada por uma constante, temos:

Exemplo:  Seja a=1/2 e n=2.  ⇒ v=(2/2)t=t.      

 Seja a=1/2 e n=3 ⇒ v=(3/2)t² .   

Exemplo. Considere um automóvel se deslocando de acordo com a seguinte função horária, tendo seus valores de tempo e de distância percorrida medidos no sistema internacional de medida(SI), dada por: 

s(t) = 2t³ + 4t² - 5t + 7 (SI)

Qual a velocidade do móvel no instante após 10 segundos.

Solução

Calculando a derivada de um polinômio de terceiro grau, aplicando a propriedade da soma das derivadas e a regra de potência, obtemos um polinômio de segundo grau, ou seja,

Agora, para obter a v(10s), basta substituirmos o tempo por 10, sem o s de segundos, pois aqui todas as grandezas estão no SI. Portanto,  obtemos a velocidade em m/s:

v(10s)=(6x100+8x10-5)m/s=(600+80-5)m/s=675m/s

Ou poderíamos ter calculado v(10), e no resultado final  colocar m/s. Pois,  como estamos usando o SI, a unidade de velocidade é m/s. Portanto, v(10s)=675m/s.

Exercícios

1)  Considerando que você viajou pela BR104, de Cuité até Campina Grande, percorrendo uma distância de 113km e o tempo gasto pelo carro foi 80  minutos. Qual a velocidade média em km/h?

2)  Qual a velocidade de um carro, para chegar no trevo da BR230, saindo de Alagoa Grande e passando por Juarez Távora, durante 15 minutos. Lembre-se que a distância de Alagoa Grande a este trevo é 23km. Esta é a mesma distância do trevo da BR104 ao campus Cuité da UFCG. Determine a) em km/h e b) No SI.

3)  Considerando que tenha sido feito a manutenção da estrada de acesso ao quilombo Caiana dos Crioulos, se um carro viaja a velocidade média de 50km/h, partido  do centro da cidade de Alagoa Grande, passando pelos sítios Paturi e Sapé de Julião percorrendo 13km, qual o tempo gasto, em minuto? Lembre-se que a distância de Alagoa Grande a este quilombo é 13km. 

4) Partindo do km88 da BR104, no centro da cidade  de Remígio, e chegando no município de Barra de Santa Rosa, no km131, durante 14 minutos. Qual a velocidade média, a) em km/h e b)no SI?   

5) Considere que uma partícula se deslocou conforme a curva abaixo. Considere as escalas iguais nos eixos da vertical e horizontal, complete os valores da posição no eixo vertical.

a) Determine a velocidade instantânea, em t=1s. 

b) Qual a velocidade média de 0,5s  até 2s?

6)  a) Dizer quais são as principais contribuições de Galileu para a cinemática. b) Como era a pesquisa em Física antes de Galileu?

7) Você dirige um automóvel por 9, 3km em uma rodovia reta com velocidade de 80km/h e ao final desse trecho para por falta de gasolina. Você então caminha 2, 0km durante 30 minutos, até encontrar um posto. Qual sua velocidade média desde o instante em que o carro começou a se mover até chegar ao posto de gasolina?

9) Questão 125 do ENEM 2017

Versão em Latex

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\pagestyle{myheadings} \pagenumbering{roman} \setcounter{figure}{0}

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\setcounter{section}{0} \baselineskip=14pt

\addcontentsline{toc}{section}{\sc Introdu\c{c}\~ao \`a F\'\i sica.

Prof. Rafael de Lima  Rodrigues} \markboth{\footnotesize{{\sl Dr.

Rafael de Lima Rodrigues}}} {\footnotesize{{\sl Introdu\c{c}\~ao \`a

F\'\i sica. Prof. Rafael de Lima Rodrigues}}}

\centerline{ \bf Introdu\c{c}\~ao \`a F\'\i sica-UAFM-CES-UFCG-RAE - Lista 1}

\noindent{Pofessor: Rafael de Lima Rodrigues \hrulefill  PER\'IODO 2020.3}

\noindent {Aluno(a): \hrulefill {\bf Boa Sorte.} 21-09-20.}

\centerline{\bf Primeira Lista de Exerc\'\i cios Propostos e Experi\^encia

I}

\vspace{0.5cm}

\noindent 1)  Considerando que voc\^e viajou pela BR104, de Cuit\'e at\'e Campina Grande, percorrendo uma dist\^ancia de $113km$ e o tempo gasto pelo carro foi 80  minutos. Qual a velocidade m\'edia em $km/h?$

\vspace{0.5cm}

\noindent 2)  Qual a velocidade de um carro, para chegar no trevo da BR230, saindo de Alagoa Grande e passando por Juarez T\'avora, durante 15 minutos. Lembre-se que a dist\^ancia de Alagoa Grande a este trevo \'e $23km.$ Esta \'e a mesma dist\^ancia do trevo da BR104 ao campus Cuit\'e da UFCG. Determine a) em $km/h$ e b) No SI.

\vspace{0.5cm}

\noindent 3)  Considerando que tenha sido feito a manuten\c{c}\~ao da estrada de acesso ao quilombo Caiana dos Crioulos, se um carro viaja a velocidade m\'edia de $50km/h,$ partido  do centro da cidade de Alagoa Grande, passando pelos s\'itios Paturi e Sap\'e de Juli\~ao percorrendo $13km.$ 

\vspace{0.5cm} 

\noindent a) Qual o tempo gasto, em minuto? Lembre-se que a dist\^ancia de Alagoa Grande a este quilombo \'e $13km.$ 

\vspace{0.5cm}

\noindent b) Partindo do km88 da BR104, no centro da cidade  de Rem\'\i gio, e chegando no munic\'\i pio de Barra de Santa Rosa, no km131, durante 14 minutos. Qual a velocidade m\'edia, a) em km/h e b)no SI?   

\vspace{0.5cm}

\noindent 4) Em Cuit\'e, no Curimata\'u paraibano, est\'a sem \'agua pot\'avel

da

CAGEPA, desde 2014. Muitos moradores est\~ao usando a \'agua de cisterna ou

po\c{c}o artesiano.  Voc\^e poder\'a usar o conhecimento de cinem\'atica para medir

a profundidade de uma cisterna. Suponha que um morador deixou cair uma pedra

e ap\'os 6 segundos, ele ouviu o barulho quando ela tocou no fundo

da cisterna. Lembrando que a velocidade do som no ar \'e aproximadamente

$340c\frac ms,$ determine a profunidade da cisterna, desprezando a viscosidade

da \'agua(ou seja, sem considerar o efeito do atrito).  

\vspace{0.5cm}

\noindent 5) Considere que uma part\'\i cula se deslocou com uma equa\c{c}\~ao

hor\'aria conforme a curva $x(t)=2t^2$, no SI. Considere as escalas iguais nos eixos da vertical e horizontal, complete os valores da posi\c{c}\~ao no eixo vertical.

\noindent a) Determine a velocidade instant\^anea, em t=1s.(Neste item

voc\^e pode usar a regra de deriva\c{c}\~ao $v(t)=\frac{x}{dt}.$ 

\noindent b) Qual a velocidade m\'edia de 0,5s  at\'e 2s(Ou desenhe o gr\'afico

e calcule a \'area abaixo da curva, entre este intervalo de tempo)?

\vspace{0.5cm}

\noindent 6) Voc\^e dirige um autom\'ovel por $9,3km$ em uma rodovia reta com velocidade de 80km/h e ao final desse trecho para por falta de gasolina. Você então caminha 2, 0km durante 30 minutos, até encontrar um posto. Qual sua velocidade m\'edia desde o instante em que o carro come\c{c}ou a se mover at\'e chegar ao posto de gasolina?

\vspace{0.5cm}

\noindent 7) MRUV. Como medir a acelera\c{c}\~ao da gravidade de um planeta distante

da Terra? O c\'alculo \'e an\'alogo ao que \'e feito aqui na Terra.  Este movimento de queda de um corpo em outro planeta ou na Lua obedece tamb\'em

as equa\c{c}~oes da cinem\'atica de Galileu Galilei(faleceu em 1642, ano em

que

nasceu Isaac Newton). Considere que um astronauta

chegou na Lua e jogou um objeto para cima com a velocidade de $8\frac ms$

e gastou 5 segundos.  Qual o valor da acelera\c{c}\~ao da gravidade na Lua?

Qual o valor da altura m\'axima atingida pelo objeto?

\vspace{0.5cm}

   

\noindent 8) No gr\'afico da velocidade  $v_x$ versus $t$, o deslocamento $\Delta x$ \'e igual a \'area

abaixo da curva. Considere o gr\'afico abaixo e calcule o deslocamento

$\Delta x$ percorrido por um m\'ovel durante o intervalo de tempo

registrado, sabendo-se que o deslocamento \'e calculado

utilizando-se a \'area abaixo da curva, neste caso a \'area de um

trap\'ezio que \'e dada por: $\frac{\hbox{(base maior + base menor)}

\cdot \hbox{altura}}{2}.$

\begin{figure}[h]

\centering\epsfig{file=f11-mec-c.eps,width=8cm,height=6cm,angle=-360}

\end{figure}   

\vspace{0.5cm}

\noindent 9) Quest\~ao 125 do ENEM 2017. Um motorista que atende uma chamada no celular \'e levado \`a desaten\c{c}\~ao, aumentando a possibilidade de

acidentes ocorrerem em raz\~ao do aumento do seu tempo de rea\c{c}\~ao. 

Considere dois motoristas o primeiro atento e o segundo utilizando o celular

enquanto dirige. Eles aceleram seus carros inicialmente a 1,0$\frac{m}{s^2}$.

Em resposta a um emerg\^encia freiam com uma desacelera\c{c}\~ao igual a

5,$\frac{m}{s^2}$. O motorista atento aciona o freio a velocidade de 14$\frac{m}{s}$,

enquanto o desatento, em situa\c{c}\~ao an\'aloga, leva um segundo a mais

para iniciar a frenagem. 

Que dist\^ancia o motorista desatento percorre a mais do que o motorista atento, at\'e a parada total dos carros?

Fazer os c\'alculos expl\'\i citos, para chegar na resposta.  

$a) 2,90m \quad b) 14,00mm \quad c) 14,05m \quad d) 15,00 \quad e) 17,04m.$

\vspace{0.5cm}

\noindent 10) (OBF2005, 1a. fase.) Deixa-se cair livremente de uma altura de 200 metros, um objeto

pesado. Desejando-se dividir em duas partes esta altura, de maneira

que os tempos percorridos sejam iguais e considerando a

acelara\c{c}\~ao da gravidade igual a $10\frac{m}{s^2}$ teremos, de cima

para baixo:

\noindent a) 40m e 160m

\noindent b) 50m e 150m

\noindent c) 75m e 125m

\noindent d) 100m e 100m

\noindent e) 160 e 40m

\vspace{0.5cm}

\end{document}

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Matéria relacionada:

Aula 03 de introdução à Física

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