Mini-curso do Professor Rafael da UFCG, campus Cuité: Introdução Equação Ondulatória da Mecânica Quântica

 A mecânica quântica ondulatória não-relativística é baseada  na descrição de Schrödinger(1926).

O objetivo de Schrödinger era obter uma equação para a função de onda de matéria proposta por Louis fe Broglie, uma função sujeita a força.  Uma proposta meuito estranha para os físicos da época, pois a onda se espalha em todo o espaço e partícula não pode ser localizada. 

 A mecânica quântica(MQ) ondulatória baseada  na descrição de Schrödinger(1926) é não-relativística porque ele usou o conceito clássico para a energia total, como sendo a adição da energia cinética com a energia potencial. 

Schrödinger nasceu na Austria, em 1847, dominava duas línguas: alemão e inglês. Ele serviu a primeira guerra mundial depois foi trabalhar na Alemanha, em Berlin. Ele abandonou a Alemanha em 1933, devido a perseguição de Hitller aos Judeus. O seu amigo Einstein furgiu com medo das perseguições de Hitler.

A dinâmica de uma partícula no mundo micrsópico não é descrita pelas Leis de Newton, que foram formuladas para sistemas físicos macrocópicos. O átomo, por exemplo de sistema msicroscópico, é governado pela equação de Schrödinger(1926): postulado número 1 da mecância quântica. 

A  equação de Schrödinger independente do tempo é equação de autovalor,

H𝝍=E𝝍

Com, 𝝍 sendo uma função de x, isto é, 𝝍=𝝍(x).

H-operador Hamiltoniano definido como sendo a adição da energia cinética e a energia potencial.

E-os autovaloriues de energia

𝝍(x)-parte da função de onda que depende somente da coordencada de posição x.

Na linguagem da álgebra linear ela é chamada de autofunção de energia, ou seja .𝝍(x) está associada ao autovalor de energia E.

Segue o vídeo gravado em sala de aula, no dia  25 de agosto. Iniciamos explicando o que é uma equação de autovalor, visto na discilina de álgebra linear, em matemática.

A equação de Schrödinger é mais geral, ela pode ser aplicada para átomo com mais de um elétron. Sendo que ele e o seu amigo Einstein não aceitavam a  interpretação da solução ser uma amplitude de probabilidade. Há outras interpretações da MQ, que não será discutida aqui. Iremos adotar a interpretação da MQ do grupo de pesquisadores de Copenhague.

- Interpretação Probabilística de Max Born(1927, físico Alemão), um dos defensores da interpretação de Copenhague: proposta ortodoxo da MQ em resposta a pergunta  ao se fazer uma medida de onde está a partícula? A  solução da equação de  Schrödinger (1926), 𝝍(x,t),  representa a amplitude de probabilidade de encontrar a partícula, o seu módulo quadrado é a densidade de probabilidade, ou seja, 

|𝝍(x,t)|²=𝝍(x,t)*𝝍(x,t)=𝝍(x)*𝝍(x)=|𝝍(x)|² ↭ densidade de probabilidade de encontrar a partícula entre x e x+dx.

Como a  densidade de probabilidade não depende do tempo, |𝝍(x,t)|²=|𝝍(x)|²

dizemos que o estado quântico é estacionário.

𝝍(x,t)- função de onda complexa, solução da equação de  Schrödinger. Neste caso, é preciso saber o que é um número complexo.

Um número complexo z é todo número escrito na forma algébrica ou forma cartesiana

z=x+iy, i²=-1

com x sendo denominado de parte real, Re(z)=x, e y de parte imaginária, Im(z)=y.

O complexo conjugado de z, representdo por z* é só trocar o i por -i, ou seja,

z*=x-iy.

Portanto, o módulo quadrado de z, torna-se:

|z|²=z*z=(x-iy)(x-+y)=x² + y².

Sabemos que no conjunto de números reais não existe a raiz quadrada de um número negativo. No entanto, no conjunto de número complexo existe. 

A raiz quadrada de de x² é igula ao módulo de x, ou seja, (x²)^1/2=|x|. 

Exemplos:

A raiz quadrada de -36 é 6i. Pois, usando i²=-1, obtemos: -36= (36i²)^1/2 =((6i)²)^1/2 =6i.

A raiz quadrada de -64 é 8i. Pois, -64= (8i)². 

Segue exmplos da forma polar de um número complexo.

Forma polar ou forma trigonométrica de um número complexo.

Toda informação a cerca de uma partícula microscópica está na função de onda, solução da equação de  Schrödinger.

 

Sabemos que em estatística de uma variável aleatória continua,  a integral da densidade de probabilidade  f(x)  é a probabilidade. 

Portanto, em MQ, ao se fazer uma medida para saber onde está a partícula,  a probabilidade  de encontrar a partícula em torno de um ponto é dada pela integral do módulo quadrado da solução da equação de  Schrödinger.  

Existe outras interpretações da MQ, mas esta do grupo de pesquisadores de Copenhague continua sendo a mais adotada nos livros-textos de MQ porque ela continua fornecendo resultados compatíveis com as experiências. Graça a mecânica quântica temos um avanço da tecnologia com aplicações em diversas áreas, como em  medicina, metrologia quântica,  computação,   informação via satélites,  entre outras. A MQ  possibilitou a explicação do funcionamento do laser, ressonância magnética, as lâmpadas de LED, smartphones, entre outras tecnologias do mundo contemporâneo.

O pai da Física moderna, Albert Einstein, apesar de ter ganho o prêmio Nobel da Física em 1921, devido ao seu modelo quântico da luz, proposto em 1905,  como sendo composta de partícula(fóton de massa nula e spin, s=1) para explicar o efeito fotoelétrico,  não aceitou essa interpretação probabilística da MQ.

Bohr conseguiu apoio do governo dinamarquês para construir o primeiro instituto de pesquisa de Física quântica, inaugurado em 1922, recebendo nesse ano  o prêmio Nobel da Física.

  Devido a interpretação probabilística da MQ, Einstein, apesar de ser muito amigo e admirador de Bohr,  passou a ser um opositor ao grupo de pesquisadores de Copenhague, na Dinamarca, que frequentava o instituto de pesquisa construído por Bohr, tendo participado de diversos debates durante as palestras apresentadas pelos cientistas convidados por Bohr. 

Portanto, iniciando com o caso unidimensional, a integral da densidade de probabilidade sob os limites de -∞ a +∞ é a certeza de encontrar a partícula, resultando na unidade. Esta é a condição de normalização. 

Condições  de admissibilidade da solução da equação de  Schrödinger .

- Função de Onda: considerando o caso  unidimensional, 𝝍(x,t) é a solução da equação de  Schrödinger fisicamente aceitável de quadrado integrável, ou seja, a integral do de quadrado da  solução da equação de  Schrödinger sendo divergente, dizemos que ela é aceitáel matematicamente a o aultovalor de energia associado a ela não será aceito.  

A Função de onda é univoca e contínua, ou seja, ela assume somente um valor para cada valor da coordenada de posição. Ela admite a existência da derivada de primeira ordem. A outra condição de admissibilidade da Função de Onda é que ela se anule quando x tender ao infinito negativo   -∞ ou  ao infinito positivo  +∞. 

Aquela solução que não satisfizer a essas condições é uma solução matemática da equação de  Schrödinger, mas não é fisicamente aceitável. Neste caso, dizemos que o autovalor de energia associado a esta solução não existe.

- Método de separação de variável: escrevemos a função de onda como o produto de uma função dependente do tempo multiplicada pela  função dependente da coordenada de posição.

Veja o vídeo da live do professor Rafael, durante a aula de Física Geral e Experimental I, período 2023.1, sendo que a internet caiu e ficou somente a introdução.

A Mecânica Quântica é uma teoria formidável que estuda os objetos em pequena escala, ela governa o mundo subatômico das moléculas dos átomos e seus constituintes.

Para mais informações, veja como foi a primeira aula da disciplina de mecânica quântica I, ministrada durante a pandemia do novo coronavírus, pelo professor Rafael Rodrigues.

Aula 01:  Introdução a equação de  Schrödinger. 

https://rafaelrag.blogspot.com/2020/09/rae-ufcg-20203-veja-como-foi-primeira.html

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