SESSÃO DE COMUNICAÇÃO ORAL DE FUNDAMENTOS DA FÍSICA E ENSINO DE FÍSICA DO XXX II EFNNE, NA SEXTA, 21 DE NOVEMBRO

XXXII Encontro de Físicos do Norte e Nordeste
21/11/2014 - Comunicações Orais (09h00 - 10h15)
FUN - Fundamentos da Física e Física Matemática / PEF - Pesquisa em Ensino de Física
Coordenador: Rafael de Lima Rodrigues
Local: Sala 6

  O  professor Rafael Rodrigues (UFCG, campus Cuité)  coordenou a sessão de Fundamentos da Física e Ensino de Física, no XXX II EFNNE  e ministrou duas comunicações orais,  na sexta, 21 de novembro,  das 9h às 10:15h.

Das seis comunicações previstas, nesta sessão, duas foram apresentadas pelo professor Rafael Rodrigues. 

Esta comunicação é baseada no capítulo  do livro escrito em inglês pelo professor Rafael: The Wigner-Heisenberg algebra in quantum mechanics (A Álgebra de Wigner-Heisenberg em Mecânica Quântica).

Acesse a publicação

XXX II EFNNE 2014-19 a 21 de novembro- João Pessoa
A Álgebra de Wigner-Heisenberg em Mecânica Quântica 

Rafael de Lima Rodrigues

UFCG-Campus Cuité 

Sumário

Motivação

Introdução

Breve Histórico

Álgebra WH em MQ

Conclusão

A mecânica quântica não-relativística é governada pela equação de Schrödinger (1926) e descreve fenômenos físicos em escalas de dimensões invisíveis e com velocidade muito menor do que a velocidade da luz no vácuo. Diferente do conceito clássico do vácuo, como um espaço vazio, em mecânica quântica, é considerado o estado de menor energia, cujo valor é não nulo, denominado de energia de ponto zero. 

Nesta comunicação oral, destacamos a importância de métodos alternativos em mecânica quântica, baseado na cinemática de operadores. O estado quântico de um sistema é caracterizado, num dado instante de tempo, pelo conhecimento de uma função de onda, solução da equação de Schrödinger, que representa a onda de matéria proposta por de Broglie (1925). A interpretação física da função de onda foi dada por Born (1927). Ela representa a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula em torno de um ponto. Os observáveis em mecânica quântica são representados por operadores lineares e hermitianos, satisfazendo a uma álgebra de Lie ou álgebra graduada de Lie. Esses operadores em geral não comutam, ou seja, considerando dois operadores A e B, temos que AB pode ser diferente de BA. Neste caso, o comutador [A,B] = AB – BA é não nulo. O anticomutador é definido por {A,B} = AB + BA. Se dois operadores anticomutam, {A,B}=0.

A técnica algébrica de Wigner-Heisenberg em Mecânica Quântica, permite uma forma alternativa para obtenção das autofunções e autovalores de energia da equação de Schrödinger. O Hamiltoniano de Wigner está relacionado com Hamiltoniano da supersimetria. Enquanto que a técnica algébrica da SUSY é mais geral, a álgebra WH é útil somente para potenciais em conexões com osciladores.

Na Física de partículas elementares, a SUSY inter-relaciona partículas completamente diferentes: os férmions de spin semi-inteiro e os bósons de spin inteiro. Exemplos de férmion: nêutron, elétron e prótron de spin 1/2. Exemplo de bóson: fóton de spin 1, partícula intermediadora da interação eletromagnética.

Supersimetria (SUSY) em Mecânica Quântica

Muitos livros-textos de Mecânica Quântica mostram como alguns problemas podem ser elegantemente resolvidos através de operadores de levantamento e abaixamento(Em teoria quântica de campos eles são análogos aos operadores de criação e destruição, que fazem parte do próprio campo). Esses operadores são encontrados fatorando a equação de Schrödinger independente do tempo.

HY_n=E_nY_n,                                                 n=0, 1, 2, 3, ...,    

onde _Yn são as autofunções de energia e E_n os autovalores de energia. 
Veja mais
O operador Hamiltoniano, H, é a adição do operador energia cinética com o operador energia potencial. O termo de energia potencial em mecânica quântica é denominada simplesmente de potencial, que identifica o sistema quântico em investigação.

Aplicando a técnica algébrica da supersimetria em mecânica quântica, iniciamos com um Hamiltoniano, construímos o seu companheiro supersimétrico, representado pelo produto de dois operadores de primeira ordem em "p", operador  momento linear, mutuamente adjuntos, 
   A=cW(x)+bp (c e b são constantes complexas) 
e o seu adjunto A⁺ , adicionado da energia do estado fundamental, ou seja,

H_-=A⁺A + E_{O         e}           H₊ =AA⁺ + E_O

e construímos uma hierarquia de hamiltoniano SUSY. W(x) é denominado de superpotencial.

Neste caso, se a autofunção do estado fundamental de H- for normalizável, o Hamiltoniano companheiro supersimétrico, H+, perderá um nível de energia e os demais autovalores serão degenerados. Logo, vemos no mapeamento abaixo, figura (a), a cada par da iteração o companheiro perde um nível de energia. Quando chegar no (n+1)-ésimo membro da hierarquia, ele terá somente um autovalor de energia, que será degenerado com n-ésimo nível de energia do hamiltoniano do sistema em estudo. Este método engenhoso de construção dos autovalores de energia foi desenvolvido por Sukumar, em 1985.

_{Níveis de Energia}

Utilizando o método algébrico de Wigner-Heisenberg, utilizamos apenas um par de operadores denominados de levantamento e abaixamento dos níveis de energia, cujo mapeamento pode ser visto na figura (b). Por exemplo, para passar do primeiro nível excitado para o nível de energia do estado fundamental, atuamos apenas uma vez o operador de abaixamento "a". No caso contrário, atuamos o operado de levantamento, a+, no estado fundamental.

O operador Hamiltoniao de Wigner, no sistema de unidade natural, torna-se

^{H={a, a+}/2.} 

^{Os operadores escada satisfazem a seguinte álgebra,}

[ a+,a^-] =  a⁺ a^- - a^- a⁺ =1+cR,  
(Ha^--a^- H) = -a^-  

 (Ha⁺ - a⁺ H) = a⁺,  

onde c é uma constante real, o que nos assegura que a diferença entre dois níveis de energia é um quantum. O operador R anti-comuta com os operadores escada  a⁺ e a^- =a, ele surgiu  na contribuição de Wigner, em 1950, quando ele partindo da equação de movimento chegou na relação de comutação generalizada, para os operadores de posição e momento linear. A álgebra WH é denominada por alguns autores de álgebra de Heisenberg R deformada.

O n-ésimo estado quântico excitado é construído através da ação de n operadores  de levantamento sobre a função de onda do estado fundamental, isto é,  
y_n(x) = C_n(a⁺)ⁿy₀(x), 
onde y₀(x) é a função de onda do estado fundamental e C_n é a constante de normalização. 

Em nossa dissertação de mestrado, sob a orientação do professor Jayaraman (em memória), considerando o operador R igual a matriz diagonal de Pauli, uma matriz 2x2 contendo os elementos 1 e (-1), na diagonal principal, conseguimos construir os autovalores de energia de osciladores quânticos em três dimensões: 

J. Jayaraman and R. de Lima Rodrigues, J. Phys. A; Math. Gen. 23, 3123, (1992).

J. Jayaraman and R. de Lima Rodrigues, J. Modern Phys. Lett. A9, 1047 (1994).

Em um trabalho recente, publicado na revista da Inglaterra, 
R. de Lima Rodrigues, J. Phys. A: Math. Theor. 42 (2009) 355213,  
aplicamos  a técnica de operadores de levantamento e abaixamento  para  o átomo de Hidrogênio,  baseada na álgebra WH, em conexão com o oscilador  quadridimensional. 

Para ver uma monografia sobre SUSY da Mecânica Clássica à Mecânica Quântica, escrita pelo professor Rafael, clique aqui. 

Em teoria de campo eletromagnético, quando quantizamos os campos eles passam a ser operadores podendo ser expressos em termos de operadores de criação e aniquilação, cuja álgebra é semelhante a álgebra dos operadores escada. Neste caso, diz-se que estamos fazendo a segunda quantização. 

Nesta mesma sessão, o professor Rafael apresentou também um trabalho sobre o eletroscópio de duas folha construído com material de baixo custo. Apresentou também, no mesmo dia,  dois painéis, à tarde, cujos trabalhos foram realizados em colaboração com os professores do ensino médio de Alagoa Grande.

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